基于龙伯格状态观测器的柔性机械臂系统饱和补偿控制方法

摘要

一种基于龙伯格状态观测器的柔性机械臂系统饱和补偿控制方法，包括：建立柔性机械臂伺服系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及控制参数；采用龙伯格状态观测器，获得渐近收敛于系统真实状态的观测值；根据微分中值定理，将系统中的非线性饱和输入线性化处理，推导出带有未知饱和的柔性机械臂系统模型；进行通过动态面技术，在每一步设计中引入虚拟控制量，并依次通过一阶低通滤波器，避免传统反演控制法所带来的复杂度爆炸问题；同时，利用神经网络的自学能力，能有效逼近非线性系统中复杂的非线性项。本发明提供一种能够有效改善柔性机械臂伺服系统控制性能的基于龙伯格状态观测器的神经网络自适应控制方法，实现系统的精确快速跟踪。

主权项

一种基于龙伯格状态观测器的柔性机械臂系统饱和补偿控制方法，其特征在于：所述方法包括以下步骤：步骤1：建立柔性机械臂伺服系统动态模型，初始化系统状态、采样时间以及控制参数，过程如下：1.1柔性机械臂伺服系统动态模型的运动方程表达式为$\left\{\begin{array}{c}I\stackrel{··}{q}+K(q-\theta )+MgL\sin \left(q\right)=0\\ J\stackrel{··}{\theta }-K(q-\theta )=u\left(v\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$其中，q与θ分别为机械臂连杆和电机的转动角度；g为重力加速度；I为连杆的惯量；J为电机的惯量；K为弹簧的刚度系数；M与L分别为连杆的质量与长度；v为控制信号；u(v)为饱和环节，表示式为$u\left(v\right)=sat\left(v\right)=\left\{\begin{array}{cc}sign\left(v\right)u_M& \left|v\right|\ge u_M\\ v& \left|v\right|\ge u_M\end{array}\right.---\left(2\right)$其中，sign(v)为未知非线性函数；u_M为未知饱和输入上界，且u_M＞0；1.2定义：x₁＝q，x₃＝θ，式(1)改写为$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2+f_1({\bar{x}}_1,x_2)\\ {\stackrel{·}{x}}_2=x_3+f_2({\bar{x}}_2,x_3)\\ {\stackrel{·}{x}}_3=x_4+f_3({\bar{x}}_3,x_4)\\ {\stackrel{·}{x}}_4=\frac{1}{J}u\left(v\right)+f_4\left(x\right)\\ y=x_1\end{array}\right.---\left(3\right)$其中，x＝[x₁，x₂，x₃，x₄]^T，$\begin{array}{c}{f}_1({\bar{x}}_1,x_2)=0,f_2({\bar{x}}_2,x_3)=-\frac{MgL}{I}{\mathrm{sinx}}_1-\frac{K}{I}(x_1-x_3+\frac{I}{K}{x}_3),\\ f_3({\bar{x}}_3,x_4)=0,f_4\left(x\right)=\frac{K}{J}(x_1-x_3),\end{array}$y为系统位置输出轨迹；步骤2：根据微分中值定理，将系统中的非线性输入饱和进行线性化处理，推导出带有未知饱和的机械臂伺服系统模型，过程如下：2.1对饱和模型进行光滑处理$\begin{array}{c}g\left(v\right)=u_M*\tanh \left(\frac{v}{u_M}\right)\\ =\frac{e^v/u_M-e^{-v}/u_M}{e^v/u_M+e^{-v}/u_M}\end{array}---\left(4\right)$则sat(v)＝g(v)+d(v)   (5)其中，d(v)表示光滑函数与饱和模型之间存在的误差；2.2根据微分中值定理，存在μ∈(0，1)使$g\left(v\right)=g\left(v_0\right)+g_{v_{\mu }}(v-v_0)---\left(6\right)$其中，v_μ＝μ_v+(1‑μ)v₀，v₀∈(0，v)；选择v₀＝0，式(6)被改写为$g\left(v\right)=g_{v_{\mu }}v---\left(7\right)$2.3由式(5)和式(7)，将式(3)改写为以下等效形式$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2+f_1({\bar{x}}_1,x_2)\\ {\stackrel{·}{x}}_2=x_3+f_2({\bar{x}}_2,x_3)\\ {\stackrel{·}{x}}_3=x_4+f_3({\bar{x}}_3,x_4)\\ {\stackrel{·}{x}}_4=\frac{1}{J}[g_{v_{\mu }}v+d\left(v\right)]+f_4\left(x\right)\\ y=x_1\end{array}\right.---\left(8\right)$步骤3：设计柔性机械臂伺服系统的龙伯格观测器模型，并定义相关变量，过程如下：3.1龙伯格观测器表达式为$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2+l_1(x_1-{\hat{x}}_1)+{\hat{f}}_1({\hat{\bar{x}}}_1,{\hat{x}}_2)\\ {\stackrel{·}{\hat{x}}}_2={\hat{x}}_3+l_2(x_1-{\hat{x}}_1)+{\hat{f}}_2({\hat{\bar{x}}}_2,{\hat{x}}_3)\\ {\stackrel{·}{\hat{x}}}_3={\hat{x}}_4+l_3(x_1-{\hat{x}}_1)+{\hat{f}}_3({\hat{\bar{x}}}_3,{\hat{x}}_4)\\ {\stackrel{·}{\hat{x}}}_4=\frac{1}{J}u\left(v\right)+l_4(x_1-{\hat{x}}_1)+{\hat{f}}_4\left(\hat{x}\right)\\ \hat{y}={\hat{x}}_1\end{array}\right.