一种基于激光追踪仪多站位测量的三坐标测量机空域坐标修正方法

摘要

一种基于激光追踪仪多站位测量的三坐标测量机空域坐标修正方法，首先在三坐标测量机测量空间范围内进行测点网格划分并确定测点坐标，测量时移动靶镜到各测点，激光追踪仪在网格空间范围外进行转站测量，获取不同站位下每个测点到第一个测点的相对干涉测长值。然后利用两点距离公式和最小二乘法原理求解各站位的坐标和对应站位到第一个测点的距离。再利用各站位坐标、测点坐标以及站位到第一个测点的距离，通过干涉测长误差方程求解出各个测点的修正值。再次，采用提高站位坐标精度、站位到第一个测点距离精度的迭代方法来获取更为精确的测点修正值。最后利用三线性插值方法获得网格空间内任意测点的修正值，从而提高三坐标测量机的测量精度。

主权项

一种基于激光追踪仪多站位测量的三坐标测量机空域坐标修正方法，其特征在于：该方法包括下述步骤：步骤一：构建激光追踪仪多站位测量模型；CMM坐标系下，设CMM测量空间内待测点为A_i(x_i,y_i,z_i)，其中i＝1,2,3,…,n；激光追踪仪内部标准球的球心为O；激光追踪仪的站位坐标为P_j(X_j,Y_j,Z_j)，其中j＝1,2,3,…,m；P_j到A₁点的距离为d_j；测量过程中激光追踪仪的测量数据为l_ij，按三维空间两点距离公式建立下列关系式：$\sqrt{{(x_i-X_j)}^2+{(y_i-Y_j)}^2+{(z_i-Z_j)}^2}=d_j+l_{ij}---\left(1\right)$方程个数为m×n，未知数个数为4m+3n；为使方程组可解应满足：m×n≥4m+3n   (2)则m和n满足m≥4，n≥16；步骤二：划分测量空间，小立方体空间的顶点为待测点，确定待测点A_i在CMM测量空间范围内的坐标值(x_i,y_i,z_i)；激光追踪仪的站位为P₁，控制CMM移动目标靶镜按照规划好的路径移动至待测点A_i，并测量此时的激光追踪仪的测量数据l_i1；依次移动激光追踪仪到各个站位P_j，其中j＝1,2,3,…,m，并按规划路径移动靶镜完成所有待测点测量数据l_ij的测量；步骤三：将式(1)等号两边同时平方并移项得到方程：$x_i^2+y_i^2+z_i^2-2x_i{X}_j-2y_i{Y}_j-2z_i{Z}_j+X_j^2+Y_j^2+Z_j^2-d_j^2-2d_j{l}_{ij}-l_{ij}^2=0---\left(3\right)$令则式(3)转化为：$x_i^2+y_i^2+z_i^2-2x_i{X}_j-2y_i{Y}_j-2z_i{Z}_j+k-2d_j{l}_{ij}-l_{ij}^2=0---\left(4\right)$根据最小二乘法将目标函数定义为：$F(X_j,Y_j,Z_j,k)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{(x_i^2+y_i^2+z_i^2-2x_i{X}_j-2y_i{Y}_j-2z_i{Z}_j+k-2d_j{l}_{ij}-l_{ij}^2)}^2---\left(5\right)$使F(X_j,Y_j,Z_j,k)最小，(5)式应满足下列条件：$\frac{\partial F}{\partial X_j}=0,\frac{\partial F}{\partial Y_j}=0,\frac{\partial F}{\partial Z_j}=0,\frac{\partial F}{\partial d_j}=0,\frac{\partial F}{\partial k}=0---\left(6\right)$同时满足：$\frac{{\partial }^{2}F}{\partial X_j^2}=8\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i^2>0,$$\frac{{\partial }^{2}F}{\partial Y_j^2}=8\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{y}_i^2>0,$$\frac{{\partial }^{2}F}{\partial Z_j^2}=8\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{z}_i^2>0,---\left(7\right)$$\frac{{\partial }^{2}F}{\partial d_j^2}=8\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{l}_{ij}^2>0,$$\frac{{\partial }^{2}F}{\partial k^2}=2>0$将式(6)写成矩阵形式：$\left[\begin{array}{ccccc}2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i^2& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i{y}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i{z}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i{l}_{ij}& -\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i\\ 