基于边缘的多方向加权TV和自相似性约束图像去模糊方法

摘要

本发明公开了一种基于边缘的多方向加权TV和自相似性约束图像去模糊方法，利用边缘检测对传统TV模型进行改进，并结合图像的变换域自相似性。首先，运用边缘检测将中心像素邻域内的像素对划分为同侧像素对和异侧像素对，对不同类型的像素采用不同的权重，得到多方向加权TV算法，在去模糊的同时尽可能保持图像的细节信息；其次，将变换域自相似性正则化项融入到TV模型，克服了传统非局部正则化依赖非局部权重矩阵的局限性，能够更精确的描述图像的纹理和结构的自相似性，进一步改善图像去模糊的视觉效果。本发明算法在去模糊改善视觉效果的同时不仅更好地保留了图像边缘信息和重要细节，且提高了图像的峰值信噪比等客观指标。

主权项

一种基于边缘的多方向加权TV和自相似性约束图像去模糊方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤一、构建图像盲复原模型，包括：1‑1)构建加权TV去模糊模型：$\underset{x}{\min }WTV\left(x\right)+\frac{\mu }{2}\left|\right|Kx-f|{|}_2^2---\left(1\right)$式(1)中，x为清晰图像，K是非线性算子，f是模糊图像，μ是正则化参数，第一项是加权TV正则项，第二项是保真项；所述加权TV正则项的表达式为其中，g(x)为权值函数，取值范围为[0，1]，并且满足g(0)＝1，g(x)≥0，1‑2)构建融入边缘检测的各向异性离散多方向加权TV和三维稀疏变换域内的非局部自相似性约束项的去模糊模型：$\underset{x}{min}\frac{1}{2}\left|\right|Kx-f|{|}_2^2+\tau MWTV\left(x\right)+{\mathrm{\lambda \Phi }}_{TNR}\left(x\right)---\left(2\right)$式(2)中，τ和λ分别是控制参数，第一项为保真项；式(2)中，第二项是融入边缘检测的各向异性离散多方向加权TV，在清晰图像x中，利用Canny边缘检测将中心像素8邻域内的像素对分为边缘同侧像素对和边缘异侧像素对，各向异性的离散加权TV定义为$MWTV\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{\alpha }{\Sigma }}{g}_i\left|D_{i}x\right|:={\mathrm{\Sigma g}}_{(i,j)~(k,l)}|x_{i,j}-x_{k,l}|---\left(3\right)$式(3)中，求和范围为8邻域内所有α个像素对(i,j)～(k,l)，g_i为对应像素对的权值，若像素对在边缘异侧，令g_i＝0；否则令g_i保持原始值；式(2)中，第三项是三维稀疏变换域内的非局部自相似性约束项：首先，将大小为N的清晰图像x分解为n个部分重叠的图像块hⁱ，其中i＝1,…,n，所述图像块hⁱ的大小为b；然后，对于每个图像块hⁱ，在其搜索窗内，采用欧式距离寻找与该图像块hⁱ最相似的C个图像块，令为包括C个最相似图像块的集合，搜索窗大小为L×L，即其次，将包含的C个最相似图像块堆叠成三维矩阵，记为最后，令T^3D表示正交的三维变换算子，为三维矩阵的变换系数；令Θ_h表示清晰图像x所有变换系数的列向量，将根据词典顺序排列得出列向量Θ_h，列向量Θ_h的大小为P＝b×C×n；从而得到基于三维稀疏变换域内的非局部自相似性约束项：${\Phi }_{TNR}\left(x\right)=\left|\right|{\Theta }_x\left|\right|={\Sigma }_{i=1}^n\left|\right|T^{3D}\left(Z_{h^i}\right)|{|}_1---\left(4\right)$其中，正交三维变换算子T^3D包括对三维矩阵中每个图像块进行二维离散余弦变换和对三维矩阵中各图像块对应位置像素构成的一维向量进行一维哈尔变换；步骤二、采用ADM算法对式(2)表达的去模糊模型进行最优化求解，从而得到清晰图像x；首先，引入辅助变量y_i＝D_ix，u＝x，因此，将式(2)转换为式(5)：$\begin{array}{c}\underset{x}{min}\tau \underset{i}{\Sigma }{g}_i\left|y_i\right|+\lambda \Phi \left(u\right)+\frac{\mu }{2}\left|\right|Kx-f|{|}_2^2\\ s.t.y_i=D_{i}x,u=x\end{array}---\left(5\right)$其次，利用增广拉格朗日方程对式(5)进行展开：$L_A(y,u,x)=\tau \underset{i}{\Sigma }\left(g_i|y_i\right|-{\lambda }_i^T\left(D_{i}x-y_i\right)+\frac{{\beta }_1}{2}\left|\right|D_{i}x-y_i\left|{|}_2^2\right)+\lambda \Phi \left(u\right)-v^T(u-x)+\frac{{\beta }_2}{2}\left|\right|u-x|{|}_2^2+\frac{\mu }{2}||Kx-f|{|}_2^2---\left(6\right)$式(6)中，β₁，β₂，μ分别是惩罚项的正则化参数，令λ^k，ν^k表示第k‑1次迭代后更新的参数，式(6)的ADM算法迭代方程为$(y^{k+1},x^{k+1},u^{k+1})=\underset{y,x,u}{\arg ,min}{L}_A(y,x,u,{\lambda }^k,v^k)---\left(7\right)$式(7)对应的迭代框架为$\left\{\begin{array}{c}{y}^{k+1}\leftarrow \arg {\min }_y{L}_A(x^k,y,u^k,{\lambda }^k,v^k),\\ x^{k+1}\leftarrow \arg {\min }_x{L}_A(x,y^{k+1},u^k,{\lambda }^k,v^k),\\ u^{k+1}\leftarrow \arg {\min }_u{L}_A(x^{k+1},y^{k+1},u,{\lambda }^k,v^k).