基于模糊理论的加速寿命试验统计分析方法

摘要

本发明公开了一种基于模糊理论的加速寿命试验统计分析方法，包括以下几个步骤：步骤一、利用模糊理论，将恒定应力加速寿命试验定数截尾合理模糊化，得到模糊失效数据；步骤二、结合极大似然估计法，建立加速寿命试验模糊统计模型；步骤三、模型参数评估及寿命和可靠度模糊预测。本发明根据建立的模型给出模型参数的模糊评估值，并进一步给出产品的模糊寿命预测区间以及模糊可靠度区间，相比于传统的统计分析方法给出的点估计值，本发明的结果更合理，更具有参考价值。

主权项

基于模糊理论的加速寿命试验统计分析方法，包括以下几个步骤：步骤一、利用模糊理论，将恒定应力加速寿命试验定数截尾合理模糊化，得到模糊失效数据；(1)确定产品的寿命分布和加速模型；设产品的寿命分布服从指数分布，确定产品的加速模型；(2)利用模糊理论处理试验数据产品在加速寿命试验中的失效时间的记录具有很大的主观性，采用对称三角形隶属函数描述数据：${\tilde{t}}_{ij}=(m_{t_{ij}},g_{t_{ij}}),(i=1,2,\mathrm{...}k;j=1,2,\mathrm{...}{r}_i)$其中：k为应力水平数，r为每个应力水平下的失效数，为模糊数的中心值，即实际记录时间；为偏离中心值的幅度，且有且最大值为该应力水平下的检测间隔；i＝1,2,...k；j＝1,2,...r_i；其隶属函数为：为检测失效时间相对于实际失效时间的隶属函数；将精确的加速寿命试验失效数据t_ij模糊化为具有对称三角形隶属函数的模糊失效数据步骤二、结合极大似然估计法，建立加速寿命试验模糊统计模型；(1)加速寿命试验基本假设；设产品进行服从指数寿命分布的恒定应力加速寿命试验，基于以下两个假设：假设1：正常应力水平S₀和加速应力水平S₁,S₂,…S_k下，产品寿命分布均服从指数分布，其分布函数为：$\begin{array}{c}{F}_i\left(t\right)=1-\exp (-t/{\theta }_i)\\ t>0;i=0,1,\mathrm{...},k\end{array}---\left(1\right)$其中：t为时间，θ_i代表产品在应力水平S_i下的的平均寿命，F_i(t)为应力水平S_i下产品的失效分布函数；假设2：产品的平均寿命θ_i与所施加的加速应力水平S_i之间有如下加速模型：其中：是应力S_i的已知函数，a,b为待估参数；(2)结合极大似然估计法，建立加速寿命试验模糊统计模型；假设共有n个产品进行恒定应力加速寿命试验，分成k组，每组n_i个样本，在k个应力水平下试验，在S_i水平下n_i个样本失效r_i个，失效数据为i＝1,..,k，得到加速应力水平S_i下定数截尾试验总时间为：$T_i=\underset{j=1}{\overset{r_i}{\Sigma }}{t}_{ij}+(n_i-r_i)t_{{\mathrm{ir}}_i}---\left(3\right)$其中：在应力水品S_i下，T_i为试验总时间，t_ij代表记录的失效时间，为剩余未失效产品的试验时间；当产品失效时间为对称三角模糊数时，根据模糊数运算法则，每个应力水平下的总模糊试验时间表示为：$\begin{array}{c}{\tilde{T}}_i=\underset{j=1}{\overset{r_i}{\Sigma }}{\tilde{t}}_{ij}=\left(\underset{j=1}{\overset{r_i}{\Sigma }}{m}_{t_{ij}},\underset{j=1}{\overset{r_i}{\Sigma }}{g}_{t_{ij}}\right)+\left(\right(n_i-r_i)m_{t_{{\mathrm{ir}}_i}},|(n_i-r_i)\left|g_{t_{{\mathrm{ir}}_i}}\right)\\ =\left(\underset{j=1}{\overset{r_i}{\Sigma }}{m}_{t_{ij}}+\left(n_i-r_i\right)m_{t_{{\mathrm{ir}}_i}},\underset{j=1}{\overset{r_i}{\Sigma }}{g}_{t_{ij}}+\left(n_i-r_i\right)g_{t_{{\mathrm{ir}}_i}}\right)\\ i=1,2,\mathrm{...}k\end{array}---\left(4\right)$的隶属函数同样为三角模糊数，记为应力水平S_i下，模糊平均寿命的极大似然估计为：${\tilde{\theta }}_i={\tilde{T}}_i/r_i---\left(5\right)$产品在每个应力水平下的平均寿命为模糊数，失效率也为模糊数；应力水平S_i下的似然函数为：$f={{\tilde{\lambda }}_i}^{r_i}\exp (-{\tilde{\lambda }}_i{\tilde{T}}_i)---\left(6\right)$其中：f代表失效概率密度函数，λ_i代表产品在应力水平S_i下的失效率；整个恒定应力加速寿命试验的似然函数和取对数后的结果为：$L=\left(\underset{i=1}{\overset{k}{\Pi }}{{\tilde{\lambda }}_i}^{r_i}\right)\exp \left(-\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\tilde{\lambda }}_i{\tilde{T}}_i\right)---\left(7\right)$$\ln L=\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{r}_i\ln {\tilde{\lambda }}_i-\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\tilde{\lambda }}_i{\tilde{T}}_i=-\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{r}_i\ln {\tilde{\theta }}_i-\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}\frac{{\tilde{T}}_i}{{\tilde{\theta }}_i}---\left(8\right)$将式(2)带入式(8)，得到：$\ln L(a,b)=-a\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{r}_i-b\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\Phi }_i{r}_i-\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{T}_i{e}^{-(a+{\mathrm{b\Phi }}_i)}---\left(9\right)$其中分别对a,b求偏导并令偏导等于零，得到两个等式：$\frac{\ln L(a,b)}{\partial a}=\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\tilde{T}}_i{e}^{-(a+{\mathrm{b\Phi }}_i)}-\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{r}_i=0---\left(10\right)$$\frac{\ln L(a,b)}{\partial b}=\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\tilde{T}}_i{\Phi }_i{e}^{-(a+{\mathrm{b\Phi }}_i)}-\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\Phi }_i{r}_i=0---\left(11\right)$进一步化简得到a,b的关系式，如式(12)所示，记参数a,b为$\begin{array}{c}\tilde{a}=-\ln \left(\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{r}_i\right)+\ln \left[\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\tilde{T}}_i\exp \left(-\tilde{b}{\Phi }_i\right)\right]\\ \left(\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{r}_i\right)\left[\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\tilde{T}}_i{\Phi }_i\exp \left(-\tilde{b}{\Phi }_i\right)\right]=\left(\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\Phi }_i{r}_i\right)\left[\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\tilde{T}}_i\exp \left(-\tilde{b}{\Phi }_i\right)\right]\end{array}---\left(12\right)$步骤三、模型参数评估及寿命和可靠度模糊预测；(1)基于粒子群算法的ALT参数寻优采用粒子群算法求解参数的取值范围，将参数看做是模糊数据的函数，那么，得出在给定水平截集α的前提下，参数的最优值为$\begin{array}{c}{\tilde{a}}_{\alpha }^L=min\left\{G\left(\tilde{a},\tilde{b}\right)=0:\tilde{T}\in C_{\alpha }\left(\tilde{T}\right)\right\}\\ {\tilde{b}}_{\alpha }^L=min\left\{G\left(\tilde{a},\tilde{b}\right)=0:\tilde{T}\in C_{\alpha }\left(\tilde{T}\right)\right\}\end{array}---\left(13\right)$以及$\begin{array}{c}{\tilde{a}}_{\alpha }^U=\max \left\{G\left(\tilde{a},\tilde{b}\right)=0:\tilde{T}\in C_{\alpha }\left(\tilde{T}\right)\right\}\\ {\tilde{b}}_{\alpha }^U=\max \left\{G\left(\tilde{a},\tilde{b}\right)=0:\tilde{T}\in C_{\alpha }\left(\tilde{T}\right)\right\}\end{array}---\left(14\right)$其中：式(12)视为方程组和代表参数的取值上下限；代表的α‑水平截集；在区间内取值，求得不同的的值；通过粒子群算法，求得在给定水平截集α的前提下，当在区间内取值，参数的最大和最小值；通过式(13)、(14)得到的最大值和最小值的隶属度为α，把隶属函数定义为L‑R型隶属函数，且：$\begin{array}{c}{\mu }_{\tilde{a}}\left({\tilde{a}}_{\alpha }^L\right)={\mu }_{\tilde{a}}\left({\tilde{a}}_{\alpha }^U\right)=\alpha \\ {\mu }_{\tilde{b}}\left({\tilde{b}}_{\alpha }^L\right)={\mu }_{\tilde{b}}\left({\tilde{b}}_{\alpha }^U\right)=\alpha \end{array}---\left(15\right)$其中：为参数的隶属函数；(2)基于粒子群算法的模糊寿命评估得到的估计值后，带入式(16)，此时应力水平为正常工作条件下的应力水平，模糊平均寿命的估计值及隶属函数也通过粒子群算法寻优得出，此时变量为参数其值域为式(13)(14)确定的范围；可靠度和模糊平均寿命的关系为：$\tilde{R}=\exp (t/\tilde{\theta })---\left(17\right)$最终得到可靠度