一种考虑几何不确定性的高超声速机翼气动力/热分析方法

摘要

本发明公开了一种考虑几何不确定性的高超声速机翼气动力/热分析方法。根据伯恩斯坦多项式近似模型构造不确定参数的样本点，在给定飞行工况下，利用气动力/热工程算法计算样本点对应机翼外形的气动力/热响应值，同时应用最小二乘法得到多项式近似模型的拟合系数。在此基础上，利用已建立的多项式近似模型求解气动力/热响应值关于各个不确定参数的极大/小值点，并组合形成最大/小值点的向量，最终得到气动力/热响应值的区间上界和区间下界，实现考虑几何不确定性的高超声速机翼气动力/热分析。本发明方法得到的区间边界与蒙特卡洛方法得到的区间边界吻合较好，并且可以实现区间包络，为高超声速机翼外形的总体设计提供了新思路。

主权项

一种考虑几何不确定性的高超声速机翼气动力/热分析方法，其特征在于实现步骤如下：步骤(1)、确定高超声速机翼的平面轮廓参数，包括翼根弦长C_r、翼尖弦长C_t、副翼宽度C_a及机翼半展长L；步骤(2)、利用类函数/形函数转换方法建立高超声速机翼翼型的参数化表达式，翼型的几何曲线可用下列函数表示：$\frac{y}{c}\left(\frac{x}{c}\right)=C\left(\frac{x}{c}\right)S\left(\frac{x}{c}\right)+\frac{x}{c}\frac{z_{te}}{c}---\left(1\right)$式中，x/c为翼型弦向的无量纲坐标值，y/c为翼型法向的无量纲坐标值，C(x/c)和S(x/c)分别为类型函数和形状函数，z_te/c为翼型后缘点的无量纲坐标值，C(x/c)可表示为：$C\left(\frac{x}{c}\right)={\left(\frac{x}{c}\right)}^{N_1}{(1-\frac{x}{c})}^{N_2},0\le \frac{x}{c}\le 1---\left(2\right)$对于Clark‑Ys翼型，取指数N₁＝0.5,N₂＝1，S(x/c)可表示为：$S\left(\frac{x}{c}\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\Sigma }}[{\lambda }_i·\frac{n!}{i!(n-i)!}·{\left(\frac{x}{c}\right)}^i·{(1-\frac{x}{c})}^{n-i}],0\le \frac{x}{c}\le 1---\left(3\right)$S(x/c)与翼型前缘半径R_le/c及后缘倾角β满足以下关系：$\left\{\begin{array}{c}S\left(0\right)={\lambda }_0=\sqrt{\frac{2R_{le}}{c}},\\ S\left(1\right)={\lambda }_n=tan\beta +\frac{z_{te}}{c}\end{array}\right.---\left(4\right)$在形状函数S(x/c)中取n＝3，这样共包含等8个几何设计参数，其中，表示翼型前缘半径，β₁和β₂表示上、下翼面的后缘倾角，z_te/c为翼型后缘点的无量纲坐标值，λ₁、λ₂、λ₁'、λ₂'为上、下翼面形状函数多项式的加权系数；步骤(3)、考虑由加工误差导致翼型几何特征参数存在的波动，将存在不确定性的几何特征参数记为其余参数均视为确定性参数；步骤(4)、设定翼型几何特征参数α的区间上下界，可表示为：${\alpha }^I=[\underset{‾}{\alpha },\bar{\alpha }]---\left(5\right)$式中，为高超声速机翼翼型几何特征参数的区间下界，为区间上界；步骤(5)、利用区间[‑1,1]内的n阶伯恩斯坦多项式，构造用于计算多项式系数的样本点，将伯恩斯坦多项式模型中子多项式的极值点t记为：t＝[t₀,t₁,…,t_r,…,t_n‑1,t_n]^T                             (6)式中：$t_r=\frac{2r-n}{n},r=0,1,...,n---\left(7\right)$步骤(6)、将式(6)所表示的极值点映射至区间参数空间α^I内的第s个区间参数α_s，则在第s维用于计算该维近似多项式系数的样本点可以表示为：${\alpha }_{s,r}={[{\alpha }_1^c,...,{\alpha }_{s-1}^c,{\alpha }_{s,r},{\alpha }_{s+1}^c,...,{\alpha }_m^c]}^T,r=0,1,...,n---\left(8\right)$其中，$\begin{array}{c}{\alpha }_i^c=\left(\frac{{\bar{\alpha }}_i+{\underset{‾}{\alpha }}_i}{2}\right),i=1,2,...,s-1,s+1,...,m\\ {\alpha }_{s,r}=\left(\frac{{\bar{\alpha }}_s+{\underset{‾}{\alpha }}_s}{2}\right)+\left(\frac{{\bar{\alpha }}_s-{\underset{‾}{\alpha }}_s}{2}\right)t_r\end{array}---\left(9\right)$式中，m为不确定参数的个数；步骤(7)、根据式(8)中样本点对应翼型的几何特征参数，建立高超声速机翼的气动外形，进而利用高超声速工程算法计算气动力/热响应值，记为Q_s，表示为如下形式：Q_s＝[Q_s,0,...,Q_s,r,...,Q_s,n]^T                           (10)式中，Q_s,r＝Q(α_s,r)表示样本点α_s,r对应的气动力/热响应值；步骤(8)、利用最小二乘法计算伯恩斯坦多项式近似模型的待定系数ω_s，公式如下：ω_s＝[ω_s,0,ω_s,1,...,ω_s,n]^T＝(B^TB)^‑1·B^T·Q_s                     (11)式中，B为伯恩斯坦‑范德蒙矩阵，可表示为：其中，b_n,r(t)为伯恩斯坦多项式的子多项式，记为：$b_{n,r}\left(t\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!