一种基于激光追踪仪多站位测量的四轴机床标定方法

摘要

一种基于激光追踪仪多站位测量的四轴机床标定方法，属于精密测试技术领域。首先在四轴机床的移动空间范围内确定测点坐标，测量时移动靶镜到各测点，激光追踪仪在转动轴平台上随转动轴的转动进行转站测量，获取不同站位下每个测点到初始测点的相对干涉测长值；其次利用两点距离公式、最小二乘原理、激光追踪仪站位求解优化算法，求解出各站位坐标和对应站位到初始测点的距离；再将测点坐标、站位坐标、对应站位到初始测点的距离作为初值，通过干涉测长误差方程的一次泰勒级数展开，求解得到各测点在四轴机床三个移动轴方向上的修正值；最后依据圆拟合，建立激光追踪仪站位坐标信息与转动轴角度之间的映射关系，实现转动轴转角误差的高精度测量。

主权项

一种基于激光追踪仪多站位测量的四轴机床标定方法，其特征在于：该方法包括下述步骤：步骤一：构建四轴机床激光追踪仪多站位测量模型；四轴机床空间坐标系下，设四轴机床空间内待测点为A_i(x_i,y_i,z_i)，x_i、y_i、z_i分别为四轴机床空间内的x、y、z三向的坐标值，其中i＝1,2,3,…,n，n表示待测点的个数且取正整数；激光追踪仪的站位坐标为P_j(X_j,Y_j,Z_j)，X_j、Y_j、Z_j分别表示激光追踪仪的x、y、z三向站位坐标值，其中j＝1,2,3,…,m，m表示站位坐标的个数且取正整数；P_j到A₁点的距离为d_j；测量过程中激光追踪仪的测量数据为l_ij；按三维空间两点距离公式建立下列关系式：$\sqrt{{(x_i-X_j)}^2+{(y_i-Y_j)}^2+{(z_i-Z_j)}^2}=d_j+l_{ij}---\left(1\right)$方程个数为m×n，未知数个数为4m+3n；为使方程组可解应满足：m×n≥4m+3n  (2)则有m和n满足m≥4，n≥16；步骤二：确定具体实验步骤；将激光追踪仪固定在含转动轴的平台上，此时激光追踪仪的站位初始点为P₁，控制机床移动目标靶镜按照一定的路径移动至第i个待测点A_i，此时激光追踪仪的测量数据为l_i1；转动轴每次转动θ，第j‑1次转动后激光追踪仪的站位为P_j，其中j＝2,3,…,m‑1，并按规划路径移动靶镜完成所有待测点测量数据l_ij的测量；多站位测量系统的站位不能在同一平面内，需在转台之外选一站位P_m，移动激光追踪仪到站位P_m，控制机床移动目标靶镜按照规划好的路径移动至待测点A_i，测量此时的激光追踪仪的测量数据l_im；步骤三：初步求得站位坐标P_i(X_j,Y_j,Z_j)和d_j；将式(1)等号两边同时平方并移项得到方程：$x_i^2+y_i^2+z_i^2-2x_i{X}_j-2y_i{Y}_j-2z_i{Z}_j+X_j^2+Y_j^2+Z_j^2-d_j^2-2d_j{l}_{ij}-l_{ij}^2=0---\left(3\right)$为方便计算，引入数学变量k，k无物理意义，令则式(3)转化为：$x_i^2+y_i^2+z_i^2-2x_i{X}_j-2y_i{Y}_j-2z_i{Z}_j+k-2d_j{l}_{ij}-l_{ij}^2=0---\left(4\right)$根据最小二乘法将目标函数定义为：$F(X_j,Y_j,Z_j,k)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{(x_i^2+y_i^2+z_i^2-2x_i{X}_j-2y_i{Y}_j-2z_i{Z}_j+k-2d_j{l}_{ij}-l_{ij}^2)}^2---\left(5\right)$使F(X_j,Y_j,Z_j,k)最小，(5)式应满足下列条件：$\frac{\partial F}{\partial X_j}=0,\frac{\partial F}{\partial Y_j}=0,\frac{\partial F}{\partial Z_j}=0,\frac{\partial F}{\partial d_j}=0,\frac{\partial F}{\partial k}=0---\left(6\right)$同时满足：$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial X_j^2}=8\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i^2>0,\frac{{\partial }^{2}F}{\partial Y_j^2}=8\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{y}_i^2>0,\frac{{\partial }^{2}F}{\partial Z_j^2}=8\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{z}_i^2>0,\\ \frac{{\partial }^{2}F}{\partial d_j^2}=8\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{l}_{ij}^2>0,\frac{{\partial }^{2}F}{\partial k^2}=2>0\end{array}---\left(7\right)$将式(6)写成矩阵形式：$\left[\begin{array}{ccccc}2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i^2& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i{y}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i{z}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i{l}_{ij}& -\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i\\ 