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i{y}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{y}_i^2& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{y}_i{z}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{y}_i{l}_{ij}& -\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{y}_i\\ 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i{z}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{y}_i{z}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{z}_i^2& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{z}_i{l}_{ij}& -\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{z}_i\\ 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i{l}_{ij}& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{y}_i{l}_{ij}& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{z}_i{l}_{ij}& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{l}_{ij}^2& -\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{l}_{ij}\\ -\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i& -\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{y}_i& -\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{z}_i& -\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{l}_{ij}& \frac{n}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_j\\ Y_j\\ Z_j\\ d_j\\ k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{y}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{z}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{l}_{ij}(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\\ -\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\end{array}\right]---\left(8\right)$解式(8)可得到站位坐标P_i(X_j,Y_j,Z_j)和d_j；步骤四：将式(1)写成误差方程：$v_{ij}=\sqrt{{(x_i-X_j)}^2+{(y_i-Y_j)}^2+{(z_i-Z_j)}^2}-d_j-l_{ij}---\left(9\right)$利用最小二乘法处理式(9)得到的误差平方和为：$E(x_1,y_1,z_1,...x_n,y_n,z_n,X_1,Y_1,Z_1,...,X_m,Y_m,Z_m)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{v}_{ij}^2---\left(10\right)$式(10)是一个非线性方程，为方便求解采用下面的计算过程：令$L_{ij}=\sqrt{{(x_i-X_j)}^2+{(y_i-Y_j)}^2+{(z_i-Z_j)}^2}---\left(11\right)$利用泰勒级数展开对式(11)进行泰勒级数展开，得到如下方程：$\begin{array}{c}{L}_{ij}\approx L_{ij}{|}_0+\frac{\partial L_{ij}}{\partial x_i}{|}_0·{\mathrm{dx}}_i+\frac{\partial L_{ij}}{\partial y_i}{|}_0·{\mathrm{dy}}_i+\frac{\partial L_{ij}}{\partial z_i}{|}_0·{\mathrm{dz}}_i\\ +\frac{\partial L_{ij}}{\partial X_j}{|}_0·{\mathrm{dX}}_j+\frac{\partial L_{ij}}{\partial Y_j}{|}_0·{\mathrm{dY}}_j+\frac{\partial