基于定时截尾寿命试验数据的产品可靠度估计方法

摘要

本发明属于可靠性评估领域，具体涉及基于定时截尾寿命试验数据的产品可靠度估计方法，包括以下步骤：(S1)获取产品试验数据，并根据试验数据求解产品可靠度的点估计；(S2)在产品可靠度的点估计的基础上，结合极大似然估计的性质和增量方法，求解产品的可靠度的置信区间估计；本发明提出的方法无需生成大量的自助样本，因此比现有的bootstrap方法时间消耗要少。另外，经过大量的实验验证，采用本发明提出的方法计算得到的结果比bootstrap方法更加准确。

主权项

基于定时截尾寿命试验数据的产品可靠度估计方法，其特征在于,包括以下步骤：(S1)获取产品试验数据，并根据试验数据求解产品可靠度的点估计；(S11)获取产品试验数据，并计算该试验数据构成的截尾样本的似然函数；假定针对n个产品进行可靠性寿命试验，并在T时刻终止，收集到的截尾样本中有r个故障数据，记为t₁,t₂,…,t_r，r、n为整数且r≥1，n大于r，则截尾样本中剩余的(n‑r)个样本值都为T；t₁,t₂,…,t_r与(n‑r)个T混合起来构成截尾样本，得到该样本的似然函数为：$L(t_1,t_2,...,t_r,T|m,\eta )=\underset{i=1}{\overset{r}{\Pi }}f(t_i;m,\eta )·{\left[R(T;m,\eta )\right]}^{n-r}---\left(1\right)$其中f(t_i；m,η)和R(T；m,η)分别为t_i≥0,m＞0,η＞0,i＝1,2,…,r；m、η为威布尔分布参数，具体为m为威布尔分布的形状参数，η为威布尔分布的尺度参数；(S12)根据极大似然估计方法，求解分布参数的极大似然估计值；当分布参数(m,η)的取值令式(1)的自然对数值最大时，对应的取值即为(m,η)的极大似然估计值，按下式求解(m,η)的极大似然估计值：$\left\{\begin{array}{c}\frac{\partial \ln L}{\partial m}=0\\ \frac{\partial \ln L}{\partial \eta }=0\end{array}\right.---\left(2\right)$其中分别为式(1)的自然对数关于m和η的一阶偏导数；化简式(2)，得形状参数m的极大似然估计值是下式的根：$\frac{1}{m}-\frac{\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}{t}_i^m{\mathrm{lnt}}_i+(n-r)T^m\ln T}{\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}{t}_i^m+(n-r)T^m}+\frac{\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}{\mathrm{lnt}}_i}{r}=0---\left(3\right)$其中r是样本中的故障数据个数；针对式(3)，借助于牛顿迭代公式求解得到对于尺度参数η的极大似然估计值为$\hat{\eta }={\left(\frac{\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}{t}_i^{\hat{m}}+(n-r)T^{\hat{m}}}{r}\right)}^{1/\hat{m}}---\left(4\right)$(S13)求解产品在时刻τ处的可靠度R(τ)的点估计为：$\hat{R}\left(\tau \right)=\exp [-{\left(\frac{\tau }{\hat{\eta }}\right)}^{\hat{m}}]---\left(5\right)$(S2)求解产品的可靠度的置信区间估计；(S21)用分布参数的极大似然估计值近似信息矩阵中的元素，将信息矩阵表示为：${\mathrm{FI}}_{2\times 2}=\left[\begin{array}{cc}\frac{r}{{\hat{m}}^2}+\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}{\left(\frac{t_i}{\hat{\eta }}\right)}^{\hat{m}}{\left(\ln \frac{t_i}{\hat{\eta }}\right)}^2+(n-r){\left(\frac{T}{\hat{\eta }}\right)}^{\hat{m}}{\left(\ln \frac{T}{\hat{\eta }}\right)}^2& I_{12}\\ I_{21}& \frac{\hat{m}(\hat{m}+1)}{{\hat{\eta }}^2}[\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}{\left(\frac{t_i}{\hat{\eta }}\right)}^{\hat{m}}+(n-r){\left(\frac{T}{\hat{\eta }}\right)}^{\hat{m}}]-\frac{\hat{m}r}{{\hat{\eta }}^2}\end{array}\right]---\left(6\right)$其中，$I_{12}=I_{21}=\frac{r}{\hat{\eta }}-\frac{1}{\hat{\eta }}[\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}{\left(\frac{t_i}{\hat{\eta }}\right)}^{\hat{m}}+(n-r){\left(\frac{T}{\hat{\eta }}\right)}^{\hat{m}}]-\frac{\hat{m}}{\hat{\eta }}[\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}{\left(\frac{t_i}{\hat{\eta }}\right)}^{\hat{m}}\left(\ln \frac{t_i}{\hat{\eta }}\right)+(n-r){\left(\frac{T}{\hat{\eta }}\right)}^{\hat{m}}(\ln \frac{T}{\hat{\eta }}\left)\right]$(S22)求解和的协方差矩阵C_2×2，即信息矩阵FI_2×2的逆$C_{2\times 2}={\mathrm{FI}}_{2\times 2}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{var}\left(\hat{m}\right)& \mathrm{cov}(\hat{m},\hat{\eta })\\ \mathrm{cov}(\hat{m},\hat{\eta })& \mathrm{var}\left(\hat{\eta }\right)\end{array}\right]---\left(7\right)$其中表示的方差，表示的方差；表示和的协方差；(S23)运用增量方法求解得到的方差$\mathrm{var}\left(\hat{R}\right(\tau \left)\right)=\mathrm{var}\left(\hat{m}\right){\left(\frac{\partial R}{\partial m}{|}_{\hat{m},\hat{\eta }}\right)}^2+2\mathrm{cov}(\hat{m},\hat{\eta })\left(\frac{\partial R}{\partial m}{|}_{\hat{m},\hat{\eta }}\right)\left(\frac{\partial R}{\partial \eta }{|}_{\hat{m},\hat{\eta }}\right)+\mathrm{var}\left(\hat{\eta }\right){\left(\frac{\partial R}{\partial \eta }{|}_{\hat{m},\hat{\eta }}\right)}^2---\left(8\right)$其中$\left(\frac{\partial R}{\partial m}{|}_{\hat{m},\hat{\eta }}\right)=\left(\ln \hat{R}\right(\tau \left)\right)\left(\ln \frac{\tau }{\hat{\eta }}\right)\hat{R}\left(\tau \right),\left(\frac{\partial R}{\partial \eta }{|}_{\hat{m},\hat{\eta }}\right)=\frac{\hat{m}}{\hat{\eta }}{\left(\frac{\tau }{\hat{\eta }}\right)}^{\hat{m}}\hat{R}\left(\tau \right);$统计量的分布服从正态分布，即$\frac{ln\hat{R}\left(\tau \right)-\ln R\left(\tau \right)}{\sqrt{\mathrm{var}\left(ln\hat{R}\right(\tau \left)\right)}}~N(0,1)---\left(9\right)$其中$\mathrm{var}\left(ln\hat{R}\right(\tau \left)\right)=\frac{\mathrm{var}\left(\hat{R}\right(\tau \left)\right)}{{\left(\hat{R}\right(\tau \left)\right)}^2};$(S24)在置信水平(1‑α)下，求解得到可靠度的双侧置信区间为：$\left(\exp \right[\left(\ln \hat{R}\right(\tau \left)\right)-U_{1-\alpha /2}\sqrt{\mathrm{var}\left(\ln \hat{R}\right(\tau \left)\right)}],\exp [\left(\ln \hat{R}\right(\tau \left)\right)-U_{\alpha /2}\sqrt{\mathrm{var}\left(\ln \hat{R}\right(\tau \left)\right)}\left]\right)---\left(10\right)$单侧置信区间的置信下限为：$R_L=\exp [\left(ln\hat{R}\right(\tau \left)\right)-U_{1-\alpha }\sqrt{\mathrm{var}\left(ln\hat{R}\right(\tau \left)\right)}]---\left(11\right)$其中U_α/2，U_α和U_1‑α/2分别是标准正态分布U(0,1)的α/2，α和(1‑α/2)分位数，α为取置信水平时设置的常量。