一种非线性宽频压电能量俘获系统建模及参数辨识的方法

摘要

一种非线性宽频压电能量俘获系统建模及参数辨识的方法，首先辨识得到线性压电振动能量俘获系统模型，计算出质量、刚度和阻尼；然后采用从线性压电能量俘获系统中分离出的速度‑电压子系统计算出机电耦合系数；最后，采用多项式拟合非线性宽频压电振动能量俘获系统中的非线性回复力，并且在辨识非线性宽频压电能量俘获系统模型时将其作为系统输入，辨识得到非线性宽频压电振动能量俘获系统的离散时间状态空间方程后，利用其频响函数计算得到非线性回复力，完成了对非线性宽频压电振动能量俘获系统的建模及参数辨识，本发明建立了能够准确预测宽频压电能量俘获系统的输出特性的模型，并利用该模型计算出系统各项参数和非线性回复力。

主权项

一种非线性宽频压电能量俘获系统建模及参数辨识的方法，其特征在于，包括以下步骤：1)根据哈密顿原理、压电理论、Rayleigh‑Ritz原理、欧拉‑伯努利梁理论、电场常值分布理论和Rayleigh阻尼定理，推导得到线性压电振动能量俘获系统的动力学模型表达式：$\left\{\begin{array}{c}M\stackrel{··}{r}\left(t\right)+C_v\stackrel{·}{r}\left(t\right)+Kr\left(t\right)-\theta v\left(t\right)=F\\ \theta \stackrel{·}{r}\left(t\right)+C_p\stackrel{·}{v}\left(t\right)+R^{-1}v\left(t\right)=0\end{array}\right.---\left(1\right)$式(1)中，M为质量，C_v为阻尼，K为刚度，θ为机电耦合系数，C_p为电容，R为负载电阻，F为外部激振力，r(t)是悬臂梁端部位移，v(t)是系统输出电压；2)引入磁场力F_m，将磁场力F_m代入式(1)，使得式(1)所表示的线性压电振动能量俘获系统成为非线性宽频压电振动能量俘获系统：$\left\{\begin{array}{c}M\stackrel{··}{r}\left(t\right)+C_v\stackrel{·}{r}\left(t\right)+Kr\left(t\right)-\theta v\left(t\right)+F_m=F\\ \theta \stackrel{·}{r}\left(t\right)+C_p\stackrel{·}{v}\left(t\right)+R^{-1}v\left(t\right)=0\end{array}\right.---\left(2\right)$式(2)中Kr(t)项所表示的线性回复力和磁场力F_m合并为非线性回复力F_r，式(2)成为：$\left\{\begin{array}{c}M\stackrel{··}{r}\left(t\right)+C_v\stackrel{·}{r}\left(t\right)-\theta v\left(t\right)+F_r=F\\ \theta \stackrel{·}{r}\left(t\right)+C_p\stackrel{·}{v}\left(t\right)+R^{-1}v\left(t\right)=0\end{array}\right.---\left(3\right)$3)推导线性压电振动能量俘获系统理论上的连续时间状态空间方程；通过实验测得线性压电振动能量俘获系统的输入、输出数据，采用PEM模型法辨识得到线性压电振动能量俘获系统的离散时间状态空间方程，完成该系统的建模；建立线性压电振动能量俘获系统辨识得到的离散时间状态空间方程和该系统理论上的连续时间状态空间方程的关系；步骤3)的具体推导过程为：3.1)取状态变量输出变量y＝r(t)，将式(1)转化为连续时间状态空间方程，下标l表示线性压电振动能量俘获系统：$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{·}{x}=A_{l}x+B_{l}F\\ y=C_{l}x\end{array}\right.