一种热传导热源位置识别反问题的数值通解方法

摘要

本发明涉及一种热传导热源位置识别反问题的数值通解方法，该数值通解方法包括如下步骤：热传导源项位置识别反问题的描述，若热传导源为点源，则直接进入下一步骤，若热传导源为非点源，则采用转换算法，将非点源反问题转化为点源反问题，再进入下一步骤；解齐次解和特解，构造数值通解；求解线性方程组，得到热源位置参数。本发明基于有限元数值解、构造出满足热传导微分方程的、以热源参数为变量的数值通解，将热传导位置识别反问题转化为多元函数极值问题，快速反演出热源参数。该方法不仅可以反演点热源位置，且可以反演任意形状热源位置，因此应用面广、适应性强，具有很好的工程应用前景。

主权项

一种热传导热源位置识别反问题的数值通解方法，其特征在于包括如下步骤：1)热传导源项位置识别反问题的描述该热传导源项位置识别反问题描述如下：在热源q_s作用下有温度场θ(x,y,z)，求热源q_s的参数，其中给定补充条件为测量点上给定测量温度θ_d；稳态热传导问题描述为如式(1)所示：$\lambda {▿}^2\theta +q_s=0,(x,y,z\in \Omega )$θ(x,y,z)_b＝θ_b(x,y,z)                (1)$-\lambda {\left(\frac{\partial \theta }{\partial n}\right)}_v=h(\theta {|}_v-{\theta }_f)$$-\lambda {\left(\frac{\partial \theta }{\partial n}\right)}_w=f_2---\left(2\right)$式中：θ(x,y,z)为温度；为拉普拉斯微分算子；Ω为问题的定义域；b为第一类边界条件；v为第三类边界条件；w为第二类边界条件，h为表面传热系数或对流换热系数；θ_f为换热介质温度；q_s为热源函数；λ为导热系数，n为边界法向，f₂为热流密度；2)若步骤1)所述的热传导源为点源，则直接进入步骤3)，若步骤1)所述的热传导源为非点源，则采用转换算法，将非点源反问题转化为点源反问题，再进入步骤3)；3)解齐次解和特解，构造数值通解根据微分方程解的基本理论，式(1)通解由齐次解与特解组成，其中齐次解是在式(1)中令q_s＝0求解得，特解则令q_s＝1求解得；设问题(1)有k个不同位置的点源，热源表达为：$q_s=q(x,y,z)=\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}\left(\delta \right(x_i,y_i,z_i\left){\eta }_i\right)---\left(3\right)$式中：δ(x_i,y_i,z_i)为位置函数，(x_i,y_i,z_i)是位置参数；η_i为第i个点源的强度参数，稳态问题，η_i为常数；k为点源的个数；a根据问题的性质或工程意义，对源项的位置给出其可能的位置范围,式(3)中第i个源项q_si的位置变量是(x_i,y_i,z_i)，该位置变量设其变化范围为：x_i1≤x_i≤x_i2、y_i1≤y_i≤y_i2、z_i1≤z_i≤z_i2，其中x_i1,x_i2,y_i1,y_i2,z_i1,z_i2为已知值；引进无量纲位置参数变量有助于后续公式的简化：${\alpha }_i^1=(x_{i1}-x_i)/(x_{i1}-x_{i2}),{\alpha }_i^2=(y_{i1}-y_i)/(y_{i1}-y_{i2}),{\alpha }_i^3=(z_{i1}-z_i)/(z_{i1}-z_{i2}),$且有$0\le {\alpha }_i^k\le 1,$k＝1,2,3；b只考虑一个变量，如x_i，计算特解；分别计算k个点源强度为η_i的有限元数值解，这里有限元数值解的含义是：对式(1)给出的问题定义域Ω，利用计算机通过有限元方法对第i个点源计算在2个端点(x_i1,x_i2)有强度为η_i的点热源作用下定义域Ω内的温度场，记为数值特解令式(1)中q_s＝0，解得齐次解θ＝θ₁；采用无量纲位置参数变量，从而构造温度场数值通解θ表示为：$\theta ={\theta }_1+\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}\left(\right(1-{\alpha }_i^1){\theta }_{qi}^1+{\alpha }_i^1{\theta }_{qi}^2)---\left(4\right)$式中：为对应坐标x_i的无量纲位置参数，是待求未知量；为点源i的特解；通过给定补充条件，即在若干测量点上考虑数值通解(4)与给定测量温度θ_d的误差，得到问题的残差平方费用函数，如下：$g\left({\alpha }^1\right)=\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{({\theta }_{1j}+\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}(\left(1-{\alpha }_i^1\right){\theta }_{qij}^1+{\alpha }_i^1{\theta }_{qij}^2)-{\theta }_{dj})}^2---\left(5\right)$其中：m为测量点数；θ_dj为测量点j的测量温度、θ_1j是测量点j的齐次解、是第i个点源在j点的特解；源项识别反问题式(1)转化为式(5)所表示的一个以热源位置参数为变量的多元函数的极值问题，解得极值，求得反问题的解；c对位置变量y_i,z_i，分别重复b步，得到类似(5)式的分别以为变量的表达式，如(6)式给出，然后转到步骤4)求解；$\begin{array}{c}g\left({\alpha }^2\right)=\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{({\theta }_{1j}+\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}(\left(1-{\alpha }_i^2\right){\theta }_{qij}^1+{\alpha }_i^2{\theta }_{qij}^2)-{\theta }_{dj})}^2\\ g\left({\alpha }^3\right)=\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{({\theta }_{1j}+\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}(\left(1-{\alpha }_i^3\right){\theta }_{qij}^1+{\alpha }_i^3{\theta }_{qij}^2)-{\theta }_{dj})}^2\end{array}---\left(6\right)$4)求解线性方程组，得到热源位置参数求式(5)、式(6)的极值问题，对位置参数变量求导数，即令：$\partial g/\partial {\alpha }_i^p=0,i=1,2,...,k;p=1,2,3$式中：i对应第i个未知位置变量参数，p对应坐标的三个方向，其中1对应式(5)，2对应式(6)的第一个表达式，3对应式(6)的第二个表达式，由此得到计算点源位置参数的线性方程组：A·α＝B                   (7)$\begin{array}{c}B={\left(\underset{j}{\overset{m}{\Sigma }}\left({\theta }_{dj}-{\theta }_{1j}-\underset{i}{\overset{k}{\Sigma }}{\theta }_{qij}^1\right)\left({\theta }_{qpj}^2-{\theta }_{qpj}^1\right)\right)}_{k\times 1}\\ =\underset{j}{\overset{m}{\Sigma }}\left[\begin{array}{c}\left({\theta }_{dj}-{\theta }_{1j}-\underset{i}{\overset{k}{\Sigma }}{\theta }_{qij}^1\right)\left({\theta }_{q1j}^2-{\theta }_{q1j}^1\right)\\ .\\ .\\ .\\ \left({\theta }_{dj}-{\theta }_{1j}-\underset{i}{\overset{k}{\Sigma }}{\theta }_{qij}^1\right)\left({\theta }_{qkj}^2-{\theta }_{qkj}^1\right)\end{array}\right]\end{array}---\left(9\right)$其中：α为由k个点源组成的无量纲热源位置参数向量，每一次求解只对应着某一个坐标方向；求解式(7)后，根据求得的无量纲α得到热源的位置参数，如下：$x_i=x_{i1}-(x_{i1}-x_{i2}){\alpha }_i^1$$y_i=y_{i1}-(y_{i1}-y_{i2}){\alpha }_i^2,(i=1,2,...,k)---\left(10\right).$$z_i=z_{i1}-(z_{i1}-z_{i2}){\alpha }_i^3$