L_{ij}}{\partial Z_j}{|}_0·{\mathrm{dZ}}_j\end{array}---\left(12\right)$将式(12)代入式(9)，化简整理后有：$\begin{array}{c}{v}_{ij}=L_{ij}{|}_0+\frac{x_i{|}_0-X_j{|}_0}{L_{ij}{|}_0}·({\mathrm{dx}}_i-{\mathrm{dX}}_j)+\frac{y_i{|}_0-Y_j{|}_0}{L_{ij}{|}_0}·({\mathrm{dy}}_i-{\mathrm{dY}}_j)\\ +\frac{z_i{|}_0-Z_j{|}_0}{L_{ij}{|}_0}·({\mathrm{dz}}_i-{\mathrm{dZ}}_j)-d_j-l_{ij}\end{array}---\left(13\right)$其中：等式(13)即为优化后的求解模型；式(12)、(13)中，标为|₀的为该数值的近似值，x_i|₀、y_i|₀、z_i|₀由CMM提供，X_j|₀、Y_j|₀、Z_j|₀、d_j由求解方程组式(8)得到；令v_ij＝0，将式(13)写成矩阵的形式：Ax＝B   (14)其中：$x={[{\mathrm{dx}}_1,{\mathrm{dy}}_1,{\mathrm{dz}}_1,...,{\mathrm{dx}}_n,{\mathrm{dy}}_n,{\mathrm{dz}}_n,{\mathrm{dX}}_1,{\mathrm{dY}}_1,{\mathrm{dZ}}_1,...,{\mathrm{dX}}_m,{\mathrm{dY}}_m,{\mathrm{dZ}}_m]}_{1\times (3n+3m)}^T---\left(15\right)$$b={[d_1+l_{11}-L_{11}{|}_0,...,d_j+l_{ij}-L_{ij}{|}_0,...,d_m+l_{nm}-L_{nm}{|}_0]}_{1\times nm}^T---\left(16\right)$其中dx_i、dy_i、dz_i和dX_j、dY_j、dZ_j为待测点相应坐标的修正值和站位P_j相应坐标的修正值；解方程组(14)可得到待测点A_i的修正值(dx_i,dy_i,dz_i)；步骤五：根据式(12)，影响待测点A_i修正值(dx_i,dy_i,dz_i)精度的变量有x_i|₀、y_i|₀、z_i|₀和X_j|₀、Y_j|₀、Z_j|₀、d_j，其中x_i|₀、y_i|₀、z_i|₀在完成步骤一后即确定为不变，因此X_j|₀、Y_j|₀、Z_j|₀、d_j求解的精度直接影响(dx_i,dy_i,dz_i)的求解精度；采用递推迭代方法提高X_j|₀、Y_j|₀、Z_j|₀、d_j求解的精度；迭代方法的步骤如下：①将待测点坐标(x_i|₀,y_i|₀,z_i|₀)与得到的修正值(dx_i,dy_i,dz_i)相加，得到(x_i|₀',y_i|₀',z_i|₀')；②将(x_i|₀',y_i|₀',z_i|₀')和步骤二中得到的l_ij代入式(8)，求解得到P_j'(X_j',Y_j',Z_j')和d_j'；③将(x_i|₀',y_i|₀',z_i|₀')、P_j'(X_j',Y_j',Z_j')和d_j'代入式(14)，求解得到迭代的中间修正值(dx_i',dy_i',dz'_i)；当迭代次数等于1时，将(dx_i',dy_i',dz'_i)与步骤四得到的(dx_i,dy_i,dz_i)进行比较；当迭代次数大于1时，将当前迭代的中间修正值和上次迭代的中间修正值进行比较，看数值的数量级是否在降低，如果有降低趋势则后续需继续进行迭代，如没有降低则终止迭代；④将(x_i|₀,y_i|₀,z_i|₀)、P_j'(X_j',Y_j',Z_j')和d_j'代入式(14)，求解方程组得到高精度的修正值；⑤重复步骤①到④的过程，其中①中与(x_i|₀,y_i|₀,z_i|₀)进行加法运算的修正值总是最新求解得到的，直到迭代终止；步骤六：假设Q为CMM在测量空间范围内测得的任意一点，坐标为(x_Q,y_Q,z_Q)；确定Q点在划分网格空间内所属的小立方体空间；设立方体的8个顶点为A、B、C、D、E、F、G、H，其中平面ADHE垂直于CMM的x轴，Q点到平面ADHE的距离为L_x；平面ABFE垂直于CMM的y轴，Q点到平面ABFE的距离为L_y；平面ABCD垂直于CMM的z轴，Q点到平面ABCD的距离为L_z；通过步骤五得到A、B、C、D、E、F、G、H的测点修正值；利用8个顶点的修正值通过式(17)三线性插值的方法求出该测点的误差修正值；$\begin{array}{c}{\Delta }_Q=(1-k_3)[(1-k_1)(1-k_2){\Delta }_A+k_1(1-k_2){\Delta }_B+k_1{k}_2{\Delta }_C+(1-k_1)k_2{\Delta }_D]\\ +k_3[(1-k_1)(1-k_2){\Delta }_E+k_1(1-k_2){\Delta }_F+k_1{k}_2{\Delta }_G+(1-k_1)k_2{\Delta }_H]\end{array}---\left(17\right)$其中Δ_A、Δ_B、Δ_C、Δ_D、Δ_E、Δ_F、Δ_G、Δ_H、Δ_Q、分别为A、B、C、D、E、F、G、H、Q的坐标修正值；利用式(17)求得的Δ_Q即为Q点的空间修正值，将该修正值加上CMM提供的测点坐标(x_Q,y_Q,z_Q)，即为最后优化得到的高精度坐标值。