满足完备正交和力学平衡条件的正方体单元变形分解方法

摘要

满足完备正交和力学平衡条件的正方体单元变形分解方法，包括以下步骤：第1步，8节点正方体单元的空间变形是由X方向的刚体位移、Y方向的刚体位移、Z方向的刚体位移、X方向拉压变形、Y方向拉压变形、Z方向拉压变形、XOY平面中X轴弯曲变形、XOY平面中Y轴弯曲变形、YOZ平面中Y轴弯曲变形、YOZ平面中Z轴弯曲变形、XOZ平面中X轴弯曲变形、XOZ平面中Z轴弯曲变形、XOY平面剪切变形、YOZ平面剪切变形、XOZ平面剪切变形、XOY平面刚体转动位移、YOZ平面刚体转动位移、XOZ平面刚体转动位移、X轴反向弯曲变形。基于该方法，工程设计人员可以根据有限元分析、实验室试验和现场检测资料，方便地分解出结构的延性变形（如拉压变形、弯曲变形等）和脆性变形（如剪切变形、扭转变形等）。

主权项

满足完备正交和力学平衡条件的正方体单元变形分解方法，其特征在于：包括以下几个步骤：第1步，8节点正方体单元的空间变形是由X方向的刚体位移、Y方向的刚体位移、Z方向的刚体位移、X方向拉压变形、Y方向拉压变形、Z方向拉压变形、XOY平面中X轴弯曲变形、XOY平面中Y轴弯曲变形、YOZ平面中Y轴弯曲变形、YOZ平面中Z轴弯曲变形、XOZ平面中X轴弯曲变形、XOZ平面中Z轴弯曲变形、XOY平面剪切变形、YOZ平面剪切变形、XOZ平面剪切变形、XOY平面刚体转动位移、YOZ平面刚体转动位移、XOZ平面刚体转动位移、X轴反向弯曲变形、Y轴反向弯曲变形、Z轴反向弯曲变形、X轴扭剪变形、Y轴扭剪变形和Z轴扭剪变形共24种基本变形叠加组合而成；通过二次分解，可将扭剪变形进一步分解为扭转变形和反向剪切变形；针对8节点正方体单元，采用正交分解法，用单元节点坐标位移向量分别构造由X方向的刚体位移、Y方向的刚体位移、Z方向的刚体位移、X方向拉压变形、Y方向拉压变形、Z方向拉压变形、XOY平面中X轴弯曲变形、XOY平面中Y轴弯曲变形、YOZ平面中Y轴弯曲变形、YOZ平面中Z轴弯曲变形、XOZ平面中X轴弯曲变形、XOZ平面中Z轴弯曲变形、XOY平面剪切变形、YOZ平面剪切变形、XOZ平面剪切变形、XOY平面刚体转动位移、YOZ平面刚体转动位移、XOZ平面刚体转动位移、X轴反向弯曲变形、Y轴反向弯曲变形、Z轴反向弯曲变形、X轴扭剪变形、Y轴扭剪变形和Z轴扭剪变形24种基向量，并移进行归一化处理，得到基本变形向量如下：①X方向刚体位移基向量：P₁＝(0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0)^T②Y方向刚体位移基向量：P₂＝(0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0)^T③Z方向刚体位移基向量：P₃＝(0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536)^T④X方向拉压变形基向量：P₄＝(‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0)^T⑤Y方向拉压变形基向量：P₅＝(0，‑0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0)^T⑥Z方向拉压变形基向量：P₆＝(0，0，‑0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536)^T⑦XOY平面中X轴弯曲变形基向量：P₇＝(0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0)^T⑧XOY平面中Y轴弯曲变形基向量：P₈＝(0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0)^T⑨YOZ平面中Y轴弯曲变形基向量：P₉＝(0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0)^T⑩YOZ平面中Z轴弯曲变形基向量：P₁₀＝(0，0，‑0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，‑0.3536)^TXOZ平面中X轴弯曲变形基向量：P₁₁＝(0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0)^TXOZ平面中Z轴弯曲变形基向量：P₁₂＝(0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536)^TXOY平面剪切变形基向量：P₁₃＝(0.25，0.25，0，0.25，‑0.25，0，‑0.25，‑0.25，0，‑0.25，0.25，0，0.25，0.25，0，0.25，‑0.25，0，‑0.25，‑0.25，0，‑0.25，0.25，0)^TYOZ平面剪切变形基向量：P₁₄＝(0，0.25，0.25，0，0.25，0.25，0，0.25，‑0.25，0，0.25，‑0.25，0，‑0.25，0.25，0，‑0.25，0.25，0，‑0.25，‑0.25，0，‑0.25，‑0.25)^TXOZ平面剪切变形基向量：P₁₅＝(‑0.25，0，‑0.25，‑0.25，0，0.25，‑0.25，0，0.25，‑0.25，0，‑0.25，0.25，0，‑0.25，0.25，0，0.25，0.25，0，0.25，0.25，0，‑0.25)^TXOY平面刚体转动位移基向量：P₁₆＝(‑0.25，0.25，0，‑0.25，‑0.25，0，0.25，‑0.25，0，0.25，0.25，0，‑0.25，0.25，0，‑0.25