---\left(4\right)$式(4)中，C_l＝[1 0 0]；3.2)然后根据式(4)的输入输出数据格式要求，将实验测得线性压电振动能量俘获系统的外部激振力F作为输入数据、以悬臂梁端部位移r(t)和电压v(t)为输出数据，采用PEM模型法，辨识得到线性压电振动能量俘获系统的离散时间状态空间方程：$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{·}{x}={\hat{A}}_{l}x+{\hat{B}}_{l}F\\ y={\hat{C}}_{l}x\end{array}\right.---\left(5\right)$式(5)中为辨识得到的线性压电振动能量俘获系统的离散时间状态空间方程的状态矩阵；3.3)线性压电振动能量俘获系统的连续时间系统矩阵和离散时间系统矩阵以及连续时间控制矩阵和离散时间控制矩阵的关系为：$\left\{\begin{array}{c}{\hat{A}}_l=e^{A_{{}_l}\Delta t}\\ {\hat{B}}_l=(e^{A_l\Delta t}-I){A_l}^{-1}{B}_l\\ {\hat{C}}_l=C_l\end{array}\right.---\left(6\right)$式(6)中，e是自然对数；Δt是采样时间；I是单位矩阵；4)根据辨识出线性压电振动能量俘获系统的离散时间状态空间方程求得该系统频率响应函数的辨识值并与其理论值对比求得线性压电振动能量俘获系统的刚度K；步骤4)的具体推导过程为：4.1)由理论上的连续时间状态空间方程(5)推导得到线性压电振动能量俘获系统的频率响应函数的理论值为：H_l(ω)＝C_l(iωI‑A_l)^‑1B_l  (7)当ω＝0时式(7)成为：H_l(0)＝C_l(‑A_l)^‑1B_l  (8)将步骤(3)中A_l、B_l和C_l的表达式代入式(8)得：$H_l\left(0\right)=C_l{(-A_l)}^{-1}{B}_l=-\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]{\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -\frac{K}{M}& -\frac{C_v}{M}& \frac{\theta }{M}\\ 0& -\frac{\theta }{C_p}& -\frac{1}{{\mathrm{RC}}_p}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{M}\\ 0\end{array}\right]=\left[\frac{1}{K}\right]---\left(9\right)$4.2)将式(6)代入式(8)得到当ω＝0时的线性压电振动能量俘获系统的频率响应函数的辨识值：${\hat{H}}_l\left(0\right)={\hat{C}}_l{({\hat{A}}_l-I)}^{-1}{\hat{B}}_l---\left(10\right)$对比式(9)和式(10)，便求得线性压电振动能量俘获系统的刚度K；5)对A_l进行特征值、特征向量分解，得到线性压电振动能量俘获系统的固有频率ω和阻尼比ξ的理论值；运用A_l和的关系计算压电振动能量俘获系统的固有频率ω和阻尼比ξ的辨识值；通过步骤4)步中求出的压电振动能量俘获系统的刚度K，能够求出线性压电振动能量俘获系统的质量M和阻尼C_v；步骤5)的具体推导过程为：5.1)对A_l进行特征值、特征向量分解：A_lψ＝λ_lψ  (11)式中：λ_l是A_l的特征值；ψ是A_l的特征向量，特征值和特征向量的格式为：$\left\{\begin{array}{c}{\lambda }_l={\lambda }_{lR}+{\lambda }_{lI}\\ \psi ={\psi }_R+{\psi }_I\end{array}\right.