四旋翼无人飞行器的有限时间全阶滑模控制方法

摘要

一种四旋翼无人飞行器的有限时间全阶滑模控制方法，针对系统模型参数耦合非线性的四旋翼无人飞行器系统，利用全阶滑模控制方法，再结合一阶滤波器，设计四旋翼无人飞行器的有限时间全阶滑模控制方法。全阶滑模面的设计是为了保证系统的快速稳定收敛。在实际的控制系统中通过设计位置和姿态角两个全阶滑模面，分为内外控制环实现飞行器快速跟踪，并且增加滤波器来改善抖振问题。本发明提供一种四旋翼无人飞行器的有限时间全阶滑模控制方法，基于系统模型参数耦合非线性的情况，保证系统在有限时间内快速收敛至平衡点，加快系统的响应速度，改善滑模控制输入的抖振，有效地满足系统快速稳定的跟踪性能。

主权项

一种四旋翼无人飞行器的有限时间全阶滑模控制方法，其特征在于：包括以下步骤：步骤1，建立四旋翼无人飞行器的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及控制参数，过程如下：1.1在忽略空气阻力和陀螺效应的基础上，对四旋翼无人飞行器进行以下假设：飞行器是刚性的；飞行器的结构是完全对称的；飞行器的重心与机体坐标系原点重合；并定义机体坐标系到惯性坐标系的转移矩阵为：$R=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta \cos \psi & \sin \phi \sin \theta \cos \psi -\cos \phi \sin \psi & \cos \phi \sin \theta \cos \psi +\sin \phi \sin \psi \\ \cos \theta \sin \psi & \sin \phi \sin \theta \cos \psi +\cos \phi \cos \psi & \cos \phi \sin \theta \cos \psi -\sin \phi \cos \psi \\ -\sin \theta & \sin \phi \cos \theta & \cos \phi \cos \theta \end{array}\right]---\left(1\right)$其中，ψ、θ、φ分别为飞行器的偏航角、俯仰角、翻滚角，表示飞行器的惯性坐标系依次绕坐标轴z_E、y_E、x_E旋转的角度；1.2采用牛顿‑欧拉法，从受力角度分析飞行器，其中牛顿公式为：$F=m\stackrel{··}{\xi }---\left(2\right)$其中，ξ表示飞行器在惯性坐标系下的位置，代表二阶微分，m表示飞行器的质量，F表示作用在飞行器上的合外力，包括飞行器所受重力mg和四个旋翼产生的合力U_F；式(2)展开为：$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -mg\end{array}\right]+R\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ U_F\end{array}\right]=m\left[\begin{array}{c}\stackrel{··}{x}\\ \stackrel{··}{y}\\ \stackrel{··}{z}\end{array}\right]---\left(3\right)$其中，x、y、z分别表示飞行器在惯性坐标系下x_E、y_E、z_E轴的位置；将式(1)代入式(3)中得到如下等式：$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{··}{x}=\frac{U_F}{m}(\cos \phi \sin \theta \cos \psi +\sin \phi \sin \psi )\\ \stackrel{··}{y}=\frac{U_F}{m}(\cos \phi \sin \theta \sin \psi -\sin \phi \cos \psi )\\ \stackrel{··}{z}=-g+\frac{U_F}{m}\cos \phi \sin \theta \end{array}\right.---\left(4\right)$1.3机体坐标系下欧拉公式为：$\tau =I\stackrel{·}{\omega }+\omega \times I\omega ---\left(5\right)$其中，τ表示作用在飞行器上的力矩，I表示飞行器在机体坐标系下的转动惯量，ω表示飞行器姿态角速度，表示飞行器姿态角加速度，×表示叉乘；式(5)展开为：$\left[\begin{array}{c}{\tau }_x\\ {\tau }_y\\ {\tau }_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& 0& 0\\ 0& I_{yy}& 0\\ 0& 0& I_{zz}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{·}{p}\\ \stackrel{·}{q}\\ \stackrel{·}{r}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& 0& 0\\ 0& I_{yy}& 0\\ 0& 0& I_{zz}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]---\left(6\right)$其中，τ_x、τ_y、τ_z分别代表机体坐标轴上的各轴力矩分量，I_xx、I_yy、I_zz分别代表机体坐标轴上的各轴转动惯量分量，p、q、r分别代表机体坐标轴上的各轴姿态角速度分量，分别代表机体坐标轴上的各轴姿态角加速度分量；式(6)表示为：$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{·}{p}=\frac{I_{yy}-I_{zz}}{I_{xx}}qr+\frac{1}{I_{xx}}{\tau }_x\\ \stackrel{·}{q}=\frac{I_{zz}-I_{xx}}{I_{yy}}pr+\frac{1}{I_{yy}}{\tau }_y\\ \stackrel{·}{r}=\frac{I_{xx}-I_{yy}}{I_{zz}}pq+\frac{1}{I_{zz}}{\tau }_z\end{array}\right.---\left(7\right)$考虑到飞行器一般处于低速飞行或者悬停状态下，姿态角变化较小，此时认为将式(7)改写为：$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{··}{\phi }=\frac{I_{yy}-I_{zz}}{I_{xx}}\stackrel{·}{\theta }\stackrel{·}{\psi }+\frac{1}{I_{xx}}{\tau }_x\\ \stackrel{··}{\theta }=\frac{I_{zz}-I_{xx}}{I_{yy}}\stackrel{·}{\phi }\stackrel{·}{\psi }+\frac{1}{I_{yy}}{\tau }_y\\ \stackrel{··}{\psi }=\frac{I_{xx}-I_{yy}}{I_{zz}}\stackrel{·}{\phi }\stackrel{·}{\theta }+\frac{1}{I_{zz}}{\tau }_z\end{array}\right.---\left(8\right)$1.4由于存在测量噪声，电源变化以及外界干扰的影响，式(4)和式(8)中的系统参数并不能准确的获得，因此系统的动态模型改写为：$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{··}{x}=U_x+d_x\\ \stackrel{··}{y}=U_y+d_y\\ \stackrel{··}{z}=U_z+d_z\\ \stackrel{··}{\phi }=a_1\stackrel{·}{\theta }\stackrel{·}{\psi }+b_1{\tau }_x+d_{\phi }\\ \stackrel{··}{\theta }=a_2\stackrel{·}{\phi }\stackrel{·}{\psi }+b_2{\tau }_y+d_{\theta }\\ \stackrel{·}{\psi }=a_3\stackrel{·}{\phi }\stackrel{·}{\theta }+b_3{\tau }_z+d_{\psi }\end{array}\right.---\left(9\right)$其中$U_x=\frac{U_F}{m}(cos\phi \sin \theta cos\psi +\sin \phi \sin \psi ),U_y=\frac{U_F}{m}(\cos \phi \sin \theta \sin \psi -\sin \phi cos\psi ),$$U_z=-g+\frac{U_F}{m}cos\phi cos\theta ,a_1=\frac{I_{yy}-I_{zz}}{I_{xx}},a_2=\frac{I_{zz}-I_{xx}}{I_{yy}},a_3=\frac{I_{xx}-I_{yy}}{I_{zz}},$d_x、d_y、d_z、d_φ、d_θ、d_ψ分别代表模型不确定和外界干扰项；步骤2，计算系统位置跟踪误差，设计位置全阶滑模面，过程如下：2.1定义系统位置跟踪误差为e_q＝q_d‑q      (10)其中，q＝[x；y；z]，q_d＝[x_d；y_d；z_d]表示为三阶可导期望轨迹；那么式(10)的一阶微分和二阶微分被表示为：${\stackrel{·}{e}}_q={\stackrel{·}{q}}_d-\stackrel{·}{q}---\left(11\right)$${\stackrel{··}{e}}_q={\stackrel{··}{q}}_d-\stackrel{··}{q}---\left(12\right)$2.2因此，为了避免奇异问题，位置全阶滑模面将定义为：$s_q={\stackrel{··}{e}}_q+c_{q2}\mathrm{sgn}\left({\stackrel{·}{e}}_q\right)|{\stackrel{·}{e}}_q{|}^{{\alpha }_{q2}}+c_{q1}\mathrm{sgn}\left(e_q\right)|e_q{|}^{{\alpha }_{q1}}---\left(13\right)$其中，sgn(·)表示符号函数；c_q1和c_q2是一个正的常数，它的选择是保证多项式p²+c_q2p+c_q1的全部特征根在复平面的左半部分以保证系统的稳定性；α_q1和α_q2的选取则是通过以下多项式：$\left\{\begin{array}{c}{\alpha }_1=\alpha ,n=1\\ {\alpha }_{i-1}=\frac{{\alpha }_i{\alpha }_{i+1}}{2{\alpha }_{i+1}-{\alpha }_i},i=2,...,n,\forall n\ge 2\end{array}\right.---\left(14\right)$其中，α_n+1＝1，α_n＝α，α∈(1‑ε,1)以及ε∈(0,1)；步骤3，基于四旋翼无人飞行器动态模型，根据位置全阶滑模面以及一阶滤波器，设计位置全阶滑模控制器，过程如下：3.1考虑式(9)，位置全阶滑模控制器被设计为：u＝(u_eq+u_n)        (15)$u_{eq}=-c_{q2}\mathrm{sgn}\left({\stackrel{·}{e}}_q\right)|{\stackrel{·}{e}}_q{|}^{{\alpha }_{q2}}-c_{q1}\mathrm{sgn}\left(e_q\right)|e_q{|}^{{\alpha }_{q1}}---\left(16\right)$${\stackrel{·}{u}}_n+T_q{u}_n=v_q---\left(17\right)$v_q＝‑(k_qd+k_qT+η_q)sgn(s_q)         (18)其中，c_i和α_i是常数，i＝q1,q2，已在式(13)中被定义；T_q是正的常数；k_qd，k_qT和η_q都是常数；3.2将式(9)带入式(13)中得到如下等式：$s_q=u+d_q+c_{q2}\mathrm{sgn}\left({\stackrel{·}{e}}_q\right)|{\stackrel{·}{e}}_q{|}^{{\alpha }_{q2}}+c_{q1}\mathrm{sgn}\left(e_q\right)|e_q{|}^{{\alpha }_{q1}}---\left(19\right)$其中，d_q＝[d_x；d_y；d_z]代表系统位置扰动项，并且各元素是有界的，则假定d_q≤l_qd并且其中l_qd是一个有界的常数；k_qT的选取是要求在T_q＞0时满足k_qT≥T_ql_qd；将式(15)‑式(16)代入式(19)，全阶滑模面被表示成如下等式：s_q＝d_q+u_n                       (20)将式(18)带入式(17)中得到：$\begin{array}{c}{u}_n\left(t\right)=\left(u_n\right(t_0)+(1/T_q)(k_{qd}+k_{qT}+{\eta }_q)\mathrm{sgn}\left(s_q\right))e^{t-t_0}\\ -(1/T_q)(k_{qd}+k_{qT}+{\eta }_q)\mathrm{sgn}\left(s_q\right)\end{array}---\left(21\right)$在u_n(0)＝0的情况下，得到如下等式：k_qT≥T_ql_qd≥T_q|u_n(t)|_max≥T_q|u_n(t)|             (22)3.3设计李亚普诺夫函数：$V_q=\frac{1}{2}{s_q}^T{s}_q---\left(23\right)$对式(20)进行求导得：${\stackrel{·}{s}}_q={\stackrel{·}{d}}_q+{\stackrel{·}{u}}_n={\stackrel{·}{d}}_q+{\stackrel{·}{u}}_n+T_q{u}_n-T_q{u}_n={\stackrel{·}{d}}_q+v_q-T_q{u}_n---\left(24\right)$将式(18)带入式(24)中得到：${\stackrel{·}{s}}_q={\stackrel{·}{d}}_q-(k_{qd}+k_{qT}+{\eta }_q)sgn\left(s_q\right)-T_q{u}_n---\left(25\right)$因此，$\begin{array}{c}{s}_q{\stackrel{·}{s}}_q={\stackrel{·}{d}}_q{s}_q-(k_{qd}+k_{qT}+{\eta }_q)s_{q}sgn\left(s_q\right)-T_q{u}_n{s}_q\\ =({\stackrel{·}{d}}_q{s}_q-k_{qd}{s}_q)+(-k_{qT}-T_q{u}_n)\left|s_q\right|-{\eta }_q\left|s_q\right|\end{array}---\left(26\right)$对式(23)进行微分，并代入式(22)得到：${\stackrel{·}{V}}_q=s_q{\stackrel{·}{s}}_q\le -{\eta }_q\left|s_q\right|\le 0---\left(27\right)$因此系统位置跟踪误差能在有限时间内收敛至零，表明系统是稳定的；步骤4，给定偏航角，计算总升力，俯仰角和翻滚角期待值，过程如下：4.1由式(9)得到：$\left\{\begin{array}{c}{U}_F=m\sqrt{{U_x}^2+{U_y}^2+{(U_z+g)}^2}\\ {\phi }_d=\arcsin \left[\frac{m}{U_F}(U_x{\mathrm{sin\psi }}_d-U_y{\mathrm{cos\psi }}_d)\right]\\ {\theta }_d=\arctan \left[\frac{1}{U_z+g}(U_x{\mathrm{cos\psi }}_d+U_y{\mathrm{sin\psi }}_d)\right]\end{array}\right.---\left(28\right)$步骤5，计算系统姿态角跟踪误差，设计姿态全阶滑模面，过程如下：5.1定义系统姿态角跟踪误差为e_Ω＝Ω_d‑Ω                       (29)其中，Ω＝[φ；θ；ψ]，Ω_d＝[φ_d；θ_d；ψ_d]表示为三阶可导期望姿态角；那么式(29)的一阶微分和二阶微分被表示为：${\stackrel{·}{e}}_{\Omega }={\stackrel{·}{\Omega }}_d-\stackrel{·}{\Omega }---\left(30\right)$$e_{\Omega }={\stackrel{··}{\Omega }}_d-\stackrel{··}{\Omega }---\left(31\right)$5.2因此，为了避免奇异问题，姿态全阶滑模面将定义为：$s_{\Omega }={\stackrel{··}{e}}_{\Omega }+c_{\Omega 2}\mathrm{sgn}\left({\stackrel{·}{e}}_{\Omega }\right)|{\stackrel{·}{e}}_{\Omega }{|}^{{\alpha }_{\Omega 2}}+c_{\Omega 1}\mathrm{sgn}\left(e_{\Omega }\right)|e_{\Omega }{|}^{{\alpha }_{\Omega 1}}---\left(32\right)$其中，c_Ω1和c_Ω2是一个正的常数，它的选择是保证多项式p²+c_Ω2p+c_Ω1的全部特征根在复平面的左半部分以保证系统的稳定性；α_Ω1和α_Ω2的选取则是通过以下多项式：$\left\{\begin{array}{c}{\alpha }_1=\alpha ,n=1\\ {\alpha }_{i-1}=\frac{{\alpha }_i{\alpha }_{i+1}}{2{\alpha }_{i+1}-{\alpha }_i},i=2,...,n,\forall n\ge 2\end{array}\right.---\left(33\right)$其中，α_n+1＝1，α_n＝α，α∈(1‑ε,1)以及ε∈(0,1)；步骤6，基于四旋翼无人飞行器动态模型，根据姿态全阶滑模面以及一阶滤波器，设计姿态全阶滑模控制器，过程如下：6.1考虑式(9)，姿态全阶滑模控制器被设计为：τ＝b^‑1(τ_eq+τ_n)                          (34)${\tau }_{eq}=-af-c_{\Omega 2}\mathrm{sgn}\left({\stackrel{·}{e}}_{\Omega }\right)|{\stackrel{·}{e}}_{\Omega }{|}^{{\alpha }_{\Omega 2}}-c_{\Omega 1}\mathrm{sgn}\left(e_{\Omega }\right)|e_{\Omega }{|}^{{\alpha }_{\Omega 1}}---\left(35\right)$${\stackrel{·}{\tau }}_n+T_{\Omega }{\tau }_n=v_{\Omega }---\left(36\right)$v_Ω＝‑(k_Ωd+k_ΩT+η_Ω)sgn(s_Ω)                     (37)其中，a＝[a₁；a₂；a₃]，b＝[b₁；b₂；b₃]，c_i和α_i是常数，i＝Ω1,Ω2，已在式(32)中被定义；T_Ω是正的常数；k_Ωd，k_ΩT和η_Ω都是常数；6.2将式(9)带入式(32)中得到如下等式：$s_{\Omega }=b\tau +af+d_{\Omega }+c_{\Omega 2}\mathrm{sgn}\left({\stackrel{·}{e}}_{\Omega }\right)|{\stackrel{·}{e}}_{\Omega }{|}^{{\alpha }_{\Omega 2}}+c_{\Omega 1}\mathrm{sgn}\left(e_{\Omega }\right)|e_{\Omega }{|}^{{\alpha }_{\Omega 1}}---\left(38\right)$其中，d_Ω＝[d_φ；d_θ；d_ψ]代表系统位置扰动项，并且各元素是有界的，则假定d_Ω≤l_Ωd并且其中l_Ωd是一个有界的常数；k_ΩT的选取是要求在T_Ω＞0时满足k_ΩT≥T_Ωl_Ωd；将式(34)‑式(35)代入式(38)，全阶滑模面被表示成如下等式：s_Ω＝d_Ω+τ_n                         (39)将式(37)带入式(36)中得到：$\begin{array}{c}{\tau }_n\left(t\right)=\left({\tau }_n\right(t_0)+(1/T_{\Omega })(k_{\Omega d}+k_{\Omega T}+{\eta }_{\Omega })\mathrm{sgn}\left(s_{\Omega }\right))e^{t-t_0}\\ -(1/T_{\Omega })(k_{\Omega d}+k_{\Omega T}+{\eta }_{\Omega })\mathrm{sgn}\left(s_{\Omega }\right)\end{array}---\left(40\right)$在τ_n(0)＝0的情况下，得到如下等式：k_ΩT≥T_Ωl_Ωd≥T_Ω|τ_n(t)|_max≥T_Ω|τ_n(t)|                 (41)6.3设计李亚普诺夫函数：$V_{\Omega }=\frac{1}{2}{s_{\Omega }}^T{s}_{\Omega }---\left(42\right)$对式(39)进行求导得：${\stackrel{·}{s}}_{\Omega }={\stackrel{·}{d}}_{\Omega }+{\stackrel{·}{\tau }}_n={\stackrel{·}{d}}_{\Omega }+{\stackrel{·}{\tau }}_n+T_{\Omega }{\tau }_n-T_{\Omega }{\tau }_n={\stackrel{·}{d}}_{\Omega }+v_{\Omega }-T_{\Omega }{\tau }_n---\left(43\right)$将式(37)带入式(43)中得到：${\stackrel{·}{s}}_{\Omega }={\stackrel{·}{d}}_{\Omega }-(k_{\Omega d}+k_{\Omega T}+{\eta }_{\Omega })\mathrm{sgn}\left(s_{\Omega }\right)-T_{\Omega }{\tau }_n---\left(44\right)$因此，$\begin{array}{c}{s}_{\Omega }{\stackrel{·}{s}}_{\Omega }={\stackrel{·}{d}}_{\Omega }{s}_{\Omega }-(k_{\Omega d}+k_{\Omega T}+{\eta }_{\Omega })s_{\Omega }\mathrm{sgn}\left(s_{\Omega }\right)-T_{\Omega }{\tau }_n{s}_{\Omega }\\ =({\stackrel{·}{d}}_{\Omega }{s}_{\Omega }-k_{\Omega d}{s}_{\Omega })+(-k_{\Omega T}-T_{\Omega }{\tau }_n)\left|s_{\Omega }\right|-{\eta }_{\Omega }\left|s_{\Omega }\right|\end{array}---\left(45\right)$对式(42)进行微分，并代入式(41)得到：${\stackrel{·}{V}}_{\Omega }=s_{\Omega }{\stackrel{·}{s}}_{\Omega }\le -{\eta }_{\Omega }\left|s_{\Omega }\right|\le 0---\left(46\right)$因此系统姿态角跟踪误差能在有限时间内收敛至零，表明系统是稳定的。