，‑0.25，0，0.25，‑0.25，0，0.25，0.25，0)^TYOZ平面刚体转动位移基向量：P₁₇＝(0，0.25，‑0.25，0，0.25，‑0.25，0，0.25，0.25，0，0.25，0.25，0，‑0.25，‑0.25，0，‑0.25，‑0.25，0，‑0.25，0.25，0，‑0.25，0.25)^TXOZ平面刚体转动位移基向量：P₁₈＝(0.25，0，‑0.25，0.25，0，0.25，0.25，0，0.25，0.25，0，‑0.25，‑0.25，0，‑0.25，‑0.25，0，0.25，‑0.25，0，0.25，‑0.25，0，‑0.25)^TX轴反向弯曲变形基向量：P₁₉＝(0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0)^TY轴反向弯曲变形基向量：P₂₀＝(0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0)^TZ轴反向弯曲变形基向量：P₂₁＝(0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536)^T考虑到单元扭转变形与单元反向剪切变形的关系，利用已经得到的以上21种基本变形向量，采用Schmidt正交化方法得到单元扭剪变形基向量：X轴扭剪变形基向量：P₂₂＝(0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0)^TY轴扭剪变形基向量：P₂₃＝(0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0)^TZ轴扭剪变形基向量：P₂₄＝(0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536，0，0，0.3536，0，0，‑0.3536)^T构造出24种基向量组成的完备正交坐标基矩阵为B＝[P₁ P₂ P₃ P₄ P₅ P₆ … P₂₄]第2步，采用8节点正方体单元对结构进行划分，得到结构在相应荷载工况下的各单元节点坐标的变形向量d_e，d_e＝(x′₁‑x₁,y′₁‑y₁,z′₁‑z₁,x′₂‑x₂,y′₂‑y₂,z′₂‑z₂,x′₃‑x₃,y′₃‑y₃,z′₃‑z₃,x′₄‑x₄,y′₄‑y₄,z′₄‑z₄,x′₅‑x₅,y′₅‑y₅,z′₅‑z₅,x′₆‑x₆,y′₆‑y₆,z′₆‑z₆,x′₇‑x₇,y′₇‑y₇,z′₇‑z₇,x′₈‑x₈,y′₈‑y₈,z′₈‑z₈)^T第3步，任一8节点正方体单元节点坐标的变形向量可以表达为24种基本变形向量的线性组合，单元节点坐标的变形向量可以投影到完备正交坐标基矩阵B上，即d_e＝B·d (1)式(1)可以转化为d＝B^‑1d_e＝B^Td_e  (2)其中，B^‑1为B的逆矩阵，B^T为B的转置矩阵，d为24种基本刚体位移和变形的贡献系数向量，d＝(d₁ d₂ d₃ d₄ d₅ d₆ … d_i … d₂₄)^T，式中表示任一四节点正方形单元的节点坐标位移向量可以表达为24种基本刚体位移和变形的线性组合，其中d_i表示相应i种基本刚体位移或变形对该单元变形的贡献，称为贡献系数，d_i的下角标i＝1,2,…,24；d₁为投影到单元X方向刚体位移上的贡献系数，d₂为投影到单元Y方向刚体位移上的贡献系数，d₃为投影到单元Z方向刚体位移上的贡献系数，d₄为投影到单元X方向拉压变形上的贡献系数，d₅为投影到单元Y方向拉压变形上的贡献系数，d₆为投影到单元Z方向拉压变形上的贡献系数，d₇为投影到单元XOY平面中X轴弯曲变形上的贡献系数，d₈为投影到单元XOY平面中Y轴弯曲变形上的贡献系数，d₉为投影到单元YOZ平面中Y轴弯曲变形上的贡献系数，d₁₀为投影到单元YOZ平面中Z轴弯曲变形上的贡献系数，d₁₁为投影到单元XOZ平面中X轴弯曲变形上的贡献系数，d₁₂为投影到单元XOZ平面中Z轴弯曲变形上的贡献系数，d₁₃为投影到单元XOY平面剪切变形上的贡献系数，d₁₄为投影到单元YOZ平面剪切变形上的贡献系数，d₁₅为投影到单元XOZ平面剪切变形上的贡献系数，d₁₆为投影到单元XOY平面刚体转动位移上的贡献系数，d₁₇为投影到单元YOZ平面刚体转动位移上的贡献系数，d₁₈为投影到单元XOZ平面刚体转动位移上的贡献系数，d₁₉为投影到单元X轴反向弯曲变形上的贡献系数，d₂₀为投影到单元Y轴反向弯曲变形上的贡献系数，d₂₁为投影到单元Z轴反向弯曲变形上的贡献系数，d₂₂为投影到单元X轴扭剪变形上的贡献系数，d₂₃为投影到单元Y轴扭剪变形上的贡献系数，d₂₄为投影到单元Z轴扭剪变形上的贡献系数；第4步，将X方向拉压变形、Y方向拉压变形、Z方向拉压变形、XOY平面中X轴弯曲变形、XOY平面中Y轴弯曲变形、YOZ平面中Y轴弯曲变形、YOZ平面中Z轴弯曲变形、XOZ平面中X轴弯曲变形、XOZ平面中Z轴弯曲变形、XOY平面剪切变形、YOZ平面剪切变形、XOZ平面剪切变形、X轴反向弯曲变形、Y轴反向弯曲变形、Z轴反向弯曲变形、X轴扭剪变形、Y轴扭剪变形、Z轴扭剪变形18种基本变形上的贡献系数绝对值大小进行比较，绝对值最大的基本变形为单元的主要变形，从而实现结构体系的变形分解与振型识别，其中：X、Y、Z方向拉压变形的贡献系数为正时表示变形为X、Y、Z方向受拉变形；X、Y、Z方向拉压变形的投影系数为负时表示变形为X、Y、Z方向受压变形；第5步，在需要进一步分析扭转变形和反向剪切变形时，对X轴扭剪变形、Y轴扭剪变形、Z轴扭剪变形进行二次分解，分解成为XOY平面扭转变形、YOZ平面扭转变形、XOZ平面扭转变形，和XOY平面反向剪切变形、YOZ平面反向剪切变形、XOZ平面反向剪切变形。