---\left(12\right)$式中：λ_lR为λ_l的实部；λ_lI为λ_l的虚部；ψ_iR为ψ_i的实部；ψ_iI为ψ_i的虚部；5.2)根据式(6)推导出A_l的特征值λ_l和的特征值的关系为：${\lambda }_l=\frac{ln{\hat{\lambda }}_l}{\Delta t}---\left(13\right)$通过式(13)计算出A_l的特征值λ_l；5.3)由特征值求得线性压电振动能量俘获系统的固有频率ω和阻尼比ξ的值：$\omega =\sqrt{{\lambda }_{lR}^2+{\lambda }_{lI}^2}---\left(14\right)$$\xi =\frac{\left|{\lambda }_{lR}\right|}{\sqrt{{\lambda }_{lR}^2+{\lambda }_{lI}^2}}---\left(15\right)$5.4)固有频率ω和阻尼比ξ的定义：$\omega =\sqrt{\frac{K}{M}}---\left(16\right)$$\xi =\frac{C_v}{2\sqrt{KM}}---\left(17\right)$固有频率ω和阻尼比ξ在步骤5.3)中已经计算出来，又根据步骤4)计算出来的线性压电振动能量俘获系统的刚度K就能够计算出线性压电振动能量俘获系统的质量M和阻尼C_v；6)利用式(1)中第二个方程来构建一个速度‑电压子系统，推导该子系统理论上的连续时间状态空间方程，求得该子系统的频率响应函数的理论值；用PEM模型法辨识得到该子系统的离散时间状态空间方程，求得该子系统的频率响应函数的辨识值，对比理论值得到线性压电振动能量俘获系统的机电耦合系数的值；步骤6)的具体推导过程为：6.1)将式(1)的第二个方程取出作为一个速度‑电压子系统，并同时除以C_p得到：$\stackrel{·}{v}\left(t\right)+\frac{1}{{\mathrm{RC}}_p}v\left(t\right)+\frac{\theta }{C_p}\stackrel{·}{r}\left(t\right)=0---\left(18\right)$6.2)取子系统的速度为输入变量，电压v(t)为输出变量，将式(18)化为速度‑电压子系统的理论上的连续时间状态空间方程，下标s表示速度‑电压子系统：$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{·}{v}\left(t\right)=A_{s}v\left(t\right)+B_s\stackrel{·}{r}\left(t\right)\\ v\left(t\right)=C_{s}v\left(t\right)\end{array}\right.---\left(19\right)$式中，C_s＝1；6.3)从式(19)推导出速度‑电压子系统的当圆频率ω＝0时的频率响应函数的理论值：H_s(0)＝C_s(‑A_s)^‑1B_s＝‑Rθ  (20)6.4)然后根据步骤6.2)中的式(19)输入、输出数据格式要求，将实验测得的线性压电振动能量俘获系统的速度作为输入数据、电压v(t)作为输出数据，采用PEM模型法，辨识得到速度‑电压子系统的离散时间状态空间方程：$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{·}{v}\left(t\right)={\hat{A}}_{s}v\left(t\right)+{\hat{B}}_s\stackrel{·}{r}\left(t\right)\\ v\left(t\right)={\hat{C}}_{s}v\left(t\right)\end{array}\right.---\left(21\right)$式(21)中和为辨识得到的速度‑电压子系统的离散时间状态空间方程的状态矩阵；6.5)由式(21)求得速度‑电压子系统的当圆频率ω＝0时的频率响应函数的辨识值：${\hat{H}}_s\left(0\right)={\hat{C}}_s{({\hat{A}}_s-I)}^{-1}{\hat{B}}_s---\left(22\right)$与式(20)对应，求得线性压电振动能量俘获系统的机电耦合系数；7)用悬臂梁端部位移r(t)的多项式拟合非线性回复力F_r：F_r＝p₀+p₁r(t)+p₂r(t)²+...