煮糖结晶过程非线性系统建模方法

摘要

一种煮糖结晶过程非线性系统建模方法，包括如下步骤：将多个煮糖过程控制参数作为机器学算法的输入和输出，基于多输入多输出临近最小二乘支持向量机构建煮糖过程测控基本模型；通过分块矩阵求逆和逆矩阵重构方法获得煮糖过程测控在线模型，采取数据对模型贡献率方法剔除异常数据，采用滑窗的方式将最旧的数据移出煮糖过程测控在线模型，输出结晶状态预测结果。本发明利用机器学方法找出煮糖结晶过程关键参数与辅助参数之间的内在规律，构建一种基于多输入多输出的煮糖结晶过程非线性系统建模方法，模型输出准确率高，有效地提高了煮糖结晶过程的自动化程度。

主权项

一种煮糖结晶过程非线性系统建模方法，其特征在于，包括以下步骤：(1)对于d维的输入向量亦即煮糖结晶过程的辅助参数，对应的n维输出向量为亦即煮糖结晶过程关键参数输出，基于多输入多输出临近最小二乘支持向量机(multi input multi output proximal least squares support vector machine，简称MIMO PLSSVM)构建煮糖结晶过程测控模型,建立该模型的优化目标函数；$\underset{w_j,e_{i,j}}{\min }{J}^{\left(n\right)}(w_j,e_{i,j})=\frac{1}{2}\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}({w_j}^T{w}_j+{b_j}^2)+\frac{c}{2}\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}{e}^{2}i,j,c>0$$s.t.\left\{\begin{array}{cc}{y}_{i,1}={w_1}^T{\Phi }_1\left(x_i\right)+b_1+e_{i,1}& i=1,2,\mathrm{...},m\\ y_{i,2}={w_2}^T{\Phi }_2\left(x_i\right)+b_2+e_{i,2}& i=1,2,\mathrm{...},m\\ .& \\ .& \\ .& \\ y_{i,n}={w_n}^T{\Phi }_n\left(x_i\right)+b_n+e_{i,n}& i=1,2,\mathrm{...},m\end{array}\right.$式中b_j为第j维偏置量，w_j为第j维权向量，Φ(x)为输入向量由低维空间向高维空间映射的变换函数，e_i,j为煮糖结晶过程第i个辅助参数向量对应于关键测控参数向量中第j维输出的误差量，c为错误样本的惩罚因子，m为输入向量个数，(2)由目标函数建立拉格朗日函数；$L^{\left(n\right)}(w,b_j,e_{i,j},a_{i,j})=J^{\left(n\right)}-\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}{a}_{i,j}\{{w_j}^T{\Phi }_j\left(x_i\right)+b_j+e_{i,j}-y_{i,j}\}$(3)对所建立的拉格朗日函数，利用KKT条件对式中各参数求偏导，得到目标函数取得最优解时各个参数的关系；$\left\{\begin{array}{c}\frac{\partial L}{\partial w_j}=w_j-\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}{a}_{i,j}{\Phi }_j\left(x_i\right)=0\to w_j=\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}{a}_{i,j}{\Phi }_j\left(x_i\right)\\ \frac{\partial L}{\partial b_j}=b_j-a_{i,j}=0\to b_j=a_{i,j}\\ \frac{\partial L}{\partial e_{i,j}}={\mathrm{ce}}_{i,j}-a_{i,j}=0\to e_{i,j}=\frac{a_{i,j}}{c}\\ \frac{\partial L}{\partial a_{i,j}}=0-\{{w_j}^T{\Phi }_j\left(x_i\right)+b_j+e_{i,j}-y_{i,j}\}=0\to {w_j}^T{\Phi }_j\left(x_i\right)+b_j+e_{i,j}-y_{i,j}=0\\ i=1,2,\mathrm{...},m\\ j=1,2,\mathrm{...},n\end{array}\right.$(4)消除中间变量，得到线性方程系统；式中Y为煮糖结晶过程n维关键测控参数向量构成的矩阵，(5)根据标准支持向量机的原理，引入核函数K_v(x_i,x_j)＝Φ_v(x_i)·Φ_v(x_j)，获取模型辨识矩阵；(6)求解模型辨识矩阵的逆矩阵，建立煮糖结晶过程在线测控模型，所述的煮糖结晶过程在线测控模型的构建，包括以下步骤：第一步、在t时刻，令所述的模型辨识矩阵H为：在t+1时刻有新数据进入在线煮糖结晶过程在线测控模型，设新数据的输入向量为x_t+1，则t+1时刻模型辨识矩阵H为：令：$h_{new}=\left[\begin{array}{c}K(x_{t+1},x_1)+1\\ .\\ .\\ .\\ K(x_{t+1},x_t)+1\end{array}\right]\mathrm{...