考虑死区特性的伺服系统有限时间控制方法

摘要

一种考虑死区特性的伺服系统有限时间控制方法，包括：建立伺服系统模型，初始化系统状态以及控制器参数；对死区环节进行近似补偿；设计非线性扩张状态观测器；运用极点配置法确定观测器参数；设计全阶滑模控制器。设计扩张状态观测器，用于估计系统状态以及包括系统摩擦和外部扰动的不确定项，采用极点配置法确定观测器增益参数；设计全阶滑模控制器，保证系统跟踪误差快速稳定并收敛至零点，并减弱抖振问题，实现伺服系统的快速稳定控制。本发明解决系统摩擦等外部扰动状态不可测的问题，补偿了系统存在的非线性死区环节的影响，改善了普通滑模方法存在的抖振问题和收敛时间长的问题，增强了系统的抗干扰性，实现了系统快速稳定地跟踪期望信号。

主权项

一种考虑死区特性的伺服系统有限时间控制方法，其特征在于：所述控制方法包括以下步骤：步骤1，建立如式(1)所示的伺服系统模型，初始化系统状态以及控制参数；其中，θ_m，为状态变量，分别表示电机输出轴位置和转速；J和D是折算到电机轴上的等效转动惯量和等效阻尼系数；K_t是电机扭矩常数；v(u)是具有死区特性的控制量，b_ir,b_il分别为死区特性的上下边界，u为控制器的输出量；T是折算到电机轴上的负载摩擦扭矩以及摩擦的扰动部分；步骤2，对死区特性进行近似处理；现扩展对g_ir(u),g_il(u)的定义如下：$\left\{\begin{array}{cc}{g}_{ir}\left(u\right)=g_{ir}^{\prime }\left(b_{ir}\right)\left(u-b_{ir}\right)& u\in (b_{il},b_{ir}]\\ g_{il}\left(u\right)=g_{il}^{\prime }\left(b_{il}\right)\left(u-b_{il}\right)& u\in [b_{il},b_{ir})\end{array}\right.---\left(2\right)$根据微分中值定理，存在ξ_il∈(‑∞,b_il),ξ_ir∈(b_ir,+∞)使下式成立：$\left\{\begin{array}{cc}{g}_{ir}\left(u\right)=g_{ir}^{\prime }\left({\xi }_{ir}\right)\left(u-b_{ir}\right)& u\in [b_{ir},+\infty )\\ g_{il}\left(u\right)=g_{il}^{\prime }\left({\xi }_{il}\right)\left(u-b_{il}\right)& u\in (-\infty ,b_{il}]\end{array}\right.---\left(3\right)$其中，ξ_il＝ξ_lu+(1‑ξ_l)b_il,0＜ξ_l＜1，ξ_ir＝ξ_ru+(1‑ξ_r)b_ir,0＜ξ_r＜1，那么，死区特性v(u)改写为其中的表达式如下d(u)的表达式为：$d\left(u\right)=\left\{\begin{array}{cc}-g_{ir}^{\prime }\left({\xi }_{ir}\right)b_{ir},& u\ge b_{ir}\\ -\left[g_{il}^{\prime }\left(b_{il}\right)+g_{ir}^{\prime }\left(b_{ir}\right)\right]u& b_{il}<u<b_{ir}\\ -g_{il}^{\prime }\left({\xi }_{il}\right)b_{il},& u\le b_{il}\end{array}\right.---\left(6\right)$则式(1)改写为步骤3，设计非线性扩张状态观测器，过程如下：3.1，令x₁＝θ_m，则式(7)改写为其中，x₁，x₂为系统状态，u为控制器的输出量，则式(8)改写为$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2=a\left(x\right)+bu\end{array}\right.---\left(9\right)$其中，3.2，令a(x)＝a₀+Δa，b＝b₀+Δb，d＝Δa+Δbu，其中b₀和a₀分别为b和a(x)的最优估计值，根据系统结构给定；基于扩张观测器的设计思想，定义扩张状态x₃＝d，且d≤l_d，其中l_d＞0，则式(9)改写为以下等效形式：$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2=x_3+a_0+b_{0}u\\ {\stackrel{·}{x}}_3=h\end{array}\right.---\left(10\right)$其中，且|h|≤k_d，k_d为一个常数；3.3，令z_i，i＝1,2,3，分别为式(10)中状态变量x_i的观测值，定义跟踪误差e_ci＝z_i^*‑x_i，其中z_i^*为期望信号，观测误差为e_oi＝z_i‑x_i，则设计非线性扩张状态观测器表达式为：$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{z}}_1=z_2-{\beta }_{1}g\left(e_{o1}\right)\\ {\stackrel{·}{z}}_2=z_3-{\beta }_{2}g\left(e_{o1}\right)+a_0+b_{0}u\\ {\stackrel{·}{z}}_3=-{\beta }_{3}g\left(e_{o1}\right)\end{array}\right.---\left(11\right)$其中，β₁,β₂,β₃为观测器增益参数，需用极点配置法确定，g(e_o1)为其中，α_j＝[1,0.5,0.25]，δ＝1°；步骤4，运用极点配置法确定观测器增益参数β₁，β₂，β₃的取值；令δx₁＝e_o1＝z₁‑x₁，δx₂＝z₂‑x₂，δx₃＝z₃‑d，则式(11)减去式(9)得$\left\{\begin{array}{c}\delta {\stackrel{·}{x}}_1={\mathrm{\delta x}}_2-{\beta }_{1}g\left({\mathrm{\delta x}}_1\right)\\ \delta {\stackrel{·}{x}}_2={\mathrm{\delta x}}_3-{\beta }_{2}g\left({\mathrm{\delta x}}_1\right)\\ \delta {\stackrel{·}{x}}_3=-{\beta }_{3}g\left({\mathrm{\delta x}}_1\right)-h\end{array}\right.