加权最小二乘空域矩阵滤波设计方法

摘要

本发明属于阵列信号处理技术领域，涉及到一种加权最小二乘空域矩阵滤波设计方法，特别涉及到恒定通带响应误差及阻带响应的空域矩阵滤波设计方法。其特征是通过对最优空域矩阵滤波器权值参数迭代的方式，获得恒定的通带响应误差和恒定的阻带响应。并可通过设置通带响应误差和阻带响应的比例系数λ，调节通带和阻带的响应效果。

主权项

一种加权最小二乘空域矩阵滤波设计方法，其特征在于，设阵列阵元数为N，通带空域离散化数目为P，阻带空域离散化数目为S，θ_p方向对应的通带方向向量a(θ_p)的响应误差e(θ_p)，和θ_s方向对应的阻带方向向量a(θ_s)的响应e(θ_s)分别为：$e\left({\theta }_p\right)={\left|\right|\mathrm{Ha}\left({\theta }_p\right)-a\left({\theta }_p\right)\left|\right|}_F^2,{\theta }_p\in {\Theta }_P$$e\left({\theta }_s\right)={\left|\right|\mathrm{Ha}\left({\theta }_s\right)\left|\right|}_F^2,{\theta }_s\in {\Theta }_S$其中，Θ_P和Θ_S分别为通带方向向量和阻带方向向量的取值区域；利用加权系数w(θ_p)和w(θ_s)对通带响应误差e(θ_p)和阻带响应e(θ_s)加权，则加权后得到加权通带响应误差e_w(θ_p)和加权阻带响应e_w(θ_s)如下：$e_w\left({\theta }_p\right)={w\left({\theta }_p\right)\left|\right|\mathrm{Ha}\left({\theta }_p\right)-a\left({\theta }_p\right)\left|\right|}_F^2,{\theta }_p\in {\Theta }_P$$e_w\left({\theta }_s\right)=w\left({\theta }_s\right){\left|\right|\mathrm{Ha}\left({\theta }_s\right)\left|\right|}_F^2,{\theta }_s\in {\Theta }_S$归一化后的加权通带总体响应误差和归一化后的阻加权带总体响应分别为：$E_P=\frac{1}{\mathrm{NP}}\underset{p=1}{\overset{P}{\Sigma }}w\left({\theta }_p\right){\left|\right|\mathrm{Ha}\left({\theta }_p\right)-a\left({\theta }_p\right)\left|\right|}_F^2,{\theta }_p\in {\Theta }_P$$E_S=\frac{1}{\mathrm{NS}}\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}w\left({\theta }_s\right){\left|\right|\mathrm{Ha}\left({\theta }_s\right)\left|\right|}_F^2,{\theta }_s\in {\Theta }_S$其中，P和S对应于通带区域和阻带区域的离散化数目，采用等间隔的方式离散化；利用归一化后的加权通带总体响应误差和加权阻带总体响应，构造空域矩阵滤波器设计最优化问题：最优化问题1：$\underset{H\left(\omega \right)}{\min }J\left(H\left(\omega \right)\right)=\frac{1}{\mathrm{NP}}\underset{p=1}{\overset{P}{\Sigma }}w\left({\theta }_p\right){\left|\right|\mathrm{Ha}\left({\theta }_p\right)-a\left({\theta }_p\right)\left|\right|}_F^2+\lambda \frac{1}{\mathrm{NS}}\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}w\left({\theta }_s\right){\left|\right|\mathrm{Ha}\left({\theta }_s\right)\left|\right|}_F^2---\left(4\right)$当w(θ_p)取较小值时，对J(H(ω))的贡献较小，反之，则对J(H(ω))的影响较大；同理，w(θ_s)的大小也决定了对J(H(ω))的贡献大小；随着w(θ_p)和w(θ_s)取值的增加，和的值随之增加，而最优化问题1需要使J(H(ω))最小，则大的w(θ_p)和w(θ_s)必然要获得较小的和通过调节系数w(θ_p)和w(θ_s)即实现对目标函数的最优值调节，从而调节空域矩阵滤波器的响应效果；构造Lagrange函数求解最优化问题1：$\begin{array}{c}J\left(H\left(\omega \right)\right)=\frac{1}{\mathrm{NP}}\underset{p=1}{\overset{P}{\Sigma }}w\left({\theta }_p\right){\left|\right|\mathrm{Ha}\left({\theta }_p\right)-a\left({\theta }_p\right)\left|\right|}_F^2+\lambda \frac{1}{\mathrm{NS}}\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}w\left({\theta }_s\right){\left|\right|\mathrm{Ha}\left({\theta }_s\right)\left|\right|}_F^2\\ =\frac{1}{\mathrm{NP}}{\left|\right|(H\left(\omega \right)V_P-V_P)R_{P,1/2}\left|\right|}_F^2+\lambda \frac{1}{\mathrm{NS}}{\left|\right|H\left(\omega \right)V_S{R}_{S,1/2}\left|\right|}_F^2\end{array}---\left(5\right)$上式中构造了矩阵：V_P＝[a(θ₁),…,a(θ_p),…,a(θ_P)],θ_p∈Θ_PV_S＝[a(θ₁),…,a(θ_s),…,a(θ_S)],θ_s∈Θ_S$R_{P,1/2}=\mathrm{diag}{[\sqrt{w\left({\theta }_1\right)},\sqrt{w\left({\theta }_2\right)},...,\sqrt{w\left({\theta }_P\right)}]}_{P\times P},{\theta }_P\in {\Theta }_P$$R_{S,1/2}=\mathrm{diag}{[\sqrt{w\left({\theta }_1\right)},\sqrt{w\left({\theta }_2\right)},...,\sqrt{w\left({\theta }_S\right)}]}_{S\times S},{\theta }_s\in {\Theta }_S$上式中，V_P和V_S分别对应于通带方向向量和阻带方向向量所构造的矩阵；R_P,1/2和R_S,1/2分别对应于通带响应误差加权系数和阻带响应加权系数所构造的对角矩阵；并令：R_P＝diag[w(θ₁),w(θ₂),…,w(θ_P)]_P×P,θ_p∈Θ_PR_S＝diag[w(θ₁),w(θ₂),…,w(θ_S)]_S×S,θ_s∈Θ_S对J(H(ω))求关于矩阵H^*(ω)的偏导数，并令之为零，以获得最优滤波器的解；$\frac{\partial J\left(H\left(\omega \right)\right)}{\partial H^{*}\left(\omega \right)}=\frac{1}{\mathrm{NP}}H\left(\omega \right)V_P{R}_P{V}_P^H-\frac{1}{\mathrm{NP}}{V}_P{R}_P{V}_P^H+\frac{1}{\mathrm{NS}}\mathrm{\lambda H}\left(\omega \right)V_S{R}_S{V}_S^H=0---\left(6\right)$得到$\hat{H}\left(\omega \right)=\frac{1}{\mathrm{NP}}{V}_P{R}_P{V}_P^H{(\frac{1}{\mathrm{NP}}{V}_P{R}_P{V}_P^H+\frac{1}{\mathrm{NS}}\lambda V_S{R}_S{V}_S^H)}^{-1}---\left(7\right)$通过调节λ，调节通带响应误差和阻带响应的比例；当λ＝1时，归一化后的通带响应误差和归一化后的通带响应相同；当λ＞1时，归一化后的阻带响应将减小，而归一化后的通带响应误差将增大；反之，λ＜1，所获得的归一化阻带响应要高于归一化通带响应误差；通过单独迭代通带响应误差或阻带响应加权系数，获得通带或阻带的恒定约束效果或通带响应误差加权系数和阻带响应加权系数一起迭代，实现通带响应误差和阻带响应同时满足恒定的约束。