一种基于DFP算法和差分进化的分层全局优化方法

摘要

一种基于DFP算法和差分进化的分层全局优化方法，DE算法的全局探测能力强，但后期收敛速度很慢，而DFP算法具有较高的局部搜索效率，鉴于此，将DFP算法与DE算法相结合，当种群适应度不再下降时，利用当前种群的梯度信息，可加速种群向全局最优点的收敛，从而解决算法在全局探测能力与快速收敛能力之间的平衡问题。本发明的方法前期采用DE算法用以全局探测；算法进行到后期，对当前种群所有个体进行一次上层为DE算法而下层为DFP算法的两层优化，加快算法局部收敛速度，达到提高算法搜索效率这一目的。

主权项

一种基于DFP算法和差分进化的分层全局优化方法，所述优化方法包括以下步骤：1)初始化：设置种群规模N_P，交叉概率C_R，缩放因子F；2)随机生成初始种群P＝{x^1,g,x^2,g,...,x^Np,g}，并计算出各个体的目标函数值，其中，g为进化代数，x^i,g,i＝1,2,…,N_p表示第g代种群中的第i个个体，若g＝0，则表示初始种群；3)算法初期，采用经典DE算法进行迭代，对种群中的每一个个体进行变异、交叉、选择这三个操作，过程如下：3.1)变异操作：DE通过差分运算完成个体变异，随机选定种群内的个体作为基向量，与经缩放的其他互异个体差分向量进行向量合成，采用Storn和Price提出的经典DE算法，即变异策略采用DE/rand/1策略：$v_j^{i,g}=v_j^{r_1,g}+F·(v_j^{r_2,g}-v_j^{r_3,g})---\left(1\right)$其中j＝1,2,…,N，N为问题维数，g为进化代数，r₁,r₂,r₃∈{1,2,...,N_p}，r₁≠r₂≠r₃≠i，i为当前目标个体的索引，为第g代种群中第i个目标个体的变异个体的第j维元素，分别为第g代种群中第r₁、r₂、r₃个个体的第j维元素，F是缩放因子；3.2)交叉操作：采用二项式交叉以实现交叉组合，生成试验个体，操作如下：${\mathrm{trial}}_j^{i,g}=\left\{\begin{array}{cc}{v}_j^{i,g}& if\left(randb\right(0,1)\le C_{R}orj=rnbr\left(j\right)\\ x_j^{i,g}& otherwise\end{array}\right.---\left(2\right)$其中，j＝1,2,…,N，表示第g代种群中第i个目标个体对应的试验个体的第j维元素，randb(0,1)表示随机产生0到1之间的小数，rnbr(j)表示随机产生1到N之间的整数，C_R表示交叉概率；3.3)选择操作：采用贪婪法则完成选择操作，使下一代种群中的所有个体至少不会更差于当前种群的对应个体，根据公式(3)完成种群更新：$x^{i,g+1}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{trial}}^{i,g},& iff\left({\mathrm{trial}}^{i,g}\right)\le f\left(x^{i,g}\right)\\ x^{i,g},& otherwise\end{array}\right.---\left(3\right)$其中，${\mathrm{trial}}^{i,g}=({\mathrm{trial}}_1^{i,g},{\mathrm{trial}}_2^{i,g},...,{\mathrm{trial}}_N^{i,g}),x^{i,g+1}=(x_1^{i,g+1},x_2^{i,g+1},...,x_N^{i,g+1}),$公式(3)表明，如果试验个体优于目标个体，则试验个体替换目标个体，否则保持目标个体不变；4)算法迭代m代后，基于DFP算法，采用分层优化，即上层为DE算法，而下层为DFP算法的两层优化，过程如下：4.1)首先进入上层算法：按照步骤3)，执行DE算法；4.2)然后进入下层算法，过程如下：a)经上层DE算法优化过的种群为现给定初始点x⁽¹⁾，置x⁽¹⁾＝x^i,m+1,i＝1,…,N_P，计算此点的梯度置H₁＝I_n，其中H₁是满足拟牛顿条件的矩阵，I_n是单位矩阵，则x⁽¹⁾处的搜索方向为d⁽¹⁾＝‑H₁g₁；b)在点x⁽¹⁾处，沿着方向d⁽¹⁾作一维搜索，其步长λ₁满足公式(4)$f(x^{\left(1\right)}+{\lambda }_1{d}^{\left(1\right)})=\underset{\lambda \ge 0}{min}f(x^{\left(1\right)}+{\mathrm{\lambda d}}^{\left(1\right)})---\left(4\right)$则x⁽²⁾＝x⁽¹⁾+λ₁d⁽¹⁾c)在点x⁽²⁾处，计算梯度$g_2=▿f\left(x^{\left(2\right)}\right),$置p＝x⁽²⁾‑x⁽¹⁾，$q=▿f\left(x^{\left(2\right)}\right)-▿f\left(x^{\left(1\right)}\right),$其中分别是点x⁽²⁾、x⁽¹⁾处的梯度，通过公式(5)修正H₁求出x⁽²⁾点处满足拟牛顿条件的矩阵H₂：$H_2=H_1+\frac{{\mathrm{pp}}^T}{p^{T}q}-\frac{H_1{\mathrm{qq}}^T{H}_1}{q^T{H}_{1}q}---\left(5\right)$则点x⁽²⁾处的搜索方向为d⁽²⁾＝‑H₂g₂；d)在点x⁽²⁾处，沿着方向d⁽²⁾作一维搜索，其步长λ₂满足公式(6)$f(x^{\left(2\right)}+{\lambda }_2{d}^{\left(2\right)})=\underset{\lambda \ge 0}{min}f(x^{\left(2\right)}+{\mathrm{\lambda d}}^{\left(2\right)})---\left(6\right)$则x⁽³⁾＝x⁽²⁾+λ₂d⁽²⁾，此时已对种群完成了上层为DE算法而下层为DFP算法的两层优化；5)判断是否满足终止条件，如果满足则终止，并输出全局最优解。