一种集中力作用下深梁四点弯曲应力计算方法

摘要

本发明属于飞行器结构强度技术领域，本发明提供了一种集中力作用下深梁四点弯曲应力计算方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤1：集中力产生的应力场；步骤2：剪力作用下的应力场；步骤3：四点弯曲梁弯矩和剪力共同作用时的正应力的分解；步骤4：无量纲化分析得到正应力。

主权项

一种集中力作用下深梁四点弯曲应力计算方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤1：集中力产生的应力场以截面为矩形情况下的梁为例进行分析，根据弹性力学半平面体在边界上受集中力时每个集中力P在其作用点为圆心的区域内引起的正应力的直角坐标表达式为：${\sigma }_x^p=-\frac{2p}{\pi }\frac{x^{2}y}{{(x^2+y^2)}^2}---\left(1\right)$式中，x为X轴上坐标值，y为Y轴上坐标值；步骤2：剪力作用下的应力场梁两端在集中力R1和R2的反力作用下，梁内也会产生应力场，按照叠加原理，由4个集中力P梁内应力产生的应力场叠加而得，4个集中力P分别为F1、F2、R1、R2，需要对4个集中力作用点的局部坐标系进行坐标变换：a)对于F1的应力场，坐标变换式为：$\left\{\begin{array}{c}{x}_{F1}=x+(L_S-l)\\ y_{F1}=y+h/2\end{array}\right.---\left(2\right)$b)对于F2的应力场，坐标变换式为：$\left\{\begin{array}{c}{x}_{F2}=x-(L_S-l)\\ y_{F2}=y+h/2\end{array}\right.---\left(3\right)$c)对于R1的应力场，坐标变换式为：$\left\{\begin{array}{c}{x}_{R1}=-x-L_S\\ y_{R1}=-y+h/2\end{array}\right.---\left(4\right)$d)对于R2的应力场，坐标变换式为：$\left\{\begin{array}{c}{x}_{R2}=-x+L_S\\ y_{R2}=-y+h/2\end{array}\right.---\left(5\right)$以上各式中，(x_F1,y_F1)，(x_F2,y_F2)，(x_R1,y_R1)，(x_R2,y_R2)分别为集中力Fl、F2、R1、R2的作用点在坐标系中的坐标值；实验情况下F1＝F2＝R1＝R2＝F/2，Fl、F2、R1、R2的正负以梁的总体方向为标准，将式(2)一式(5)代入式(1)，得剪力作用时的正应力$\begin{array}{c}{\sigma }_x^F=\frac{F}{\pi }\frac{{\left(x+L_S-l\right)}^2\left(y+h/2\right)}{{\left[{\left(x+L_S-l\right)}^2+{\left(y+h/2\right)}^2\right]}^2}\\ +\frac{F}{\pi }\frac{{\left(x-L_S+l\right)}^2\left(y+h/2\right)}{{\left[{\left(x-L_S+l\right)}^2+{\left(y+h/2\right)}^2\right]}^2}\\ -\frac{F}{\pi }\frac{{\left(x+L_S\right)}^2\left(-y+h/2\right)}{{\left[{\left(x+L_S\right)}^2+{\left(-y+h/2\right)}^2\right]}^2}\\ -\frac{F}{\pi }\frac{{\left(x-L_S\right)}^2\left(-y+h/2\right)}{{\left[{\left(x-L_S\right)}^2+{\left(-y+h/2\right)}^2\right]}^2}\end{array}---\left(6\right)$式中，L_s为单侧跨距长度，l为力臂长度，h为梁的高度。步骤3：四点弯曲梁弯矩和剪力共同作用时的正应力梁在集中力的作用下，不仅有剪力也有弯矩，从而产生剪力应力和弯曲应力，按照细长梁理论弯矩产生的应力剪力产生的应力由公式(6)确定，则按照叠加原理在弯剪共同作用下，正应力σ_x应为：$\begin{array}{c}{\sigma }_x={\sigma }_x^F+{\sigma }^M=\frac{My}{I}+\frac{F}{\pi }\frac{{\left(x+L_S-l\right)}^2\left(y+h/2\right)}{{\left[{\left(x+L_S-l\right)}^2+{\left(y+h/2\right)}^2\right]}^2}\\ +\frac{F}{\pi }\frac{{\left(x-L_S+l\right)}^2\left(y+h/2\right)}{{\left[{\left(x-L_S+l\right)}^2+{\left(y+h/2\right)}^2\right]}^2}\\ -\frac{F}{\pi }\frac{{\left(x+L_S\right)}^2\left(-y+h/2\right)}{{\left[{\left(x+L_S\right)}^2+{\left(-y+h/2\right)}^2\right]}^2}\\ -\frac{F}{\pi }\frac{{\left(x-L_S\right)}^2\left(-y+h/2\right)}{{\left[{\left(x-L_S\right)}^2+{\left(-y+h/2\right)}^2\right]}^2}\end{array}---\left(7\right)$步骤4：无量纲化分析为了方便计算和分析，引人下列无量纲参数：令$\xi =\frac{y}{h/2},\eta =\frac{x}{L_s},(0<\eta <1),$跨高比$\alpha =\frac{2L_s}{h},$剪跨比$k=\frac{l}{L_s}$代入公式(7)，得$\begin{array}{c}{\sigma }_x=\frac{My}{I}+\frac{F}{2\pi h}\{\frac{4{(\eta +1-k)}^2{\alpha }^2(\xi +1)}{{[{(\eta +1-k)}^2{\alpha }^2+{(\xi +1)}^2]}^2}\\ +\frac{4{(\eta -1+k)}^2{\alpha }^2(\xi +1)}{{[{(\eta -1+k)}^2{\alpha }^2+{(\xi +1)}^2]}^2}\\ -\frac{4{(\eta +1)}^2{\alpha }^2(-\xi +1)}{{[{(\eta +1)}^2{\alpha }^2+{(-\xi +1)}^2]}^2}\\ -\frac{4{(\eta -1)}^2{\alpha }^2(-\xi +1)}{{[{(\eta -1)}^2{\alpha }^2+{(-\xi +1)}^2]}^2}\}\end{array}---\left(8\right)$令$\begin{array}{c}\lambda =\frac{4{(\eta +1-k)}^2{\alpha }^2(\xi +1)}{{[{(\eta +1-k)}^2{\alpha }^2+{(\xi +1)}^2]}^2}\\ +\frac{4{(\eta -1+k)}^2{\alpha }^2(\xi +1)}{{[{(\eta -1+k)}^2{\alpha }^2+{(\xi +1)}^2]}^2}\\ -\frac{4{(\eta +1)}^2{\alpha }^2(-\xi +1)}{{[{(\eta +1)}^2{\alpha }^2+{(-\xi +1)}^2]}^2}\\ -\frac{4{(\eta -1)}^2{\alpha }^2(-\xi +1)}{{[{(\eta -1)}^2{\alpha }^2+{(-\xi +1)}^2]}^2}\end{array}$则${\sigma }_x=\frac{My}{I}+\frac{F\lambda }{2\pi h}---\left(9\right)$公式(9)无量纲量λ反映了深梁应力计算方法与材料力学细长梁理论应力之差别，由于它是从深梁微元受力分析得出的，考虑了弯剪对梁共同作用的结果，所以具有通性。