一种热传导线源强度识别反问题的数值通解方法

摘要

本发明公开一种热传导线源强度识别反问题的数值通解方法，包括如下步骤1：描述热传导源项识别反问题，建立费用函数；步骤2：若步骤1所述的热传导源为点源，则直接进入步骤3；若步骤1所述的热传导源为线源，则采用转换算法，将线源反问题转化为点源反问题，然后进入步骤3；步骤3：解齐次解和特解，构造数值通解；步骤4：求解线性方程组，得到热源强度参数。该方法基于有限元数值解、构造出满足热传导微分方程的、以热源参数为变量的数值通解，将热传导源项识别反问题转化为多元函数极值问题，快速反演出热源参数。该方法可以反演源项的强度，且不受求解域形状的限制，因此应用面广、适应性强，具有很好的工程应用前景。

主权项

一种热传导线源强度识别反问题的数值通解方法，其特征在于包括以下步骤：步骤1：描述热传导源项识别反问题，建立费用函数；在热源q_s作用下有温度场θ(x,y,z)，求热源q_s的参数，其中给定补充条件为测量点上给定测量温度θ_d；稳态热传导问题为：式中：θ(x,y,z)为温度；为拉普拉斯微分算子；Ω为问题的定义域；b为第一类边界条件；v为第三类边界条件；h为表面传热系数或对流换热系数；θ_f为换热介质温度；q_s为热源强度；λ为导热系数，n为边界法向；其中，θ(x,y,z)的最小化残差平方费用函数为：式中：m为测量点数；θ_d,j为测量点j的测量温度；步骤2：若步骤1所述的热传导源为点源，则直接进入步骤3；若步骤1所述的热传导源为线源，则采用转换算法，将线源反问题转化为点源反问题，然后进入步骤3；步骤3：解齐次解和特解，构造数值通解；热源表达为：式中：δ(x_i,y_i,z_i)为位置函数；η_i为第i个点源的强度参数，稳态问题，η_i为常数；k为点源的个数；首先令式(1)中q_s＝0，解得齐次解θ＝θ₁；然后在式(1)中分别计算k个不 同位置点源强度为1(W/m³)的数值解，解得特解θ＝θ_s,i，可得到温度场通解θ为热源q_s的函数表达式：式中：η_i为待求未知量；θ_s,i为点源i的特解，是通过有限元数值计算得到的强度为1W/m³的数值解；将式(4)代入式(2)进行计算，得到：式中：θ_s,ij为点源i在测量点j的特解，θ_1,j为测量点j的齐次解；步骤4：求解线性方程组，得到热源强度参数；令α＝1,2,…,k得到计算点源强度参数的线性方程组：A·η＝B  (6)式中：η为由k个点源组成的热源强度参数向量；上述步骤2所述的将线源反问题转化为点源反问题的转换算法，具体包括如下步骤：1)线源以点源为插值节点作插值，得到线源强度的分布函数；2)设线源分成k‑1段，每段用线性插值得其分段表达式为：特别的，分段常数的线源，可表示为：式中：x₁、x₂、…、x_k为线源分成k‑1段后的各小段的端点坐标；η₁为对应x₁端点的强度参数，η_1,2为对应x₁x₂小段的强度参数，余同；3)通过上述公式(8)或(9)，得到点源的位置及个数。