---\left(12\right)$设h有界，且g(e_o1)是光滑的，g(0)＝0，g′(e_o1)≠0，根据泰勒公式，式(12)写为$\left\{\begin{array}{c}\delta {\stackrel{·}{x}}_1={\mathrm{\delta x}}_2-{\beta }_1{g}^{\prime }\left({\mathrm{\delta x}}_1\right){\mathrm{\delta x}}_1\\ \delta {\stackrel{·}{x}}_2={\mathrm{\delta x}}_3-{\beta }_2{g}^{\prime }\left({\mathrm{\delta x}}_1\right){\mathrm{\delta x}}_1\\ \delta {\stackrel{·}{x}}_3=-{\beta }_3{g}^{\prime }\left({\mathrm{\delta x}}_1\right){\mathrm{\delta x}}_1-h\end{array}\right.---\left(13\right)$令则式(13)写为以下状态空间方程形式$\left[\begin{array}{c}\delta {\stackrel{·}{x}}_1\\ \delta {\stackrel{·}{x}}_2\\ \delta {\stackrel{·}{x}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-l_1& 1& 0\\ -l_2& 0& 1\\ -l_3& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\delta x}}_1\\ {\mathrm{\delta x}}_2\\ {\mathrm{\delta x}}_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right]h---\left(14\right)$设计补偿矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}-l_1& 1& 0\\ -l_2& 0& 1\\ -l_3& 0& 0\end{array}\right],E=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right],\delta X=\left[\begin{array}{c}\delta x_1\\ {\mathrm{\delta x}}_2\\ {\mathrm{\delta x}}_3\end{array}\right],$则式(14)写为$\delta \stackrel{·}{X}=A\delta X+Eh---\left(15\right)$至此，参数β_i的确定转化为l_i的确定，使式(8)在扰动h的作用下渐近稳定的必要条件是补偿矩阵A的特征值全部落在复平面的左半平面上，即式(8)的极点充分的负，由此，根据极点配置法，选定期望的极点p_i(i＝1,2,3)，使参数l_i满足$|sI-A|=\underset{i=1}{\overset{3}{\Pi }}(s-p_i)---\left(16\right)$I为单位矩阵，令左右两边关于s的多项式的各项系数相等，则分别求出参数l₁，l₂，l₃的值，从而得到扩张状态观测器的表达式为$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{z}}_1=z_2-\frac{l_1}{g^{\prime }\left(e_{o1}\right)}g\left(e_{o1}\right)\\ {\stackrel{·}{z}}_2=z_3-\frac{l_2}{g^{\prime }\left(e_{o1}\right)}g\left(e_{o1}\right)+a_0\left(x\right)+b_{0}u\\ {\stackrel{·}{z}}_3=-\frac{l_3}{g^{\prime }\left(e_{o1}\right)}g\left(e_{o1}\right)\end{array}\right.---\left(17\right)$步骤5，基于全阶终端滑模的方法设计终端滑模控制器u，过程如下：5.1，设计滑模面如下：$s={\stackrel{·}{e}}_{c2}+{\lambda }_{2}sign\left(e_{c2}\right)|e_{c2}{|}^{c_2}+{\lambda }_{1}sign\left(e_{c1}\right)|e_{c1}{|}^{c_1}---\left(18\right)$其中，c₁,c₂和λ₁,λ₂为常数，λ₁,λ₂满足多项式p²+λ₂p+λ₁，使多项式的极点都在复平面的左半边，5.2，终端滑模控制器设计如下：$\left\{\begin{array}{c}u=b^{-1}(u_{eq}+u_n)\\ u_{eq}=-a_0-{\lambda }_{2}sign\left(e_{c2}\right)|e_{c2}{|}^{c_2}-{\lambda }_{1}sign\left(e_{c1}\right)|e_{c1}{|}^{c_1}\\ {\stackrel{·}{u}}_n+{\mathrm{Tu}}_n=V\\ V=-(k_d+k_T+\eta )sign\left(s\right)\end{array}\right.---\left(19\right)$其中，T≥0，k_T≥Tl_d，η＞0。