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i{y}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{y}_i^2& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{y}_i{z}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{y}_i{l}_{ij}& -\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{y}_i\\ 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i{z}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{y}_i{z}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{z}_i^2& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{z}_i{l}_{ij}& -\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{z}_i\\ 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i{l}_{ij}& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{y}_i{l}_{ij}& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{z}_i{l}_{ij}& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{l}_{ij}^2& -\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{l}_{ij}\\ -\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i& -\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{y}_i& -\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{z}_i& -\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{l}_{ij}& \frac{n}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_j\\ Y_j\\ Z_j\\ d_j\\ k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{y}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{z}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{l}_{ij}(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\\ -\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\end{array}\right]---\left(8\right)$解式(8)可得到站位坐标P_i(X_j,Y_j,Z_j)和d_j；步骤四：优化求解站位坐标，提高求解站位坐标的精度；根据式(1)可令$f(X_j,Y_j,Z_j,d_j)=\sqrt{{(x_i-X_j)}^2+{(y_i-Y_j)}^2+{(z_i-Z_j)}^2}-d_j-l_{ij}---\left(9\right)$理论上f(X_j,Y_j,Z_j,d_j)＝0恒成立，但由于三坐标测量机给出的x_j、y_j、z_j有一定的误差，所以f(X_j,Y_j,Z_j,d_j)＝0不恒成立；用一次泰勒级数展开有$\begin{array}{c}f(X_j,Y_j,Z_j,d_j)\approx f(X_j,Y_j,Z_j,d_j){|}_0\\ +\frac{\partial f}{\partial X_j}{|}_0·{\mathrm{\Delta X}}_j+\frac{\partial f}{\partial Y_j}{|}_0·{\mathrm{\Delta Y}}_j+\frac{\partial f}{\partial Z_j}{|}_0·{\mathrm{\Delta Z}}_j+\frac{\partial f}{\partial d_j}{|}_0·{\mathrm{\Delta d}}_j\end{array}---\left(10\right)$将式(10)转化成自变量为ΔX_j，ΔY_j，ΔZ_j，Δd_j的方程，令$\begin{array}{c}g({\mathrm{\Delta X}}_j,{\mathrm{\Delta Y}}_j,{\mathrm{\Delta Z}}_j,{\mathrm{\Delta d}}_j)=f(X_j,Y_j,Z_j,d_j){|}_0\\ +\frac{\partial f}{\partial X_j}{|}_0·{\mathrm{\Delta X}}_j+\frac{\partial f}{\partial Y_j}{|}_0·{\mathrm{\Delta Y}}_j+\frac{\partial f}{\partial Z_j}{|}_0·\frac{\partial f}{\partial d_j}{|}_0·{\mathrm{\Delta d}}_j\end{array}---\left(11\right)$利用最小二乘法求解ΔX_j，ΔY_j，ΔZ_j，Δd_j，有$\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{g}^2({\mathrm{\Delta X}}_j,{\mathrm{\Delta Y}}_j,{\mathrm{\Delta Z}}_j,{\mathrm{\Delta d}}_j)\to 0---\left(12\right)$则需满足$\left\{\begin{array}{c}\frac{\partial g}{\partial \left({\mathrm{\Delta X}}_j\right)}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}2g({\mathrm{\Delta X}}_j,{\mathrm{\Delta Y}}_j,{\mathrm{\Delta Z}}_j,{\mathrm{\Delta d}}_j)·\frac{\partial f}{\partial X_j}{|}_0=0\\ \frac{\partial g}{\partial \left({\mathrm{\Delta Y}}_j\right)}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}2g({\mathrm{\Delta X}}_j,{\mathrm{\Delta Y}}_j,{\mathrm{\Delta Z}}_j,{\mathrm{\Delta d}}_j)·\frac{\partial f}{\partial Y_j}{|}_0=0\\ \frac{\partial g}{\partial \left({\mathrm{\Delta Z}}_j\right)}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}2g({\mathrm{\Delta X}}_j,{\mathrm{\Delta Y}}_j,{\mathrm{\Delta Z}}_j,{\mathrm{\Delta d}}_j)·\frac{\partial f}{\partial Z_j}{|}_0=0\\ \frac{\partial g}{\partial \left({\mathrm{\Delta d}}_j\right)}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}2g({\mathrm{\Delta X}}_j,{\mathrm{\Delta Y}}_j,{\mathrm{\Delta Z}}_j,{\mathrm{\Delta d}}_j)·\frac{\partial f}{\partial d_j}{|}_0=0\end{array}\right.---\left(13\right)$求解式(13)即可得到ΔX_j，ΔY_j，ΔZ_j，Δd_j，与式(8)求得的结果相加即可得到优化后的站位坐标P_j'(X_j',Y_j',Z_j')、优化后P_j'到A₁点的距离d_j'；步骤五：利用步骤四优化的结果和误差方程求得待测点的修正值；将式(1)写成误差v_ij的方程：$v_{ij}=\sqrt{{(x-X_j)}^2+{(y_i-Y_j)}^2+{(z_i-Z_j)}^2}-d_j-l_{ij}.---\left(14\right)$利用最小二乘法处理式(14)得到的误差平方和为E，E是自变量为x₁、y₁、z₁、…、x_n、y_n、z_n、X₁、Y₁、Z₁、…、X_m、Y_m、Z_m的函数，则$E(x_1,y_1,z_1,...,x_n,y_n,z_n,X_1,Y_1,Z_1,...,X_m,Y_m,Z_m)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{v}_{ij}^2.---\left(15\right)$式(15)是一个非线性方程，为方便求解采用下面的计算过程：测点A_i和激光追踪仪站位坐标P_j之间的距离为L_ij，其中$L_{ij}=\sqrt{{(x_i-X_j)}^2+{(y_i-Y_j)}^2+{(z_i-Z_j)}^2}.---\left(16\right)$利用泰勒级数展开对式(16)进行泰勒级数展开，得到如下方程：$\begin{array}{c}{L}_{ij}\approx L_{ij}{|}_0+\frac{\partial L_{ij}}{\partial x_i}{|}_0·{\mathrm{dx}}_i+\frac{\partial L_{ij}}{\partial y_i}{|}_0·{\mathrm{dy}}_i+\frac{\partial L_{ij}}{\partial z_i}{|}_0·{\mathrm{dz}}_i\\ +\frac{\partial L_{ij}}{\partial X_j}{|}_0·{\mathrm{dX}}_j+\frac{\partial L_{ij}}{\partial Y_j}{|}_0·{\mathrm{dY}}_j+\frac{\partial L_{ij}}{\partial Z_j}{|}_0·{\mathrm{dZ}}_j.\end{array}---\left(17\right)$将式(17)代入式(14)，化简整理后有：$\begin{array}{c}{v}_{ij}=L_{ij}{|}_0+\frac{x_i{|}_0-X_j{|}_0}{L_{ij}{|}_0}·({\mathrm{dx}}_i-{\mathrm{dX}}_j)+\frac{y_i{|}_0-Y_j{|}_0}{L_{ij}{|}_0}·({\mathrm{dy}}_i-{\mathrm{dY}}_j)\\ +\frac{z_i{|}_0-Z_j{|}_0}{L_{ij}{|}_0}·({\mathrm{dz}}_i-{\mathrm{dZ}}_j)-d_j-l_{ij}.\end{array}---\left(18\right)$其中：等式(18)即为优化后的求解模型；式(17)、(18)中，标为|₀的为该数值的近似值，x_i|₀、y_i|₀、z_i|₀由机床提供，X_j|₀、Y_j|₀、Z_j|₀、d_j分别为步骤四优化求解得到X_j'、Y_j'、Z_j'、d_j'；令v_ij＝0，将式(18)写成矩阵的形式：Ax＝B  (19)A、B是由式(18)写成矩阵形式后的矩阵系数；其中：$x={[{\mathrm{dx}}_1,{\mathrm{dy}}_1,{\mathrm{dz}}_1,...,{\mathrm{dx}}_n,{\mathrm{dy}}_n,{\mathrm{dz}}_n,{\mathrm{dX}}_1,{\mathrm{dY}}_1,{\mathrm{dZ}}_1,...,{\mathrm{dX}}_m,{\mathrm{dY}}_m,{\mathrm{dZ}}_m]}_{1\times (3n+3m)}^T---\left(20\right)$$b={[d_1+l_{11}-L_{11}{|}_0,\mathrm{...