一种椭圆截面弹性柱体自由扭转/变形的模拟方法

摘要

本发明公开了一种椭圆截面弹性柱体自由扭转/变形的模拟方法，其特征是以椭圆截面弹性柱体的棱线为经线，以截面线为纬线，通过相邻的经线、相邻的纬线将椭圆截面弹性柱体侧面分割成一系列块状区域；在椭圆截面弹性柱体自由端施加扭矩作用下，使其产生自由扭转变形，利用扭转应力函数与单位长度的相对扭转角及扭矩之间的对应关系可求出任一关键点在扭矩作用下的变形量；采用插值计算计算任意块状区域内任意一点的变形量，进而更新绘制扭转后的弹性柱体模型；该模拟方法计算简单，能准确快速的计算扭转变形，实现对弹性柱体的实时变形仿真。在交互过程中，自然舒适、力触觉感觉平稳、模拟效果逼真。

主权项

1、一种椭圆截面弹性柱体自由扭转/变形的模拟方法，其特征在于具体步骤如下：步骤1将椭圆截面弹性柱体的一端固定，并以固定端面所在的平面为XY平面，以椭圆截面弹性柱体的中轴线为Z轴，建立XYZ空间坐标系，XYZ空间坐标系的原点为固定端面的形心O，以椭圆截面弹性柱体的另一端为自由端；在椭圆截面弹性柱体的侧面上选取出i条棱线且相邻棱线之间的距离相等，其中i的取值范围为2～360，取j个与XY平面平行的截面且相邻截面之间的距离相等，其中j的取值范围为2～360，且截面中包含固定端面和自由端的端面；以各个截面与各条棱线的交点作为关键点，以截面与棱线的交线为截面线，为棱线为经线，以截面线为纬线，相邻的经线、相邻的纬线将弹性柱体侧面分割成一系列块状区域，块状区域个数为：s＝i·(j-1) i＝2，3，......，360 j＝2，3，......，360    (1)其中s为椭圆截面弹性柱体侧面被分割成的块状区域个数，i为侧面上选取的棱线条数，j为选取的截面个数；步骤2假定任一块状区域K由A_k、B_k、C_k、D_k四个关键点围成，且对应各个关键点在扭矩作用下的位移变形量分别为块状区域内存在任一点Q_k，且Q_k离A_k、B_k、C_k、D_k四个关键点的直线距离分别为这四个关键点对Q_k位移变形量影响系数分别记为且其影响系数之和为1；$\left[\begin{array}{c}{\rho }_{A_k}^{Q_k}\\ {\rho }_{B_k}^{Q_k}\\ {\rho }_{C_k}^{Q_k}\\ {\rho }_{D_k}^{Q_k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{d}_{B_k}^{Q_k}{d}_{C_k}^{Q_k}{d}_{D_k}^{Q_k}\\ d_{A_k}^{Q_k}{d}_{C_k}^{Q_k}{d}_{D_k}^{Q_k}\\ d_{A_k}^{Q_k}{d}_{B_k}^{Q_k}{d}_{D_k}^{Q_k}\\ d_{A_k}^{Q_k}{d}_{B_k}^{Q_k}{d}_{C_k}^{Q_k}\end{array}\right]/\left(d_{B_k}^{Q_k}{d}_{C_k}^{Q_k}{d}_{D_k}^{Q_k}+d_{A_k}^{Q_k}{d}_{C_k}^{Q_k}{d}_{D_k}^{Q_k}+d_{A_k}^{Q_k}{d}_{B_k}^{Q_k}{d}_{D_k}^{Q_k}+d_{A_k}^{Q_k}{d}_{B_k}^{Q_k}{d}_{C_k}^{Q_k}\right)---\left(2\right)$则Q_k点的位移变形量可由A_k、B_k、C_k、D_k四个关键点的位移变形量及影响系数的线性插值求出：${\mathrm{\Delta Q}}_k={\rho }_{A_k}^{Q_k}·{\mathrm{\Delta A}}_k+{\rho }_{B_k}^{Q_k}·{\mathrm{\Delta B}}_k+{\rho }_{C_k}^{Q_k}·{\mathrm{\Delta C}}_k+{\rho }_{D_k}^{Q_k}·{\mathrm{\Delta D}}_k---\left(3\right)$上述任一关键点的位移变形量的计算方法相同，可由步骤3求得；步骤3在椭圆截面弹性柱体的自由端施加一扭矩M_T，使椭圆截面弹性柱体产生自由扭转变形，在选取的任意水平截面XY方向上存在一个扭转应力函数所述扭转应力函数与沿XY方向的变量x、y满足：其中，a、b为椭圆的长半轴、短半轴，G为剪切模量，其与弹性材料的性质有关，θ为单位长度的相对扭转角，这里单位长度指自由端面与固定端面之间设定的单位垂直距离；扭转应力函数与扭转力矩M_T存在以下函数关系：其中为扭转应力函数在截面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$上沿XY方向的二重积分；椭圆截面弹性柱体扭转后，任意截面的扭转角与该截面到固定端面的垂直距离成正比，则离固定端面垂直距离为h处截面的扭转角为h·θ；假定初始位置时，在离截面形心O′距离为r的任一点P_o(x_o，y_o，z_o)，其中r的取值范围介于a、b之间。在扭矩M_T的作用下，扭转后到达一个新的位置P_e(x_e，y_e，z_e)，则该点沿x、y方向的位移分量变形量Δx、Δy可分别表示为：Δx＝x_e-x_o＝-r·sina·h·θ＝-y·h·θ   (6)Δy＝y_e-y_o＝r·cosa·h·θ＝x·h·θ   (7)椭圆截面弹性柱体中任意截面的翘曲变形与其离固定端面的垂直距离h无关，这里的翘曲指在扭矩作用下，截面上各点沿Z轴方向产生的位移分量，取任意截面，对于椭圆截面弹性柱体其对应的翘曲函数Δz是该截面上自变量x，y坐标的函数，即：$\mathrm{\Delta z}=f(x,y)=-\frac{a^2-b^2}{\pi a^3{b}^{3}G}{M}_T\mathrm{xy}---\left(8\right)$步骤4根据步骤2、3，获得各个关键点及各个块状区域内任意一点在三维空间里的坐标，更新绘制扭转后的弹性柱体模型。