一种基于过完备字典集合划分的信号稀疏分解方法

摘要

一种基于过完备字典集合划分的信号稀疏分解方法，涉及信号稀疏分解方法。本发明为了解决利用经典MP方法以及现有的改进方法对信号进行分解时存在的运算时间过长的问题。本发明通过选取不同的因子对过完备字典进行集合划分，将庞大的冗余字典分割为若干子字典，利用匹配追踪算法从子字典中选取合适的时频原子来准确、快速的分解信号，并根据实际需要的标准，将信号残差再次进行分解，直到得到符合标准的重构信号，重构信号能够表示为每一级迭代残差与对应的匹配原子的乘积的和的形式。本发明适用于信号的稀疏分解领域。

主权项

一种基于过完备字典集合划分的信号稀疏分解方法，其特征在于它包括下述步骤：步骤一：针对特性不同的信号f建立不同的过完备字典D，当对高斯调制窗信号进行分析时，建立基于高斯调制信号的过完备字典D；步骤一的实现过程为：在由复函数构成的希尔伯特空间H＝L²(R)中，有其中f表示输入信号，t代表时间；在希尔伯特空间H＝L²(R)中定义一组向量的集合D＝(g_γ)_γ∈Γ为字典，并有||g_γ||＝1，令g(t)为连续可微的实函数，其高阶无穷小为O(1/(t²+1))，||g(t)||＝1，g(t)的积分不为零，并且g(0)≠0；定义Gabor原子簇表达式如公式(2)所示Γ＝R⁺×R²代表二维正实数域，其中R⁺代表正实数域，R²代表该实数域中的元素最多维数为二维，二者相乘代表集合Γ同时具备上述两点要求；γ＝(s,u,v,w)为时频参数指标集，是Γ＝R⁺×R²中的一个元素；式中s为尺度因子，u为平移因子，v为频率因子，w为相位因子，公式中的因子的作用是对g_γ(t)进行归一化；Gabor原子簇g_γ(t)是基于函数g(t)构建的；将时频参数指标集γ＝(s,u,v,w)离散化，得到γ＝(a^j,pa^j△u,ka‑j△v,i△w)；其中a＝2，△u＝1/2，△v＝π，△w＝π/6，0＜j＜log₂N，0≤p≤N2^‑j+1，0≤k≤2^j+1，0≤i≤12；离散化后，指标集中的离散参数j，p，k，i只允许在定义的范围内取值，每一组离散指标集参数值均对应着一个原子，将所有原子整理在一起得到一个过完备字典D；步骤二：按照原子的调制相关性将过完备字典划分为若干互不相交的子字典，使每个子字典都是由满足等价关系的原子共同构成的，即由相同调制特性的原子共同构成；步骤二的实现过程为：将时频参数指标集γ＝(s,u,v,w)中s、u因子相同，v、w因子不同的原子划分为一个集合，令β＝(s,u)代表等价的子字典的指标集，则Γ_β＝{β_i|i＝1,2,…}；子字典如公式(3)所示子字典由原子g_γ构成，这些原子性质相近，即(s,u)_i＝β_i，每一组离散指标集γ＝(s,u,v,w)参数值均对应着一个原子g_γ，离散指标集形式为γ＝(a^j,pa^j△u,ka^‑j△v,i△w)；过完备字典D由若干子字典构成，满足以下条件，整个过完备字典相当于被分割在一个二维子字典表格上，表格中任一原子与其周围的相邻原子具有相近似的性质；每一个子字典均由一个具有特定调制因子的原子来代表；步骤三：利用匹配追踪算法分解信号，根据过完备字典划分为的若干子字典，从每个满足等价关系的原子构成的子字典中选取一个原子作为代表，逐个代入匹配判断式进行比较，直到找到与当前输入信号最佳匹配的原子为止，将该原子所在的子字典作为最佳匹配的子字典；步骤三的实现过程为：将内积<f,g>∈L²(R)²的定义为其中为g(t)的复共轭形式；信号f可被分解为f＝<f,g_γ0>g_γ0+Rf              (6)其中g_γ0∈D，g_γ0是参与第一次迭代运算中的某个原子，是所有的原子g_γ中的一部分，Rf为利用原子g_γ0对信号f逼近之后的残余向量；g_γ0与Rf互相正交，有||f||²＝|<f,g_γ0>|²+||Rf||²                  (7)选择合适的g_γ0∈D使|<f,g_γ0>|尽量大，信号残余||Rf||尽量小；在子字典中找到一个使|<f,g_γ0>|最大且满足公式(8)的g_γ0作为最优的原子，并以该最优原子所在的子字典作为最佳匹配的子字典；式中α为范围因子，取1，sup|·|代表求上确界；步骤四：在选择出的最佳匹配子字典中，从第一个原子开始到最后一个原子为止，将 原子逐个代入匹配判断式进行比较，选择出与当前输入信号最佳匹配的原子，利用选出的原子来对信号进行重构，获得重构信号；步骤四的实现过程为：在选择出的最佳匹配子字典中，从第一个原子开始到最后一个原子为止，将原子逐个代入匹配判断式进行比较，在最佳匹配子字典中找到一个使|<f,g'_γ0>|最大且满足公式(9)的g'_γ0作为最优的原子，其中g'_γ0∈D，g'_γ0是最佳匹配子字典中的某个原子，也是所有的原子g_γ中的一部分，选择出与当前输入信号最佳匹配的原子，利用选出的原子来对信号进行重构；步骤五：对比输入信号f与重构信号，获得信号残差，与根据实际精度要求预设的标准进行比较，若信号残差大小达到预设标准时，终止整个计算过程，以步骤四所述重构信号表示输入信号；若信号残差大小没有达到预设标准时，返回步骤三对信号残余Rf再次进行分解；步骤五的实现过程为：根据选择出的最佳匹配原子，信号f已被分解为f＝<f,g'_γ0>g'_γ0+Rf，将信号残差与根据实际精度要求预设的标准进行比较，若信号残差大小达到预设标准时，终止整个计算过程，以该重构信号表示输入信号，若信号残差大小没有达到预设标准时，返回步骤三将信号残余Rf再次进行分解；首次运算时R⁰f＝f进行迭代，之后运算时令R^jf＝f进行迭代，0≤j≤n，最终通过迭代计算得到第n阶的残余Rⁿf，n代表迭代次数，n≥0；第n阶残余Rⁿf的大小可作为算法终止的判断条件；利用公式(10)从集合中选取对残余Rⁿf最匹配的原子；原始信号f被分解于若干匹配原子构成的基上，其重构信号能够表示为每一级迭代残差与对应的匹配原子的乘积的和的形式。