一种仅输出线性时变结构模态参数辨识方法

摘要

本发明公开的一种仅输出线性时变结构模态参数辨识方法，属于结构动力学技术领域。本发明首先推导出最小二乘支持向量机矢量时变自回归模型的代价函数；利用Wendland紧支径向基函数构造函数空间基于Gamma测试的非参数方法确定正则因子，基于实际经验给出基函数宽度减缩系数；依据贝叶斯信息量准则和赤池信息量准则确定时变自回归模型阶数；依据残差平方和与序列平方和的比值确定函数空间阶数；最后根据代价函数求最小二乘支持向量机矢量时变自回归模型系数矩阵表达式，并根据时间冻结方法求系统的模态频率，完成线性时变结构模态参数的辨识。本发明能够提高计算效率，增强系统鲁棒性，在结构动力学工程应用中广泛应用于线性时变结构的模态辨识。

主权项

一种仅输出线性时变结构模态参数辨识方法，其特征在于：包括如下步骤，步骤1：推导出最小二乘支持向量机矢量时变自回归模型(LS‑SVM‑VTAR)的代价函数L_p(a_ij,lm,α_l[k],e_l[k])，具体包括如下步骤；步骤1.1：推导最小二乘支持向量机模型(LS‑SVM)的代价函数L(w,b,e,α)如式(1)所示：式中，L(w,b,e,α)表示代价函数，w为参数矢量，b为实数，e＝[e₁ e₂ … e_N]^T为误差向量，α＝[α₁ α₂ … α_N]^T为拉格朗日乘子向量，γ为正则因子，为支持向量机训练样本数据，为N维至更高n_h维的映射，上标T表示转置运算，N为训练样本点个数；步骤1.2：将矢量时变自回归模型(VTAR)的系数投影到由径向基函数序列表示的函数空间中；矢量时变自回归模型(VTAR)如式(2)所示：$x\left[k\right]=-\underset{i=1}{\overset{n_a}{\Sigma }}{A}_i\left[k\right]x[k-i]+e\left[k\right]---\left(2\right)$式中，为系统N₀个通道的输出向量，k为第k个时刻点，n_a为VTAR模型阶数，e[k]为k时刻的误差或不可观测的非平稳扰动，A_i[k]为第i阶与时刻相关的VTAR系数矩阵；将矢量时变自回归模型(VTAR)的系数投影到如式(3)所示的函数空间中：式中，p_a为函数空间阶数，f_j(j＝1,2,…p_a)为第j阶函数向量；将A_i[k]展开，即得到函数空间表示的矢量时变自回归模型(VTAR)，如式(4)所示：$x\left[k\right]=-\underset{i=1}{\overset{n_a}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{p_a}{\Sigma }}{A}_{ij}{f}_j\left[k\right]x[k-i]+e\left[k\right]---\left(4\right)$x[k]的分量形式如式(5)所示：$x_l\left[k\right]=-\underset{i=1}{\overset{n_a}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{p_a}{\Sigma }}{f}_j\left[k\right]\underset{m=1}{\overset{N_o}{\Sigma }}{a}_{ij,lm}{x}_m[k-i]+e_l\left[k\right]---\left(5\right)$式中，a_ij,lm为矩阵A_ij的元素，l表示第l个输出通道；步骤1.3：得出最小二乘支持向量机矢量时变自回归模型(LS‑SVM‑VTAR)的代价函数L_p(a_ij,lm,α_l[k],e_l[k])；结合式(1)和式(5)得到所需的代价函数L_p(a_ij,lm,α_l[k],e_l[k])如式(6)所示：$\begin{array}{c}{L}_p(a_{ij,lm},{\alpha }_l[k],e_l[k\left]\right)=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n_a}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{p_a}{\Sigma }}\underset{l=1}{\overset{N_o}{\Sigma }}\underset{m=1}{\overset{N_o}{\Sigma }}{a}_{ij,lm}^2+\gamma \frac{1}{2}\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}\underset{l=1}{\overset{N_o}{\Sigma }}{e}_l^2\left[k\right]\\ -\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}\underset{l=1}{\overset{N_o}{\Sigma }}{\alpha }_l\left[k\right](-\underset{i=1}{\overset{n_a}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{p_a}{\Sigma }}{f}_j[k\left]\underset{m=1}{\overset{N_o}{\Sigma }}{a}_{ij,lm}{x}_m\right[k-i]+e_l[k]-x_l[k\left]\right)\end{array}---\left(6\right)$步骤2：利用Wendland紧支径向基函数构造步骤1中式(3)所示的函数空间使函数空间变得稀疏；采用的Wendland紧支径向基函数f_j[k]具体形式如式(7)所示：式中，N_w是给定的Wendland紧支径向基函数序列的非零部分，且δ是径向基函数序列的无量纲宽度缩减因子；是φ_1,λ[r]的离散形式，φ_1,λ[r]表达式如式(8)所示：${\phi }_{1,\lambda }\left(r\right)={(1-r)}_{+}^{2\lambda +1}{p}_{\lambda ,\lambda +1}\left(r\right)---\left(8\right)$λ是多项式的次数，p_λ,λ+1(r)是λ次的多项式，运算(a)₊＝max{a,0}；当λ取值分别为0,1,2,3时，p_λ,λ+1(r)的表达式分别如式(9)至式(12)所示；φ_1,λ(r)＝(1‑r)₊      (9)${\phi }_{1,\lambda }\left(r\right)={(1-r)}_{+}^3(1+3r)---\left(10\right)$${\phi }_{1,\lambda }\left(r\right)={(1-r)}_{+}^5(3+15r+24r^2)/3---\left(11\right)$${\phi }_{1,\lambda }\left(r\right)={(1-r)}_{+}^7(15+105r+285r^2+315r^3)/15---\left(12\right)$步骤3：基于Gamma测试的非参数方法确定步骤1中公式(6)中正则因子γ，基于工程经验给出步骤1中公式(6)中基函数宽度减缩系数δ；步骤4：确定步骤1式(6)中最小二乘支持向量机矢量时变自回归模型(LS‑SVM‑VTAR)阶数n_a和函数空间阶数p_a；步骤5：根据步骤1中式(6)所示的代价函数L_p(a_ij,lm,α_l[k],e_l[k])求步骤1式(2)中矢量时变自回归模型(VTAR)系数矩阵A_i[k]表达式，并根据时间冻结方法求系统的模态频率，完成线性时变结构模态参数的辨识；将式(6)中的代价函数L_p(a_ij,lm,α_l[k],e_l[k])对各个自变量a_ij,lm,α_l[k],e_l[k]求导，并整理得：$({\Omega }_l+\frac{I}{{\gamma }_l}){\alpha }_l={\tilde{x}}_l,(l=1,2,...N_0)---\left(13\right)$$a_{ij,lm}=-\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\alpha }_l\left[k\right]f_j\left[k\right]x_m[k-i]---\left(14\right)$式中，γ_l是第l个输出通道对应的正则因子，I为N维单位矩阵，α_l、x_l、Ω_l分别如式(15)、(16)所示：${\alpha }_l=\left[\begin{array}{c}{\alpha }_l\left(1\right)\\ {\alpha }_l\left(2\right)\\ ·\\ ·\\ ·\\ {\alpha }_l\left(N\right)\end{array}\right],{\tilde{x}}_l=\left[\begin{array}{c}{x}_l\left(1\right)\\ x_l\left(2\right)\\ ·\\ ·\\ ·\\ x_l\left(N\right)\end{array}\right]---\left(15\right)$其中，⊙表示对应元素相乘运算，F矩阵和R_m矩阵元素如式(17)所示：$F_{ks}=\underset{j=1}{\overset{p_a}{\Sigma }}{f}_{j,k}{f}_{j,s},R_{m,ks}=\underset{i=1}{\overset{n_a}{\Sigma }}{x}_{m,k-i}{x}_{m,s-i}---\left(17\right)$式(16)所示的矩阵Ω_l一般称为Gram矩阵；由于式(13)中除α_l外，其他变量只与步骤1式(3)中基函数空间和系统输出有关，均为已知量，因此求解式(13)所示的线性方程，即能够得到α_l的值；将α_l的值代入式(14)中，即能够得到a_ij,lm的值；再将a_ij,lm代入式(5)中，能够得到步骤1式(2)中矢量时变自回归模型(VTAR)系数矩阵A_i[k]；采用时间冻结法，据系数矩阵A_i[k]求第k个时刻点系统的频率和阻尼，完成线性时变结构模态参数的辨识。