}\left(3\right)$$h_{new}=K(x_{t+1},x_{t+1})+1+\frac{1}{c}\mathrm{...}\left(4\right)$第二步、根据分块矩阵求逆方法得：$\begin{array}{c}{H}_{t+1}^{-1}={\left[\begin{array}{cc}{H}_t& h_{new}\\ h_{new}^T& h_{new}\end{array}\right]}^{-1}\\ =\left[\begin{array}{cc}{H}_t^{-1}+H_t^{-1}{h}_{new}{h}_{new}^T{H}_t^{-1}{(h_{new}-h_{new}^T{H}_t^{-1}{h}_{new})}^{-1}& -H_t^{-1}{h}_{new}{(h_{new}-h_{new}^T{H}_t^{-1}{h}_{new})}^{-1}\\ -h_{new}^T{H}_t^{-1}{(h_{new}-h_{new}^T{H}_t^{-1}{h}_{new})}^{-1}& {(h_{new}-h_{new}^T{H}_t^{-1}{h}_{new})}^{-1}\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cc}{H}_t^{-1}& 0\\ 0& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{H}_t^{-1}{h}_{new}\\ -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{h}_{new}^T{H}_t^{-1}& -1\end{array}\right]\frac{1}{h_{new}-h_{new}^T{H}_t^{-1}{h}_{new}}\mathrm{...}\left(5\right)\end{array};$第三步、由式(5)，新数据加入煮糖结晶过程在线测控模型时，不需要直接求矩阵H_t+1的逆矩阵，而是使用t时刻矩阵H_t的逆矩阵间接求取矩阵H_t+1的逆矩阵，运算复杂度大大减小，在t+1时刻，设煮糖结晶过程在线测控模型线性方程系统解为a_t+1，模型工作集的新加入数据对应的输出向量为y_t+1,模型工作集输出矩阵为Y_t+1，则煮糖结晶过程在线测控模型线性方程系统的解a_t+1可由式(6)进行更新，其求解推导过程如下，根据煮糖结晶过程在线测控模型线性方程系统，令H_t+1a_t+1＝Y_t+1，则：$\begin{array}{c}{a}_{t+1}=H_{t+1}^{-1}{Y}_{t+1}\\ =\left(\left[\begin{array}{cc}{H}_t^{-1}& 0\\ 0& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{H}_t^{-1}{h}_{new}\\ -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{h}_{new}^T{H}_t^{-1}& -1\end{array}\right]\frac{1}{h_{new}-h_{new}^T{H}_t^{-1}{h}_{new}}\right)Y_{t+1}\\ =\left[\begin{array}{c}{H}_t^{-1}{Y}_t\\ 0\end{array}\right]+\frac{1}{h_{new}-h_{new}^T{H}_t^{-1}{h}_{new}}(\left[\begin{array}{cc}{h}_{new}^T{H}_t^{-1}& -1\end{array}\right]Y_t-y_{t+1})\left[\begin{array}{c}{H}_t^{-1}{h}_{new}\\ -1\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{c}{a}_t\\ 0\end{array}\right]+\frac{1}{h_{new}-h_{new}^T{H}_t^{-1}{h}_{new}}(\left[\begin{array}{cc}{h}_{new}^T{H}_t^{-1}& -1\end{array}\right]Y_t-y_{t+1})\left[\begin{array}{c}{H}_t^{-1}{h}_{new}\\ -1\end{array}\right]\mathrm{...}\left(6\right)\end{array}$采取滑窗方式将最旧的数据移出煮糖结晶过程在线测控模型，令：$h_{old}=\left[\begin{array}{c}K(x_2,x_1)+1\\ .\\ .\\ .\\ K(x_{t+1},x_1)+1\end{array}\right]\mathrm{...}\left(7\right)$$h_{old}=K(x_1,x_1)+1+\frac{1}{c}\mathrm{...