---\left(9\right)$其中，分别为观测器状态空间模型状态；l₁，l₂，l₃，l₄分别为观测器增益参数；为观测器输出；3.2定义状态观测器观测误差及误差矩阵$e_i=x_i-{\hat{x}}_i,(i=1,2,3,4)---\left(10\right)$E＝(e₁，e₂，e₃，e₄)^T   (11)步骤4：计算控制系统位置跟踪误差，选择神经网络逼近复杂非线性项，设计虚拟控制量，并通过一阶低通滤波器输出，更新神经网络权值与误差估计权值过程如下：4.1定义系统的跟踪误差为s₁＝y₁‑y_r   (12)其中，y_r为二阶可导期望轨迹；4.2设计虚拟控制量α₁${\alpha }_1=-(c_1+\frac{1}{2})s_1+{\stackrel{·}{y}}_r---\left(13\right)$其中,c₁为常数，且c₁＞0；4.3定义一个新的变量z₂，让虚拟控制量α₁通过时间常数为τ₂的一阶低通滤波器$\left\{\begin{array}{c}{\tau }_2{\stackrel{·}{z}}_2+z_2={\alpha }_1\\ z_2\left(0\right)={\alpha }_1\left(0\right)\end{array}\right.---\left(14\right)$4.4定义滤波误差χ₂＝z₂‑α₁，则${\stackrel{·}{z}}_2=\frac{{\alpha }_1-z_2}{{\tau }_2}=-\frac{{\chi }_2}{{\tau }_2}---\left(15\right)$4.5定义误差变量$s_2={\hat{x}}_2-z_2---\left(16\right)$4.6为了逼近复杂的非线性不确定项定义以下神经网络其中，为理想权重；为神经网络误差值理想值，ε_N2为神经网络误差值上界，满足的表达式为其中，exp( )为指数函数，c_j＝[c_j1，c_j2]为隐含层第j个神经元的中心向量；b_j为神经元节点的基宽参数；4.7设计虚拟控制量α₂其中,c₂，δ为常数，且c₁＞0，δ＞0；4.8定义一个新的变量z₃，让虚拟控制量α₂通过时间常数为τ₃的一阶低通滤波器$\left\{\begin{array}{c}{\tau }_3{\stackrel{·}{z}}_3+z_3={\alpha }_2\\ z_3\left(0\right)={\alpha }_2\left(0\right)\end{array}\right.---\left(20\right)$4.9定义滤波误差x₃＝z₃‑α₂，则${\stackrel{·}{z}}_3=\frac{{\alpha }_2-z_2}{{\tau }_3}=-\frac{{\chi }_3}{{\tau }_3}---\left(21\right)$4.10设计神经网络权重估计值和自适应参数的调节规律为其中，r₂，σ₂，η₂，δ₂为常数，且r₂＞0，σ₂＞0,η₂＞0,δ₂＞0；4.11定义误差变量$s_3={\hat{x}}_3-z_3---\left(23\right)$4.12设计虚拟控制量α₃${\alpha }_3=-l_2{e}_1+{\stackrel{·}{z}}_3-c_3{s}_3---\left(24\right)$其中,c₃为常数，且c₃＞0；4.13定义一个新的变量z₄，让虚拟控制量α₃通过时间常数为τ₄的一阶低通滤波器$\left\{\begin{array}{c}{\tau }_4{\stackrel{·}{z}}_4+z_4={\alpha }_3\\ z_4\left(0\right)={\alpha }_3\left(0\right)\end{array}\right.---\left(25\right)$4.14定义滤波误差x₄＝z₄＝α₃，则${\stackrel{·}{z}}_4=\frac{{\alpha }_3-z_4}{{\tau }_4}=-\frac{{\chi }_4}{{\tau }_4}---\left(26\right)$步骤5:设计控制器输入，过程如下：5.1定义误差变量$s_4={\hat{x}}_4-z_4---\left(27\right)$5.2为了逼近不能直接得到的复杂非线性不确定项定义以下神经网络其中，为理想权重；为神经网络误差理想值，ε_N4为神经网络误差上界，满足的表达式为5.3设计控制器输入为v其中，∈、c₄与a₄为常数，且∈，a₄，c₄＞0；5.4神经网络权重估计值的调节规律为其中，r₄与σ₄为常数，且r₄，σ₄＞0；步骤6：设计李雅普诺夫函数$V=E^{T}PE+{\Sigma }_{i=1}^4\frac{1}{2}{s}_i^2+{\Sigma }_{i=2}^4\frac{1}{2}{\chi }_i^2+\frac{1}{2{\gamma }_2}{\tilde{\theta }}_2^T{\tilde{\theta }}_2+\frac{1}{2{\gamma }_4}{\tilde{\theta }}_4^T{\tilde{\theta }}_4+\frac{1}{2{\eta }_2}{\widetilde{ϵ}}_{N2}^2---\left(32\right)$对式(36)进行求导得：$\stackrel{·}{V}={\stackrel{·}{E}}^{T}PE+E^{T}P\stackrel{·}{E}+{\Sigma }_{i=1}^4{s}_i{\stackrel{·}{s}}_i+{\Sigma }_{i=2}^4{\chi }_2{\stackrel{·}{\chi }}_2-\frac{1}{{\gamma }_2}{\tilde{\theta }}_2^T{\stackrel{·}{\hat{\theta }}}_2-\frac{1}{{\gamma }_4}{\tilde{\theta }}_4^T{\stackrel{·}{\hat{\theta }}}_4-\frac{1}{{\eta }_2}{\widetilde{ϵ}}_{N2}{\stackrel{·}{ϵ}}_{N2}{\stackrel{·}{\widehat{ϵ}}}_{N2}---\left(33\right)$如果则判定系统是稳定的。