一种旋转对称结构固有频率和稳定性的简化分析方法

摘要

一种旋转对称结构固有频率和稳定性的简化分析方法：分别建立系统的完整动力学微分方程、采用无延展假设的动力学微分方程和延展假设的动力学微分方程，包括：建立系统的完整动力学微分方程；建立采用无延展假设的动力学微分方程；建立采用延展假设的动力学微分方程；引入坐标变换将三个动力学微分方程转换到支撑随动坐标系下，得到相对应的三个常系数偏微分动力学方程；将支撑随动坐标系下的三个常系数偏微分动力学方程离散处理为三个常微分矩阵方程；分别得到一个完整动力学微分方程的特征值和两个简化动力学微分方程的特征值；根据三个特征值分析旋转对称结构的参激振动模态特性和动力稳定性变化规律。本发明能够更清晰的得到系统特征值的具体解析表达式。

主权项

一种旋转对称结构固有频率和稳定性的简化分析方法，其特征在于，分别对由薄圆环和离散旋转支撑构成的旋转对称结构建立：系统的完整动力学微分方程，采用无延展假设的动力学微分方程，以及延展假设的动力学微分方程，对三种所述的动力学微分方程对比分析，得到无延展假设和延展假设适用条件；具体包括如下步骤：1)分别建立系统的完整动力学微分方程、采用无延展假设的动力学微分方程和延展假设的动力学微分方程：(1)建立系统的完整动力学微分方程：在圆环随动坐标系o‑rθz下，基于Hamilton原理建立旋转对称结构的完整动力学微分方程为：$M^C{\stackrel{··}{q}}^C+(K^{C0}+K^{C1})q^C=0;$式中：为质量算子矩阵；为考虑径向和切向变形的系统的动力学响应，均为时间t的函数；为圆环刚度算子矩阵；其中$K_{uu}^0=-c_z\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}+k_t,K_{uv}^0=c_z\frac{{\partial }^3}{\partial {\theta }^3}-\frac{\partial }{\partial \theta },K_{vu}^0=-c_z\frac{{\partial }^3}{\partial {\theta }^3}+\frac{\partial }{\partial \theta },K_{vv}^0=c_z\frac{{\partial }^4}{\partial {\theta }^4}+k_r+1$为旋转支撑附加刚度算子矩阵；其中$K_{uu}^1=k^{*}{\sin }^2\beta ,K_{uv}^1=K_{vu}^1=\frac{1}{2}{k}^{*}sin2\beta ,K_{vv}^1=k^{*}{\cos }^2\beta$利用Dirac函数描述了旋转支撑的时变性；β为旋转支撑的方向角；θ为表示旋转支撑位置角的一个空间函数；k_t为圆环外侧均布切向静止支撑刚度；k_r为圆环外侧均布径向静止支撑刚度；θ_j＝2π(j–1)/N，表示第j个旋转支撑的初始位置，N为总的旋转支撑个数；Ω为旋转支撑的转速；t表示时间；c_z＝I/(AR²)为人为引入的一个运算符；I＝bh³/12为圆环截面惯性矩；A＝bh为圆环截面面积；R为圆环中心圆半径；b为圆环的径向厚度；h为圆环的轴向高度；k_s为旋转支撑刚度；(2)应用无延展假设建立采用无延展假设的动力学微分方程：$M^{SA}\stackrel{··}{u}+(K^{SA0}+K^{SAout}+K^{SA1})u=0;$式中：为质量算子；为圆环刚度算子矩阵；为均布支撑附加刚度算子矩阵；为旋转支撑附加刚度算子矩阵；(3)应用延展假设建立采用延展假设的动力学微分方程：$M^{SB}\stackrel{··}{v}+(K^{SB0}+K^{SBout}+K^{SB1})v=0;$式中：为质量算子；为圆环刚度算子矩阵；为均布支撑附加刚度算子矩阵；为旋转支撑附加刚度算子矩阵；2)引入坐标变换将步骤1)中的三个动力学微分方程转换到支撑随动坐标系下，分别得到与三个动力学微分方程相对应的三个常系数偏微分动力学方程如下：(1)(M′^C+K′^C0+K′^C1)q^C＝0；式中：${K^{\prime }}_{uu}^1=k^{\prime *}{\sin }^2\beta ,{K^{\prime }}_{uv}^1={K^{\prime }}_{vu}^1=\frac{1}{2}{k}^{\prime *}sin2\beta ,{K^{\prime }}_{vv}^1=k^{\prime *}{\cos }^2\beta ,$(2)(M′^SA+K′^SA0+K′^SAout+K′^SA1)u＝0；式中：(3)(M′^SB+K′^SB0+K′^SBout+K′^SB1)v＝0；式中：3)利用Galerkin方法，将支撑随动坐标系下的三个常系数偏微分动力学方程离散处理为三个常微分矩阵方程：(1)式中：为质量矩阵；为动力学响应矩阵；为陀螺矩阵；为刚度矩阵A_C＝k_θ‑n²(Ω²‑c_z‑1)，C_C＝n⁴c_z+k_r+1‑n²Ω²，F_C＝n³c_z+n；式中：n为振动波数；(2)式中：$M_{SA}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right];$$q_{SA}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)\\ y_1\left(t\right)\end{array}\right];$$G_{SA}=\left[\begin{array}{cc}0& 2n\Omega \\ -2n\Omega & 0\end{array}\right];$$K_{SA}=\left[\begin{array}{cc}{A}_{SA}+B_{SA}& C_{SA}\\ C_{SA}& A_{SA}-B_{SA}\end{array}\right]$$A_{SA}=-n^2{\Omega }^2+\frac{n^2{(n^2-1)}^2{c}_z}{n^2+1}+\frac{(k_t+n^2{k}_r)}{n^2+1}+\frac{{\mathrm{Nk}}_s({\sin }^2\beta +n^2{\cos }^2\beta )}{2\pi (n^2+1)},$$B_{SA}=\frac{{\mathrm{Nk}}_s({\sin }^2\beta -n^2{\cos }^2\beta )}{2\pi (n^2+1)},C_{SA}=\frac{{\mathrm{nNk}}_s\sin 2\beta }{2\pi (n^2+1)};$(3)式中：$M_{SB}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right];$$q_{SB}=\left[\begin{array}{c}{x}_2\left(t\right)\\ y_2\left(t\right)\end{array}\right];$$G_{SB}=\left[\begin{array}{cc}0& 2n\Omega \\ -2n\Omega & 0\end{array}\right];$$K_{SB}=\left[\begin{array}{cc}{A}_{SB}+B_{SB}& C_{SB}\\ C_{SB}& A_{SB}-B_{SB}\end{array}\right]$$A_{SB}=-n^2{\Omega }^2+\frac{(4c_z+1)n^4+2n^2+1}{n^2\mathrm{+1}}+\frac{k_r+n^2{k}_t}{n^2+1}+\frac{{\mathrm{Nk}}_s({\cos }^2\beta +n^2{\sin }^2\beta )}{2\pi (n^2+1)},$$B_{SB}=\frac{{\mathrm{Nk}}_s({\cos }^2\beta -n^2{\sin }^2\beta )}{2\pi (n^2+1)},C_{SB}=\frac{{\mathrm{nNk}}_{s}sin2\beta }{2\pi (n^2+1)};$4)对步骤3)中第(1)个常微分矩阵方程，利用经典振动理论，借助Matlab软件，得到完整动力学微分方程的特征值；对步骤3)中第(2)个和第(3)个常微分矩阵方程，分别对应设解和并对应代入第(2)个和第(3)个常微分矩阵方程，运算后得到相应的特征值的表达式：${\lambda }_{SA}^2=-(A_{SA}+2n^2{Q}^2)\pm \sqrt{{(A_{SA}+2n^2{Q}^2)}^2-(A_{SA}^2-B_{SA}^2-C_{SA}^2)}$${\lambda }_{SB}^2=-(A_{SB}+2n^2{Q}^2)\pm \sqrt{{(A_{SB}+2n^2{Q}^2)}^2-(A_{SB}^2-B_{SB}^2-C_{SB}^2)};$5)根据步骤4)中所得到的完整动力学微分方程的特征值和两个简化动力学微分方程的特征值，根据三个所述的特征值分析旋转对称结构的参激振动模态特性和动力稳定性变化规律。