一种基于改进无偏灰色模型的建筑物沉降预测方法

摘要

本发明公开了一种基于改进无偏灰色模型的建筑物沉降预测方法，建立无偏灰色预测模型，利用三次样条插值法对原始数据进行预处理，建立改进无偏灰色模型，增加一定的数据量，使数据序列更加平滑，继承无偏灰色模型的特性，并提高了改进无偏灰色模型的拟合预测精度。

主权项

一种基于改进无偏灰色模型的建筑物沉降预测方法，其特征在于，包括如下步骤：步骤一：设有非负准光滑的等间距的原始数据序列为X⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),x⁽⁰⁾(3),…,x⁽⁰⁾(k‑1),x⁽⁰⁾(k)}，k＝1,2,...n，无偏灰色模型的建立步骤如下：(1)、原始数据的累加，对原始数据进行一次累加，得到累加序列X⁽¹⁾＝{x⁽¹⁾(1),x⁽¹⁾(2),x⁽¹⁾(3),…x⁽¹⁾(k)}，式子中求解微分方程(1)得出X⁽¹⁾，$\frac{{\mathrm{dx}}_k^{\left(1\right)}}{dt}+{\mathrm{ax}}_k^{\left(1\right)}=b---\left(1\right)$(2)、确定数据矩阵B、Y_N$B=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}\left(x^{\left(1\right)}\right(2)+x^{\left(1\right)}\left(1\right))& 1\\ -\frac{1}{2}\left(x^{\left(1\right)}\right(3)+x^{\left(1\right)}\left(2\right))& 1\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ -\frac{1}{2}\left(x^{\left(1\right)}\right(n)+x^{\left(1\right)}(n-1))& 1\end{array}\right],Y_N=\left[\begin{array}{c}{x}^{\left(0\right)}\left(2\right)\\ x^{\left(0\right)}\left(3\right)\\ .\\ .\\ .\\ x^{\left(0\right)}\left(n\right)\end{array}\right]---\left(2\right)$(3)、利用最小二乘法求参数和$\left[\begin{array}{c}\hat{a}\\ \hat{b}\end{array}\right]={\left(B^{T}B\right)}^{-1}{B}^T{Y}_N---\left(3\right)$(4)、求解无偏灰色模型参数和${\hat{a}}^{\prime }=\ln \frac{2-\hat{a}}{2+\hat{a}},{\hat{b}}^{\prime }=\frac{2\hat{b}}{2+\hat{a}}---\left(4\right)$(5)、建立无偏灰色预测模型${\hat{x}}^{\left(0\right)}\left(1\right)=x^{\left(0\right)}\left(1\right),x^{\left(0\right)}\left(k\right)={\hat{b}}^{\prime }{e}^{{\hat{a}}^{\prime }(k-1)},k=1,2,\mathrm{...},n---\left(5\right)$当k＜n时，把称之为模型模拟值；当k＝n时，把称之为模型滤波值；当k＞n时，把称之为模型预测值；步骤二：进行三次样条插值：设[a,b]上有一划分Δ:a＝x₀＜x₁＜…＜x_n＝b，给定节点处x_k处的函数值为y_k＝f(x_k),(k＝0,1,…,n)，若存在函数S(x)，满足(1)插值条件：S(x_k)＝y_k,k＝0,1,…,n，(2)分段条件：在小区间[x_k,x_k+1],(k＝0,1,…,n‑1)上，S(x)是三次代数多项式，即S(x)＝a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³，(3)光滑条件：S(x)∈C²[a,b]，则称S(x)为样条节点x_k上的三次样条插值函数(Cubic Spline Interpolation)，称求S(x)的方法为三次样条插值方法，设原始数据序列为X⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),x⁽⁰⁾(3),…,x⁽⁰⁾(k‑1),x⁽⁰⁾(k)}，k＝1,2,...n，对原始数据进行三次样条插值处理后的序列为S⁽⁰⁾＝{s⁽⁰⁾(1),s⁽⁰⁾(2),s⁽⁰⁾(3),…,s⁽⁰⁾(k‑1),s⁽⁰⁾(k)}，计算表达式如下$S\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}{s}_0\left(x\right)=a_0+b_{0}x+c_0{x}^2+d_0{x}^3,x\in [x_0,x_1]\\ s_1\left(x\right)=a_1+b_{1}x+c_1{x}^2+d_1{x}^3,x\in [x_1,x_2]\\ \mathrm{...}\\ s_{k-1}\left(x\right)=a_k+b_{k}x+c_k{x}^2+d_k{x}^3,x\in [x_{k-1},x_k]\end{array}\right.,k=1,2,...n---\left(6\right)$若在该函数在两端点处没有一阶导数和二阶导数值时，则由对应的差商值代替；步骤三：建立改进无偏灰色模型；步骤四：利用改进无偏灰色模型对建筑物沉降监测数据进行模拟，并预测将来的监测数据值。