+p_nr(t)ⁿ  (23)式(3)中：p₀、p₁…p_n为多项式系数；8)由非线性宽频压电振动能量俘获系统的动力学模型推导出该系统理论上的连续时间状态空间方程，由此推导得到非线性宽频压电振动能量俘获系统的频率响应函数的理论值；采集非线性宽频压电振动能量俘获系统的输入输出数据，采用PEM法辨识得到非线性宽频压电振动能量俘获系统的离散时间状态空间方程，由此计算得到非线性宽频压电振动能量俘获系统的频率响应函数的辨识值；对比非线性宽频压电振动能量俘获系统的理论值和辨识值，计算得到拟合非线性回复力的多项式系数，从而得到非线性回复力的值；步骤8)的具体推导过程为：8.1)将非线性回复力作为非线性宽频压电振动能量俘获系统的输入，把式(3)中的F_r移至等式右侧，并将式(23)代入式(3)得到：$\left\{\begin{array}{c}M\stackrel{··}{r}\left(t\right)+C\stackrel{·}{r}\left(t\right)-\theta v\left(t\right)=F_r-p_0-p_{1}r\left(t\right)-p_{2}r{\left(t\right)}^2-\mathrm{...}-p_{n}r{\left(t\right)}^n\\ \theta \stackrel{·}{r}\left(t\right)+C_p\stackrel{·}{v}\left(t\right)+R^{-1}v\left(t\right)=0\end{array}\right.---\left(24\right)$8.2)在辨识过程中，会产生一个伪线性刚度K_f，使得(24)成为：$\left\{\begin{array}{c}M\stackrel{··}{r}\left(t\right)+C\stackrel{·}{r}\left(t\right)+K_{f}r\left(t\right)-\theta v\left(t\right)=F_r-p_0-(p_1-K_f)r\left(t\right)-p_{2}r{\left(t\right)}^2-\mathrm{...}-p_{n}r{\left(t\right)}^n\\ \theta \stackrel{·}{r}\left(t\right)+C_p\stackrel{·}{v}\left(t\right)+R^{-1}v\left(t\right)=0\end{array}\right.---\left(25\right)$8.3)取输入变量为u_e＝[F ‑1 ‑r(t) … ‑rⁿ(t)]，输出变量为y_e＝[r(t) v(t)]为输出，取状态变量为下标e表示非线性宽频压电振动能量俘获系统，由此将式(14)转化为状态空间方程：$\left\{\begin{array}{c}{x}_e=A_e{x}_e+B_e{u}_e\\ y_e=C_e{x}_e\end{array}\right.---\left(26\right)$式(26)中，8.4)由式(26)计算非线性宽频压电振动能量俘获系统的当ω＝0时的频率响应函数的理论值为：$H_e\left(0\right)=\left[\begin{array}{ccccc}\frac{1}{K_f}& \frac{p_0}{K_f}& \frac{p_1-K_f}{K_f}& ...& \frac{p_n}{K_f}\end{array}\right]---\left(27\right)$8.5)对于非线性宽频压电振动能量俘获系统进行实验，测得该系统输入输出数据，以式(26)要求的数据格式采用PEM模型法辨识得到非线性宽频压电振动能量俘获系统的离散时间状态空间方程：$\left\{\begin{array}{c}{x}_e={\hat{A}}_e{x}_e+{\hat{B}}_e{u}_e\\ y_e={\hat{C}}_e{x}_e\end{array}\right.---\left(28\right)$和是通过辨识得到非线性宽频压电振动能量俘获系统的离散时间状态空间方程的状态矩阵；8.6)通过辨识得到的离散状态空间方程计算得到非线性宽频压电振动能量俘获系统的当ω＝0时的频率响应函数的辨识值：${\hat{H}}_e\left(0\right)={\hat{C}}_e{({\hat{A}}_e-I)}^{-1}{\hat{B}}_e---\left(29\right)$与式(27)对应，能够求出拟合非线性回复力的多项式的系数p₀、p₁…p_n，将其代入式(4)计算得到非线性宽频压电振动能量俘获系统的非线性回复力；9)通过步骤3)、4)给出了线性压电振动能量俘获系统的质量、刚度、阻尼和机电耦合系数，由于磁场力的引入对这些参数影响不大，将这些参数作为对应的非线性宽频压电振动能量俘获系统相应的参数；结合步骤5)给出了非线性宽频压电振动能量俘获系统的离散时间状态空间方程和非线性回复力，完成了对非线性宽频压电振动能量俘获系统的建模及参数辨识。