一种离散加工路径的拐点平滑方法

摘要

一种离散加工路径的拐点平滑方法，属于高速高性能数控加工领域。该方法采用外切式的且控制点数为9的5次B样条曲线对离散加工路径的拐点进行平滑处理，解决了常规离散路径拐点加工时速度低、易波动的问题。首先，借助重顶点方法和凸包性质构造出由9个控制点组成的B样条曲线的特征多边形及其节点矢量的具体形式，并在逼近误差允值约束下反算出控制点；进而，基于过渡段长度约束，采用比例调节算法对控制点进行一次性修正；最后，根据求得的特征多边形和节点矢量得到最终用于拐点平滑的五次B样条曲线。本方法可使平滑后的路径达到G2连续，较之内切式方法，在相同逼近误差条件下平滑曲线在拐点处具有更大的曲率半径。

主权项

一种离散加工路径的拐点平滑方法，其特征在于：首先，借助重顶点方法和凸包性质构造出由9个控制顶点组成的B样条曲线的特征多边形及其节点矢量的具体形式，并在逼近误差允值约束下反算出控制顶点；进而，基于过渡段长度约束，采用比例调节算法对控制顶点进行一次性修正；最后，根据求得的特征多边形和节点矢量得到最终用于拐点平滑的五次B样条曲线；采用的具体步骤为：(a)构造出由9个控制点组成的外切式B样条曲线的特征多边形及其节点矢量，并通过逼近误差允值约束来反算出控制点；其中，已知拐点Q₁处两相邻线性加工直线段顶点分别为(Q₀,Q₁)和(Q₁,Q₂)，拐点处的最大逼近误差允值为ε；拟构造的拐点过渡段的外切式五次B样条曲线表示为：$C\left(u\right)=\underset{i=0}{\overset{8}{\Sigma }}{B}_{i5}\left(u\right)P_i---\left(1\right)$式1中，P_i为特征多边形的控制点，B_i5为基函数，u为五次B样条曲线的节点矢量，确定{P₀,P₁,...,P₈}为待求的特征多边形的9个控制点，且P₄＝Q₁、P₁＝P₂、P₆＝P₇，P₀、P₁和P₂共线并位于直线段Q₀Q₁上，P₆、P₇和P₈共线并位于直线段Q₁Q₂上，以保证加工直线段与拐点过渡曲线在公共连接点处G2连续；控制点P₃、P₅位于离散点Q₀、Q₁、Q₂所围三角形的外部，且P₀和P₈、P₁和P₆、P₃和P₅分别关于角∠Q₀Q₁Q₂的平分线对称，点P₃到线段Q₀Q₁和点P₅到线段Q₁Q₂的距离均为最大逼近误差ε；由构造的特征多边形对称性和B样条凸包的性质知，最大逼近误差的计算公式为：ε＝||P₄‑C(0.5)||   (2)进而，由式1得C(0.5)的表达式：C(0.5)＝0.0185P₁+0.2593P₃+0.4444P₄+0.2593P₅+0.0185P₆   (3)整理式3后推出：P₄‑C(0.5)＝0.0185P₄P₁+0.2593P₄P₃+0.0185P₄P₆+0.2593P₄P₅   (4)将式4带入到式2中，则最大逼近误差进一步表达为：$ϵ=\left|\right|P_4-C\left(0.5\right)\left|\right|=\left|\right|0.037P_1{P}_{4}cos\left(\frac{\theta }{2}\right)+0.5186P_3{P}_{4}cos\left(\frac{\partial }{2}\right)\left|\right|---\left(5\right)$式5中，∠Q₀Q₁Q₂＝θ,(θ≠180°)，P₃P₄＝L；由于点P₃到线段P₁P₄的距离为ε，且P₃在P₁P₄的垂直平分线上，则推出下列关系：$P_1{P}_4=2Lcos\left(\frac{\partial -\theta }{2}\right)---\left(6\right)$$P_3{P}_4=L=\frac{ϵ}{sin\left(\frac{\partial -\theta }{2}\right)}---\left(7\right)$联立式5、6和7，求解出变量和L；Q₁Q₀的单位向量为N₁，由此，计算出控制点P₃和P₁，即:P₃＝P₄+LN₁   (8)$P_1=P_4+2Lcos\left(\frac{\partial -\theta }{2}\right)N_1---\left(9\right)$又令P₀P₁＝P₃P₄，则控制点P₀由下式导出：$P_0=P_4+L\left(2cos\right(\frac{\partial -\theta }{2})+1)N_1---\left(10\right)$由式8、9和10求得修正后的控制点P₀、P₁、P₃，同理求得控制点P₅、P₆、P₈；(b)考虑过渡段长度约束，采用比例调节算法对控制顶点进行一次性修正；当数控加工连续拐点路径时，为保证路径的连续可调并且不发生干涉现象，即需要对原特征多边形进行约束，比例调节算法如下：$k_1=\frac{2P_0{P}_4}{Q_0{Q}_1}---\left(11\right)$$k_2=\frac{2P_4{P}_8}{Q_1{Q}_2}---\left(12\right)$k＝max(k₁,k₂)   (13)由式11、12、13求出比例系数k；若k>1，则需对控制多边形进行等比例缩小，即由此由式14、15、16求得修正后的控制点P′₀、P′₁、P′₃：P′₃＝P₄+L₁N₁   (14)$P_1^{\prime }=P_4+2L_{1}cos\left(\frac{\partial -\theta }{2}\right)N_1---\left(15\right)$$P_0^{\prime }=P_4+L_1\left(2cos\right(\frac{\partial -\theta }{2})+1)N_1---\left(16\right)$同理，求得控制点P′₅、P′₆、P′₈；修正之后，拐点处逼近误差ε₁也相应变为：${ϵ}_1=\frac{ϵ}{k}---\left(17\right)$式17表明修正之后的逼近误差ε₁与最大逼近误差ε相比缩小了k倍(k>1)；(c)求出用于拐点平滑的五次B样条曲线；若P₃P₄＝L，则直接将步骤(a)中求得的9个控制点带入式1中，得到五次B样条曲线若P′₃P₄＝L₁，则需将步骤(b)中求得的9个控制点带入式1中，得到五次B样条曲线即得到拐点处的平滑路径。