}\left(8\right)$则：$\begin{array}{c}{H}_{t+1}^{-1}={\left[\begin{array}{cc}{h}_{old}& h_{old}\\ h_{old}^T& {\bar{H}}_{t+1}\end{array}\right]}^{-1}\\ =\left[\begin{array}{cc}{(h_{old}-h_{old}{\bar{H}}_{t+1}^{-1}{h}_{old}^T)}^{-1}& -h_{old}{\bar{H}}_{t+1}^{-1}{(h_{old}-h_{old}{\bar{H}}_{t+1}^{-1}{h}_{old}^T)}^{-1}\\ -{\bar{H}}_{t+1}^{-1}{h}_{old}^T{(h_{old}-h_{old}{\bar{H}}_{t+1}^{-1}{h}_{old}^T)}^{-1}& {\bar{H}}_{t+1}^{-1}+{\bar{H}}_{t+1}^{-1}{h}_{old}^T{h}_{old}{\bar{H}}_{t+1}^{-1}{(h_{old}-h_{old}{\bar{H}}_{t+1}^{-1}{h}_{old}^T)}^{-1}\end{array}\right]\mathrm{...}\left(9\right)\end{array}$$H_{t+1}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{h}_{inverse\_old}& h_{inverse\_old}\\ h_{inverse\_old}^T& H_{inverse\_new}\end{array}\right]\mathrm{...}\left(10\right);$其中，h_{inverse_old}表示上一时刻采样、计算和更新之后模型辨识矩阵H中除第一个元素之外的所有第一行元素所构成的行向量；h^T_{inverse_old}表示向量h_{inverse_old}的转置；H_{inverse_new}是模型辨识矩阵H在采样新数据序列，对新数据序列辨识，并将新数据序列加入模型样本集之后模型辨识矩阵H的逆矩阵，第四步、通过对比分块矩阵(9)和(10)，求得t+1时刻移出最旧数据之后煮糖结晶过程在线测控模型逆矩阵为：${\bar{H}}_{t+1}^{-1}=H_{inverse\_new}-\frac{h_{inverse\_old}^T{h}_{inverse\_old}}{h_{inverse\_old}}\mathrm{...}\left(11\right);$第五步、在t+1时刻，模型解可由式(13)和式(14)求出，过程如下：$\begin{array}{c}{a}_{t+1}=H_{t+1}^{-1}{Y}_{t+1}\mathrm{...}\left(12\right)\\ \to \left[\begin{array}{c}{a}_{old}\\ {\hat{a}}_{t+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{h}_{inverse\_old}& h_{inverse\_old}\\ h_{inverse\_old}^T& H_{inverse\_old}\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{Y}_{old}\\ {\bar{Y}}_{t+1}\end{array}\right]\\ \to \left\{\begin{array}{c}{a}_{old}=h_{inverse\_old}{Y}_{old}+h_{inverse\_old}{\bar{Y}}_{t+1}\mathrm{...}\left(13\right)\\ {\hat{a}}_{t+1}=h_{inverse\_old}^T{Y}_{old}+H_{inverse\_new}{\bar{Y}}_{t+1}\mathrm{...}\left(14\right)\end{array}\right.\end{array}$其中，a_old为上一时刻的煮糖结晶过程测控在线模型线性方程系统解，为下一时刻煮糖结晶过程测控在线模型线性方程系统的预测解，Y_old为上一时刻的模型工作集输出矩阵，在t+1时刻，新数据加入模型并抛弃最旧数据之后，模型解设为输出向量设为此时模型解可用式(16)更新，这种方法避免大规模的矩阵运算，降低了计算复杂度，加快在线过程模型解的更新速度，$\begin{array}{c}{\bar{a}}_{t+1}={\bar{H}}_{t+1}^{-1}{\bar{Y}}_{t+1}\mathrm{...}\left(15\right)\\ \to {\bar{a}}_{t+1}=\left(H_{inverse\_new}-\frac{h_{inverse\_old}^T{h}_{inverse\_old}}{h_{inverse\_old}}\right)\times {\bar{Y}}_{t+1}\\ \to {\bar{a}}_{t+1}=H_{inverse\_new}{\bar{Y}}_{t+1}+h_{inverse\_old}^T{Y}_{old}-h_{inverse\_old}^T{Y}_{old}-\frac{h_{inverse\_old}^T{h}_{inverse\_old}{\bar{Y}}_{t+1}}{h_{inverse\_old}}\\ \to {\bar{a}}_{t+1}=H_{inverse\_new}{\bar{Y}}_{t+1}+h_{inverse\_old}^T{Y}_{old}-h_{inverse\_old}^T\frac{h_{inverse\_old}{Y}_{old}+h_{inverse\_old}{\bar{Y}}_{t+1}}{h_{inverse\_old}}\\ \to {\bar{a}}_{t+1}={\hat{a}}_{t+1}-\frac{h_{inverse\_old}^T{a}_{old}}{h_{inverse\_old}}\mathrm{...}\left(16\right)\end{array}.$