},d_j+l_{ij}-L_{ij}{|}_0,...,d_m+l_{nm}-L_{nm}{|}_0]}_{1\times nm}^T---\left(21\right)$其中dx_i、dy_i、dz_i和dX_j、dY_j、dZ_j为待测点相应坐标的修正值和站位P_j相应坐标的修正值；解方程组(19)可初步得到待测点A_i的修正值(dx_i,dy_i,dz_i)；这样就完成了四轴中x轴、y轴、z轴的标定；步骤六：利用步骤四得到的站位坐标拟合平面圆的圆心；由步骤四优化后激光追踪仪的站位坐标为P_j'(X_j',Y_j',Z_j')，通过最小二乘法拟合一个由激光追踪仪站位坐标P_j'(X_j',Y_j',Z_j')组成的圆，圆心为O(X₀,Y₀,Z₀)，半径为R，其中j＝1,2,3,…,m‑1；取这m‑1个站位坐标z值的平均值作为圆心在z方向的坐标；即$Z_0=\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Sigma }}{Z_j}^{\prime }---\left(22\right)$设该圆的方程式为$\left\{\begin{array}{c}{(x-X_0)}^2+{(y-Y_0)}^2=R^2\\ z=Z_0\end{array}\right.---\left(23\right)$将式子(x‑X₀)²+(y‑Y₀)²＝R²展开有x²+y²‑2X₀x‑2Y₀y+X₀²+Y₀²‑R²＝0  (24)为方便计算，引入新变量r，令r＝X₀²+Y₀²‑R²，利用最小二乘法拟合圆得到函数H，则有$H(X_0,Y_0)=\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Sigma }}{({X_j}^{\prime 2}+{Y_j}^{\prime 2}-2{X_j}^{\prime }{X}_0-2{Y_j}^{\prime }{Y}_0+r)}^2---\left(25\right)$使H(X₀,Y₀)→0，式(25)应满足下列条件$\frac{\partial H}{\partial X_0}=0,\frac{\partial H}{\partial Y_0}=0,\frac{\partial H}{\partial r}=0---\left(26\right)$将式(26)写成矩阵形式$\left[\begin{array}{ccc}2\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Sigma }}{X_j}^{\prime 2}& 2\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Sigma }}{X_j}^{\prime }{Y_j}^{\prime }& -\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Sigma }}{X_j}^{\prime }\\ 2\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Sigma }}{X_j}^{\prime }{Y_j}^{\prime }& 2\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Sigma }}{Y_j}^{\prime 2}& -\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Sigma }}{Y_j}^{\prime }\\ -\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Sigma }}{X_j}^{\prime }& -\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Sigma }}{Y_j}^{\prime }& \frac{m-1}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_0\\ Y_0\\ r\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Sigma }}{X_j}^{\prime }({X_j}^{\prime 2}+{Y_j}^{\prime 2})\\ \underset{j=1}{\overset{m-1}{\Sigma }}{Y_j}^{\prime }({X_j}^{\prime 2}+{Y_j}^{\prime 2})\\ -\frac{1}{2}\underset{j=1}{\overset{m-1}{\Sigma }}({X_j}^{\prime 2}+Y_j^{\prime 2})\end{array}\right]---\left(27\right)$求解式(27)并结合式(22)可得到拟合圆的圆心O(X₀,Y₀,Z₀)；步骤七：分别求解每次转动的真实角度；转动轴第j‑1次转动时，其中j＝2,3,…,m‑1，转动的真实角度为${\theta }_{j-1}=arccos\frac{{\left|{P_{j-1}}^{\prime }O\right|}^2+{\left|{P_j}^{\prime }O\right|}^2-{\left|{P_{j-1}}^{\prime }{P_j}^{\prime }\right|}^2}{2\left|{P_{j-1}}^{\prime }O\right|·\left|{P_j}^{\prime }O\right|}---\left(28\right)$所以离散的转动误差为${\mathrm{\Delta \theta }}_{j-1}=\underset{j=2}{\overset{m-1}{\Sigma }}{\theta }_{j-1}-(j-1)\theta ---\left(29\right)$这样就完成了四轴中转动轴的标定；Δθ_j‑1为转动轴第j‑1次转动的转动误差，θ_j‑1为转动轴转动的真实角度，θ是转动轴的转动角度。