一种基于曲率特征的叶片曲面统一离散方法

摘要

一种基于曲率特征的叶片曲面统一离散方法，步骤为：一选定截面线r，确定圆弧段中心点B₁，B₂；二从B₁，B₂点求出纵向曲率线L₂，L₆；三从B₁，B₂两侧找到4点V₁，V₂，V₃，V₄；四在叶片两端求出经过该4点的纵向曲率线L₁，L₃，L₅，L₇；五L₁，L₂，L₃作为等参数线，对L₁，L₃中间区域参数化，确定边界线l₁，l₃；L₅，L₆，L₇作为等参数线，对L₅，L₇中间区域参数化，确定边界线l₅，l₇；六分别确定截面线r上圆弧中心点M₁，M₂；七确定经过M₁，M₂纵向曲率线L₄，L₈；八以L₂，L₄，L₆，L₈和l₁，l₃，l₅，l₇为新参数域的等参数线，重新参数化；九根据新参数对曲面进行非均匀离散。

主权项

一种基于曲率特征的叶片曲面统一离散方法，其特征在于：它包括以下步骤：步骤一选定一个有代表性的截面线r，确定其上进排气边圆弧段的中心点B₁,B₂位置；具体过程如下：选定叶片的某一条等参数线S(u,v₀)作为叶片的一条截面线，计算该截面线的曲率分布$k\left(u\right)=\frac{L(u,v_0)}{E(u,v_0)}$其中L(u，v₀)＝S(u，v₀)·n(u，v₀)，E(u，v₀)＝S(u，v₀)·S(u，v₀)，n(u,v₀)为曲面在点(u,v₀)处的单位法矢，函数k(u)随着u的从小到大的会有两个突变，设给定阈值系数F,定义当k(u)≥F×k₀时，u处于突变位置之内；分别记录第一个突变的起始位置U_1s和终止位置U_1e，第二个突变的起始位置U_2s和终止位置U_2e；定义运算$std\left(a\right)=\left\{\begin{array}{c}a+1,a<0;\\ a-1,a>1;\\ a,0\le a\le 1.\end{array}\right.$$Add(a,b)=\left\{\begin{array}{c}a+b,a\le b;\\ a+b+1,a>b.\end{array}\right..$令$U_2=std\left(\frac{Add(U_{1s},U_{1e})}{2}\right),$$U_6=std\left(\frac{Add(U_{2s},U_{2e})}{2}\right).$则U₂和U₆即为圆弧过渡的中心位置；如果不加说明，都有v₀＝0；std(a)运算保证了结果落在参数的定义域内；Add(a,b)则是考虑到突变区域跨越参数域边界的情况；k₀实际上表示截面线的平均曲率；圆弧过渡的中心位置对应着截面线的最弯处；U₂和U₆的确定通过选取叶片多条截面线，分别通过上述步骤计算，再取平均值得到；U₂和U₆确定了点B₁,B₂；步骤二从B₁,B₂点出发向叶片两端求出经过点B₁,B₂的两条纵向曲率线L₂,L₆；具体过程如下：令u_2,1＝U₂，u_6,1＝U₆,v₁＝0如果已知曲率线上第i个点，首先确定第二条曲率线下一点的参数值；计算叶片曲面在点(u_2,i,v_i)处与V方向相近的主方向三维空间中的向量D_2,i,则下一点P_2,i+1＝S(u_2,i,v_i)+step×D_2,i，其中step为给定的步长，其大小影响V方向的离散精度；再计算点P_2,i+1在曲面上对应的参数值(u_2,i+1,v_i+1)，当v_i+1≥1时，上述步骤终止；对于j＝6，确定叶片曲面在点(u_j，i，v_i)处与V方向相近的主方向曲面上一方向的比值d_j,i,则$u_{j,i+1}=u_{j,i}+(v_{i+1}-v_i)\times \frac{\left|S_u(u_{j,i},v_i)\right|}{\left|S_v(u_{j,i},v_i)\right|}\times d_{j,i},$从而第j条曲率线第i+1个点的参数值为(u_j,i+1,v_i+1)；对于i＝2,6，记U_i对应的曲率线为L_i；步骤三在代表截面线r上，从B₁,B₂两点出发，分别在B₁和B₂点两侧进排气边圆弧范围内找到4个指定点V₁,V₂,V₃,V₄；给定距离值dis₁,dis₂，计算U₁,U₃,U₅,U₇，使得${\mathrm{dis}}_1=\left\{\begin{array}{c}{\int }_{U_1}^{U_2}\left|S^{\prime }(u,v_0)\right|du,{\int }_0^{U_2}\left|S^{\prime }(u,v_0)\right|du\ge {\mathrm{dis}}_1;\\ {\int }_{U_1}^1\left|S^{\prime }(u,v_0)\right|du+{\int }_0^{U_2}\left|S^{\prime }(u,v_0)\right|du,{\int }_0^{U_2}\left|S^{\prime }(u,v_0)\right|du<{\mathrm{dis}}_1\end{array}\right.