\end{array}\right.---\left(8\right)$参数更新准则为$\left\{\begin{array}{c}{\lambda }^{k+1}=\lambda -({\mathrm{Dx}}^{k+1}-y^{k+1})\\ v^{k+1}=v^k-(x^{k+1}-u^{k+1})\end{array}\right.---\left(9\right)$根据二维收缩方法求解，得到y^k+1的闭合解$\begin{array}{c}{y}_i^{k+1}=\max \left\{\right||D_i{x}^k+\frac{1}{{\beta }_1}{\left({\lambda }^k\right)}_i||-\frac{g_i}{{\beta }_1},0\}\frac{D_{i}x+\frac{1}{{\beta }_1}{\left({\lambda }^k\right)}_i}{\left|\right|D_{i}x+\frac{1}{{\beta }_1}{\left({\lambda }^k\right)}_i\left|\right|}\\ i=1,2,...,n^2\end{array}---\left(10\right)$式(10)中，设0·(0/0)＝0；给定y^k+1和u^k，对于式(6)中关于x的求解方程：$min\left\{\frac{{\mathrm{\tau \beta }}_1}{2}\right||Dx-y^{k+1}-\frac{{\lambda }^k}{{\beta }_1}|{|}_2^2+\frac{{\beta }_2}{2}\left|\right|x-u^k-\frac{v^k}{{\beta }_2}|{|}_2^2+\frac{\mu }{2}||Kx-f|{|}_2^2\}---\left(11\right)$利用最小二乘法对上式求解，得到关于x的闭合解$({\mathrm{\tau D}}^{T}D+\frac{\mu }{{\beta }_1}{K}^{T}K+\frac{{\beta }_2}{{\beta }_1}I)x={\mathrm{\tau D}}^T(y^{k+1}-\frac{1}{{\beta }_1}{\lambda }^k)+\frac{\mu }{{\beta }_1}{K}^{T}f+\frac{{\beta }_2}{{\beta }_1}(u^k-\frac{1}{{\beta }_2}{v}^k)---\left(12\right)$式(12)中，为全局一阶有限差分算子，式(12)的求解是：首先，计算式(12)等式右边的向量，并进行前向傅里叶变换；然后，除以τD^TD+(μ/β₁)K^TK+(β₂/β₁)I的特征值，得到F(x^k+1)，F(·)表示二维离散傅里叶变换；最后，对F(x^k+1)进行二维傅里叶反变换得到x^k+1；给定y^k+1，x^k+1，对于式(6)中关于u的求解方程：$u^{k+1}=\underset{u}{\arg \min }{\mathrm{\lambda \Phi }}_{TNR}\left(u\right)+\frac{{\beta }_2}{2}\left|\right|x^{k+1}-u|{|}_2^2-v^T(x-u)=\underset{u}{\arg \min }\frac{1}{2}||u-r|{|}_2^2+{\mathrm{\alpha \Psi }}_{TMR}\left(u\right)=\underset{u}{\arg \min }\frac{1}{2}\left|\right|u-r|{|}_2^2+\alpha |\left|{\Theta }_u\right||{}_1---\left(13\right)$式(13)中，α＝λ/β₂，e＝u‑r，r为u的含噪图像；对于任意第k次迭代，均存在$\frac{1}{N}\left|\right|u^k-r^k|{|}_2^2=\frac{1}{M}||{\Theta }_u^k-{\Theta }_r^k|{|}_2^2---\left(14\right)$式(14)中，M为元素Θ_u的个数，将式(13)带入到式(14)得$\underset{u}{\mathrm{argmin}}\frac{1}{2}\left|\right|{\Theta }_u-{\Theta }_r|{|}_2^2+\frac{M\alpha }{N}|\left|{\Theta }_u\right|{|}_1---\left(15\right)$式(15)中，每个元素Θ_u(j)根据阈值定理求得${\Theta }_u=soft({\Theta }_r,\sqrt{2\rho })---\left(16\right)$其中，j＝1,…,M；$\rho =\frac{M\alpha }{N};$${\Theta }_x\left(j\right)=\mathrm{sgn}\left({\Theta }_r\right(j\left)\right)max\left\{\right|{\Theta }_r\left(j\right)|-\sqrt{2\rho },0\}=\left\{\begin{array}{cc}{\Theta }_r\left(j\right)-\sqrt{2\rho },& {\Theta }_r\left(j\right)\in (\sqrt{2\rho },\infty ),\\ 0,& {\Theta }_r\left(j\right)\in [-\sqrt{2\rho },\sqrt{2\rho }],\\ {\Theta }_r\left(j\right)+\sqrt{2\rho },& {\Theta }_r\left(j\right)\in (-\infty ,-\sqrt{2\rho }).\end{array}\right.$关于u的闭合解为：$u={\Omega }_{NLSM}\left({\Theta }_u\right)={\Omega }_{NLSM}\left(soft\right({\Theta }_u,\sqrt{2\rho }\left)\right)---\left(17\right)$比较相邻两次迭代求得的图像，若满足则迭代停止，输出的图像即为清晰图像x，否则继续迭代。