一种基于降阶模型的梁式结构自由振动分析方法

摘要

本发明属于航空航天复杂梁式结构构件计算领域，提供一种基于降阶模型的梁式结构自由振动分析方法，包括以下步骤：1)利用有限元软件获得精细结构的质量阵和刚度阵；2)采用多项式插值函数构造减缩基向量，实现原复杂梁式结构降阶；3)求解降阶模型的动力学方程，得到结构的整体频率及部分低阶频率。该方法通过多项式插值函数构造减缩基向量，以位移插值的形式将复杂结构有限元模型中的节点凝聚至截面形心，实现原结构降阶，降阶模型的计算精度可通过多项式阶数进行控制。本发明的有益效果为：不依赖于使用者的经验，减少由于主、从自由度选择的不同对计算精度的不良影响；不需大量的矩阵操作，提高模型降阶的计算效率；得到的降阶模型适用范围广。

主权项

一种基于降阶模型的梁式结构自由振动分析方法，其特征在于以下步骤：第一步，利用有限元软件对梁式结构进行处理，得到梁式结构的质量阵M和刚度阵K；第二步，采用多项式插值函数构造减缩基向量，对梁式结构进行模型降阶；2.1)利用多项式插值函数，以位移插值的形式将梁式结构的截面上的任一有限元节点的位移凝聚至截面Ω形心处；梁式结构采用轴向为x轴正向的直角坐标系，截面Ω上任一有限元节点j通过该截面形心i处广义位移表示的列式u_j为：u_j＝R_jq_i                          (1)其中，u_j表示截面Ω上第j个有限元节点的位移向量，q_i表示截面Ω形心i处的广义位移向量，R_j表示j点的位移转换阵；u_j的展开形式为：$\left\{\begin{array}{c}{u}_{jx}\\ u_{jy}\\ u_{jz}\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ccc}{F}_{\tau j}& 0& 0\\ 0& F_{\tau j}& 0\\ 0& 0& F_{\tau j}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{q}_{ix\tau }\\ q_{iy\tau }\\ q_{iz\tau }\end{array}\right\},\tau =1,2,...W---\left(2\right)$其中，{u_jx u_jy u_jz}^T为有限元节点j在直角坐标系Oxyz下的三个位移分量，{q_ixτ q_iyτ q_izτ}^T为截面形心i在直角坐标系Oxyz下的广义位移分量，F_τj为多项式插值函数表达式，重复下标τ表示求和，W为多项式项数；2.2)截面Ω上所有的有限元节点均凝聚到该截面Ω的形心i处，得到如公式(3)所示的位移装换关系式：U_i＝(u₁，…，u_s)^T＝T_iq_i＝(R₁，…，R_s)^Tq_i        (3)其中，U_i表示截面Ω内的s个有限元节点的位移向量，T_i表示截面Ω的位移转换矩阵；2.3)将整个梁式结构沿轴向方向剖分为p个截面，再将p个截面上的位移转换关系式组装成减缩基向量T，实现原梁式结构的降阶；所述的p个截面上的位移转换关系式组装成的减缩基向量T为：其中，U表示整个结构有限元节点位移向量，是3n×1的列向量，n为梁式结构的自由度数；Q为降阶后模型的有限元节点位移向量，是3pW×1的列向量；U_p表示第p个截面内节点的位移向量；T_p表示第p个截面内节点的位移转换矩阵，大小扩展为3n×3W；q_p表示第p个截面形心处的广义位移，大小为3W×1；2.4)不考虑阻尼影响，原梁式结构分析的有限元控制方程表示为：$M\stackrel{··}{U}+KU=F---\left(5\right)$其中，M、K为3n×3n的方阵，分别是原结构的质量阵和刚度阵；U、是3n维列向量，分别是结构位移和加速度响应向量；3n维列向量F是作用在结构上的载荷；2.5)在公式(5)所示的有限元控制方程中引入位移转换方程(4)，并在方程两边同时左乘T^T，得到降阶后的动力学方程：$M_R\stackrel{··}{Q}+K_{R}Q=F_R---\left(6\right)$其中，M_R＝T^TMT、K_R＝T^TKT分别是降阶模型的质量阵和刚度阵；M_R、K_R为3pW×3pW的方阵；Q、是3pW维列向量，分别是降阶模型的位移和加速度响应向量，由于W<<s，所以降阶模型的自由度大幅度下降；F_R＝T^TF为3pW维降阶模型的载荷向量；第三步，利用第二步2.5)得到的梁式结构降阶模型的质量阵M_R和刚度阵K_R，由公式(7)计算降阶后的梁式结构的频率及振型；求解与式(6)相对应的结构动力学广义特征值方程：其中，λ、分别为降阶模型的特征值向量和对应的振型；为原梁式结构的振型。