$${\mathrm{dis}}_1=\left\{\begin{array}{c}{\int }_{U_2}^{U_3}\left|S^{\prime }(u,v_0)\right|du,{\int }_{U_2}^1\left|S^{\prime }(u,v_0)\right|du\ge {\mathrm{dis}}_1;\\ {\int }_{U_2}^1\left|S^{\prime }(u,v_0)\right|du+{\int }_0^{U_3}\left|S^{\prime }(u,v_0)\right|du,{\int }_{U_2}^1\left|S^{\prime }(u,v_0)\right|du<{\mathrm{dis}}_1\end{array}\right.$${\mathrm{dis}}_2=\left\{\begin{array}{c}{\int }_{U_5}^{U_6}\left|S^{\prime }(u,v_0)\right|du,{\int }_0^{U_6}\left|S^{\prime }(u,v_0)\right|du\ge {\mathrm{dis}}_2;\\ {\int }_{U_5}^1\left|S^{\prime }(u,v_0)\right|du+{\int }_0^{U_6}\left|S^{\prime }(u,v_0)\right|du,{\int }_0^{U_6}\left|S^{\prime }(u,v_0)\right|du<{\mathrm{dis}}_2\end{array}\right.$${\mathrm{dis}}_2=\left\{\begin{array}{c}{\int }_{U_6}^{U_7}\left|S^{\prime }(u,v_0)\right|du,{\int }_0^{U_6}\left|S^{\prime }(u,v_0)\right|du\ge {\mathrm{dis}}_2;\\ {\int }_{U_6}^1\left|S^{\prime }(u,v_0)\right|du+{\int }_0^{U_7}\left|S^{\prime }(u,v_0)\right|du,{\int }_0^{U_6}\left|S^{\prime }(u,v_0)\right|du<{\mathrm{dis}}_2\end{array}\right.$则U₁,U₃,U₅,U₇即为所需求的圆弧上V₁,V₂,V₃,V₄的位置；在求解积分时出现U₁,U₃,U₄,U₆与步骤一中的U_1s,U_1e,U_2s,U_2e意义不一样，实际叶片曲面在圆弧过渡边缘处的曲率走势会比较紊乱，所以需要通过参数dis₁,dis₂来调整U₁,U₃,U₄,U₆的取值，使得经过点(U₁,v₀),(U₃,v₀),(U₄,v₀),(U₆,v₀)处的四条与叶片造型方向一致的曲率线稳定可信；步骤四从V₁,V₂,V₃,V₄出发向叶片两端求出分别经过V₁,V₂,V₃,V₄的四条纵向曲率线L₁,L₃,L₅,L₇；u_1,1＝U₁,u_3,1＝U₃,u_5,1＝U₅,u_7,1＝U₇；已知曲率线上第i个点，对于j＝1,3,5,7，确定叶片曲面在点(u_j,i,v_i)处与V方向相近的主方向曲面上一方向的比值d_j,i,则$u_{j,i+1}=u_{j,i}+(v_{i+1}-v_i)\times \frac{\left|S_u(u_{j,i},v_i)\right|}{\left|S_v(u_{j,i},v_i)\right|}\times d_{j,i},$从而第j条曲率线第i+1个点的参数值为(u_j,i+1,v_i+1)；对于i＝1,3,5,7，记U_i对应的曲率线为L_i；步骤五把L₁,L₂,L₃作为等参数线，对L₁,L₃中间的区域进行重新参数化，确定重新参数化后的参数域边界线l₁,l₃；把L₅,L₆,L₇作为等参数线，对L₅,L₇中间的区域进行重新参数化，确定重新参数化后的参数域边界线l₅,l₇；设叶片进排气边的平均过渡圆弧弧长为ArcL，定义$m(a,b)=\left\{\begin{array}{c}a-b-1,a>b;\\ a-b,a\le b.