基于大质量法的随机加速度激励下结构拓扑优化设计方法

摘要

本发明公开了一种基于大质量法的随机加速度激励下结构拓扑优化设计方法，用于解决现有随机载荷下的结构拓扑优化方法实用性差的技术问题。技术方案是采用大质量法将多点加速度激励转化为力激励施加到结构上，采用虚拟激励法结合模态加速度法计算随机激励下位移响应均方根，然后以结构指定位置位移响应均方根最小为目标，以结构质量为约束进行设计。相比背景技术的设计方法，本发明方法可以实现多点加速度随机激励，不局限于对结构进行单点加载。最终能够设计得到清晰有效的结构构型，从而能满足工程实际中考虑多点加速度加载的设计需求，实用性强。

主权项

一种基于大质量法的随机加速度激励下结构拓扑优化设计方法，其特征在于包括以下步骤：步骤一、建立有限元模型，在拟施加激励位置外建立一大质量点，大质量点取结构重量的10⁶倍，作为载荷的实际施加处，在大质量点与拟施加激励处的所有节点之间建立刚性连接，设置拓扑设计变量η_h初始值，h是正整数表示单元编号，1≤h≤N_h，N_h表示结构单元总数量，给定材料密度ρ和杨氏模量E，给定质量约束上限步骤二、设置激励载荷，给出随机激励f(t)的功率谱密度矩阵S_f(ω)，f(t)为p维列向量，p为载荷中力的个数，t表示时间，S_f(ω)为p维方阵，其下标f表示其为激励f(t)的功率谱矩阵；ω为激励角频率，载荷的激励频段为ω表示激励角频率的下限，表示激励角频率的上限；根据矩阵LDLT分解，存在下式；$S_f\left(\omega \right)=\underset{q=1}{\overset{Q}{\Sigma }}{\left({\gamma }_q\right)}^{*}{\left({\gamma }_q\right)}^T---\left(1\right)$其中Q为矩阵S_f(ω)的秩，γ_q为p维列向量表示第q个虚拟简谐激励，1≤q≤Q，上标T表示向量或矩阵的转置；根据大质量法原理存在下式：$\left[\begin{array}{cc}{M}_{sg}& M_{sg}\\ M_{gs}& M_{gg}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{··}{U_s}\\ \stackrel{··}{U_g}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{C}_{ss}& C_{sg}\\ C_{gs}& C_{gg}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{·}{U_s}\\ \stackrel{·}{U_g}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{K}_{ss}& K_{sg}\\ K_{gs}& K_{gg}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_s\\ U_g\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ M_{gg}\end{array}\right]\stackrel{··}{U_d}={\gamma }_q---\left(2\right)$其中，M、C、K分别表示质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵，U分别表示加速度、速度、位移，下标s表示结构非支撑处的自由度，下标g表示结构支撑处的自由度，M_gg是基底大质量矩阵，为地震激励，γ_q为虚拟简谐激励向量；将式(2)的第2行展开，得下式：$M_{gs}{\stackrel{··}{U}}_s+M_{gg}{\stackrel{··}{U}}_g+C_{gs}{\stackrel{·}{U}}_s+C_{gg}{\stackrel{·}{U}}_g+K_{gs}{U}_s+K_{gg}{U}_g=M_{gg}\stackrel{··}{U_d}---\left(3\right)$将式(3)左右两端左乘M_gg^‑1，由于M_gg^‑1中对角元素趋近于零，得到基础激励处的加速度：$\stackrel{··}{U_g}\approx \stackrel{··}{U_d}---\left(4\right)$步骤三、根据当前设计变量值，采用以下材料插值模型分别计算每一个有限元单元的材料密度ρ_h和杨氏模量E_hρ_h＝ρη_h   (5)$E_h=\frac{15{{\eta }_h}^5+{\eta }_h}{16}E---\left(6\right)$更新结构有限元模型中的相应材料属性并进行结构有限元分析；步骤四、从有限元分析结果中提取每个单元的刚度矩阵K_h和质量矩阵M_h，结构的前l阶模态频率值ω_i，1≤i≤l，模态振型为n行l列矩阵，n为结构总自由度数目，设结构前l阶阻尼比为ξ_i，ξ_i为Rayleigh阻尼，按下式计算：${\xi }_i=\frac{\alpha +{\mathrm{\beta \omega }}_i^2}{2{\omega }_i}---\left(7\right)$α与β为Rayleigh阻尼系数；采用虚拟激励法结合模态加速度法计算结构自由度r的随机位移响应均方根公式为${\sigma }_{u_r}={\left({\int }_{\underset{‾}{\omega }}^{\bar{\omega }}\underset{q=1}{\overset{Q}{\Sigma }}\right|\left|{\left(g_q\right(t\left)\right)}_r\right|{|}^{2}d\omega )}^{1/2}---\left(8\right)$式中u表示位移，||(g_q(t))_r||表示复数(g_q(t))_r的模，g_q(t)为n维列向量表示结构在第q个虚拟简谐激励γ_q下的位移响应，其第r项的计算公式为式中不考虑结构刚体模态，计算所得位移为自由度r相对基础点的相对位移；式中a为n维列向量，只有第r项为1，其它项均为0；为的第i列；b为n行p列由0、1组成的载荷分布矩阵，假如f(t)中第d个力施加在第z个自由度上，则b的第d列中只有第z个元素值是1，d列中其它元素值均为0；e^jωt表示以自然常数e为底数的指数函数，ω为激励频率，j²＝‑1；式(10)中，$H_i={({\omega }_i^2-{\omega }^2+2{\mathrm{j\zeta }}_i{\omega }_i\omega )}^{-1}---\left(11\right)$x_q＝K^‑1(bγ_q)   (12)式中K为结构有限元整体刚度矩阵，x_q是第q个静力载荷bγ_q下的相对位移向量，利用惯性释放分析计算；步骤五、定义拓扑优化模型：find 0＜η≤η_h≤1 h＝1,2,3...N_h$\begin{array}{cc}\min & {\sigma }_{u_r}\end{array}---\left(13\right)$$\begin{array}{cc}s.t& M\le \bar{M}\end{array}$式中η为设计变量下限值，取0.001；表示结构自由度r的随机位移响应均方值；M表示结构质量；步骤六、将模型进行一次有限元分析；通过优化灵敏度分析，求得目标函数和约束条件的灵敏度，选取梯度优化算法进行优化设计，得到优化结果。