}{\left(\frac{t+1}{2}\right)}^r{\left(\frac{-t+1}{2}\right)}^{n-r},r=0,1,...,n---\left(13\right)$步骤(9)、根据步骤(8)中得到的系数ω_s，建立气动力/热响应值Q关于第s个不确定参数的伯恩斯坦多项式近似模型P_s(t)，表示如下：$P_s\left(t\right)=\underset{r=0}{\overset{n}{\Sigma }}{\omega }_{s,r}·b_{n,r}\left(t\right),t\in [-1,1]---\left(14\right)$步骤(10)、步骤(9)中P_s(t)的最值点可以通过其导函数的零点与自变量的端点产生，其中导函数零点可通过下式计算：$\frac{{\mathrm{dP}}_s\left(t\right)}{dt}=0---\left(15\right)$将零点记为t_s＝[t_s,1,t_s,2,...,t_s,n]，根据P_s(t)的自变量范围，可将零点进一步修改为：其中Im和Re分别表示对应变量的虚部和实部；步骤(11)、气动力/热响应值Q关于第s个区间参数的最小值点和最大值点可计算为：$\begin{array}{c}{P}_s\left(t_{s,\min }\right)=\underset{t\in T_s}{min}\left\{P_s\left(t\right)\right\}\\ P_s\left(t_{s,\max }\right)=\underset{t\in T_s}{max}\left\{P_s\left(t\right)\right\}\end{array}---\left(17\right)$式中，T_s＝[t_s,‑1,1]；步骤(12)、重复步骤(6)～(11)，以相同的方式计算气动力/热响应值Q关于所有区间参数的最小值点和最大值点，最终可以得到气动力/热响应值在标准区间[‑1,1]内的最小值点和最大值点，即：$\begin{array}{c}{t}_{\min }={\left[t_{1,\min },t_{2,\min },...,t_{s,\min },...,t_{m,\min }\right]}^T\\ t_{\max }={\left[t_{1,\max },t_{2,\max },...,t_{s,\max },...,t_{m,\max }\right]}^T\end{array}---\left(18\right)$步骤(13)、将步骤(12)中标准区间内的最小值点和最大值点映射到实际参数空间有：$\begin{array}{c}{\alpha }_{\min }={\left[{\alpha }_{1,\min },{\alpha }_{2,\min },...,{\alpha }_{s,\min },...,{\alpha }_{m,\min }\right]}^T\\ {\alpha }_{\max }={\left[{\alpha }_{1,\max },{\alpha }_{2,\max },...,{\alpha }_{s,\max },...,{\alpha }_{m,\max }\right]}^T\end{array}---\left(19\right)$式中：$\begin{array}{c}{\alpha }_{s,\min }=\left(\frac{{\bar{\alpha }}_s+{\underset{‾}{\alpha }}_s}{2}\right)+\left(\frac{{\bar{\alpha }}_s-{\underset{‾}{\alpha }}_s}{2}\right)t_{s,\min }\\ {\alpha }_{s,\max }=\left(\frac{{\bar{\alpha }}_s+{\underset{‾}{\alpha }}_s}{2}\right)+\left(\frac{{\bar{\alpha }}_s-{\underset{‾}{\alpha }}_s}{2}\right)t_{s,\max }\end{array}---\left(20\right)$步骤(14)、根据α_min和α_max建立其对应的机翼参数化外形，利用高超声速工程算法得到气动力/热响应值Q的区间上下界，可表示为：$\begin{array}{c}\underset{‾}{Q}=Q\left({\alpha }_{min}\right)\\ \bar{Q}=Q\left({\alpha }_{max}\right)\end{array}---\left(21\right)$式中，Q(α_min)和Q(α_max)分别表示几何特征参数α_min和α_max对应的气动力/热响应值；步骤(15)、将通过上述方法得到的气动力/热响应值Q的区间上下界与蒙特卡洛方法进行对比，验证所建立方法的有效性。