\end{array}\right.;$$M(a,b)=\left\{\begin{array}{c}a-b+1,a<b;\\ a-b,a\ge b.\end{array}\right..$令$u_{1,i}=std(\frac{ArcL\times m(u_{1,i},u_{2,i})}{2{\mathrm{dis}}_1}+u_{2,i});$$u_{3,i}=std(\frac{ArcL\times M(u_{3,i},u_{2,i})}{2{\mathrm{dis}}_1}+u_{2,i});$$u_{5,i}=std(\frac{ArcL\times m(u_{5,i},u_{6,i})}{2{\mathrm{dis}}_2}+u_{6,i});$$u_{7,i}=std(\frac{ArcL\times M(u_{7,i},u_{6,i})}{2{\mathrm{dis}}_2}+u_{6,i});$从而把L₁,L₃,L₅,L₇往远离进排气边方向平移至新的参数域；记平移后得到的曲线分别为l₁,l₃,l₅,l₇；由于造型的误差，实际叶片曲面在进排气边过渡圆弧起末端区域的曲率线走势会比较紊乱，不能够直接求解通过该区域的曲率线，步骤四是把该区域外侧的曲率线通过距离比例来移动，从而得到经过该区域的近似曲率线；步骤六分别确定截面线r上叶盆叶背圆弧的中心点M₁,M₂；令则U₄,U₈记录了点M₁,M₂的位置；步骤七确定经过M₁,M₂的两条纵向曲率线或等参数线L₄,L₈；L₄,L₈如果为曲率线，则求解过程如下：已知曲率线上第i个点，对于j＝4,8，确定叶片曲面在点(u_j,i,v_i)处与V方向相近的主方向曲面上一方向的比值d_j,i,则$u_{j,i+1}=u_{j,i}+(v_{i+1}-v_i)\times \frac{\left|S_u(u_{j,i},v_i)\right|}{\left|S_v(u_{j,i},v_i)\right|}\times d_{j,i},$从而第j条曲率线第i+1个点的参数值为(u_j,i+1,v_i+1)；对于i＝4,8，记U_i对应的曲率线为L_i，如果L₄,L₈为等参数线,则对于j＝4,8,u_j,i+1＝U_j；步骤八以L₂,L₄,L₆,L₈和l₁,l₃,l₅,l₇为新参数域下的等参数线，对曲面进行重新参数化；设重新参数化的后的曲面表达式为S′(u′,v′)，将八条线看做是新的等U’参数线，首先确定第j条线在新参数化下对应的U’坐标u′_j，令u′₁＝0,则u′_j＝u′_j‑1+M(U_j,U_j‑1),j＝2,…,8.记u′₉＝1；给定一个U′V′坐标(u′,v_i)，其对应的UV坐标为$\left(std\right(\frac{(u^{\prime }-{u^{\prime }}_j)M(u_{j+1,i},u_{j,i})}{{u^{\prime }}_{j+1}-{u^{\prime }}_j}+u_{j,i}),v_i),$其中j满足u′_j≤u′≤u′_j+1，八条线L₂,L₄,L₆,L₈和l₁,l₃,l₅,l₇实际上是逼近叶片曲面上与V方向一致的八根线，这八根曲率线根据曲面的弯曲特征把叶片曲面分割了八块相对平稳的区域，从而保证每块区域中的参数线都不会出现过大的扭曲；步骤九根据新参数对曲面进行非均匀离散；V’方向的离散已经由步骤二确定，故只需讨论U’方向的离散；给定U’方向的离散弓高为GgU，最大离散间隔为Offset，记V’方向的离散点数为vnum；如果当前U’参数位置为U′_i，对于1≤j≤vnum,计算点(U′_i,v_j)在UV坐标下的参数，从而确定(U′_i,v_j)处的沿U’方向的曲率uQL_i,j,令${\mathrm{OS}}_{i,j}=\frac{2\times \sqrt{r_{i,j}^2-{(r_{i,j}-GgU)}^2+{\mathrm{GgU}}^2}.}{{\mathrm{uLen}}_j}$其中uLen_j表示曲面上的曲线V＝v_j的弧长；令offset_i＝min{min_jOS_i,j,Offset}，则下一个离散位置为U′_i+1＝U′_i+offset_i。