一种分数阶细胞神经网络自适应同步控制及电路设计方法

摘要

一种分数阶细胞神经网络自适应同步控制及电路设计方法，通过选择分数阶微分算法，组合细胞神经网络方程定义，构建了一个三维分数阶细胞神经网络系统。在该系统基础上设计一个驱动系统非线性参数已知而响应系统非线性参数未知的驱动-响应系统，同时构造一个新的自适应同步控制器及参数自适应调整率，在数值仿真中实现驱动和响应系统的同步；设计分数阶细胞神经网络驱动系统和响应系统电路图，同时对控制器及自适应调整率实现电路仿真。本发明仿真结果表明电路仿真与数值仿真具有相似的同步相图，验证了该系统理论分析的正确性及实际物理上的可实现性，在工程领域中具有现实的应用价值。

主权项

一种分数阶细胞神经网络自适应同步控制方法，其特征是包括以下步骤：(S1)根据细胞神经网格基本模型，先设计整数阶三维细胞神经网络系统，调节状态方程中的各个参数使系统产出混沌现象；$\frac{{\mathrm{dx}}_j}{dt}=-x_j+a_{j}f\left(x_j\right)+\underset{k=1,k\ne j}{\overset{3}{\Sigma }}{a}_{jk}f\left(x_k\right)+\underset{k=1}{\overset{3}{\Sigma }}{S}_{jk}{x}_k+{\tilde{I}}_j,(j=1,2,3)---\left(1\right)$并应用MATLAB软件对设计的系统进行数值仿真；(S2)选择分数阶微分算法：选择Caputo定义的分数阶微积分，其数学表达式如下：$\frac{d^{q}f\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^q}=\frac{1}{\Gamma (n-q)}{\int }_0^t\frac{f^{\left(n\right)}\left(\tau \right)}{{(t-\tau )}^{q-n+1}}d\tau ---\left(2\right)$式中的Γ(·)为Gamma函数，n‑1≤q≤n，q为分数，n为整数；动力学系统对应的分数阶微分方程可以表示成：$\begin{array}{c}{a}_n{D}^{v_n}F(x,y)+a_{n-1}{D}^{v_{n-1}}F(x,y)+...+a_0{D}^{v_0}F(x,y)\\ =b_m{D}^{{\alpha }_m}G(x,y)+b_{m-1}{D}^{{\alpha }_{m-1}}G(x,y)+\mathrm{...}+b_0{D}^{{\alpha }_0}G(x,y)\end{array}---\left(3\right)$其中v_n,v_n‑1…v₀及α_m,α_m‑1…α₀分别表示相应的分数阶阶值，a_n,…,a₀和b_m,…,b₀为实数；式中F(x,y)为系统输入，G(x,y)为系统输出；(S3)构建分数阶同步控制系统模型：$D_t^{q}X=h\left(x\right(t),t),0\le t\le T---\left(4\right)$其中X∈Rⁿ是驱动系统的一个n维状态向量，h:Rⁿ→Rⁿ，将h拆分为线性和非线性两部分，则驱动系统Ⅰ为：$D_t^{q}X=g\left(x\right)+G\left(x\right)A^T---\left(5\right)$式中：X∈R是驱动系统的状态变量，g:Rⁿ→Rⁿ为包含线性项的连续向量函数，G(x)A^T为非线性部分，G:Rⁿ→R^n×n为参数向量函数，A是驱动系统的非线性函数的参数矩阵；相应的响应系统Ⅱ为：$D_t^{q}Y=g\left(y\right)+G\left(y\right){\tilde{A}}^T+U---\left(6\right)$式中的Y∈R是响应系统的状态变量，U∈Rⁿ为控制器，是驱动系统的非线性函数的参数矩阵；(S4)基于步骤(S1)构建的整数阶三维细胞神经网络系统，同时结合步骤(S2)分数阶微积分方程设计出相应的分数阶细胞神经网络系统；结合(S3)中的式(5)驱动系统I定义，构造该三维分数阶细胞神经网络的驱动系统方程：$\left\{\begin{array}{c}\frac{d^{q_1}{x}_1}{{\mathrm{dt}}^{q_1}}=-x_1+s_{11}{x}_1+s_{12}{x}_2+a_{11}f\left(x_1\right)+a_{12}f\left(x_2\right)\\ \frac{d^{q_2}{x}_2}{{\mathrm{dt}}^{q_2}}=-x_2+s_{21}{x}_1+s_{22}{x}_2+s_{23}{x}_3+a_{22}f\left(x_2\right)\\ \frac{d^{q_3}{x}_3}{{\mathrm{dt}}^{q_3}}=-x_3+s_{31}{x}_1+s_{32}{x}_2+s_{33}{x}_3\end{array}\right.---\left(7\right)$式中非线性参数a₁₁,a₁₂,a₂₂均为已知值；结合(S3)中的式(6)响应系统II定义，构造三维分数阶细胞神经网络的响应系统方程：$\left\{\begin{array}{c}\frac{d^{q_1}{y}_1}{{\mathrm{dt}}^{q_1}}=-y_1+s_{11}{y}_1+s_{12}{y}_2+{\tilde{a}}_{11}f\left(y_1\right)+{\tilde{a}}_{12}f\left(y_2\right)+u_1\\ \frac{d^{q_2}{y}_2}{{\mathrm{dt}}^{q_2}}=-y_2+s_{21}{y}_1+s_{22}{y}_2+s_{23}{y}_3+{\tilde{a}}_{22}f\left(y_2\right)+u_2\\ \frac{d^{q_3}{y}_3}{{\mathrm{dt}}^{q_3}}=-y_3+s_{31}{y}_1+s_{32}{y}_2+s_{33}{y}_3+u_3\end{array}\right.---\left(8\right)$式中非线性参数均为未知值；(S5)设计步骤(S3)中(5)式的同步控制器U及参数自适应调整率，利用数学理论进行证明同步性质，并用MATLAB程序进行仿真与同步验证；驱动系统和响应系统的误差为：$D_t^{q}e=D_t^{q}Y-D_t^{q}X=g\left(y\right)-g\left(x\right)+G\left(y\right){\tilde{A}}^T-G\left(x\right)A^T+U---\left(9\right)$同步控制器U：U＝[u₁,u₂,u₃]                    (10)其中：$\left\{\begin{array}{c}{u}_1=a_{11}f\left(x_1\right)-{\tilde{a}}_{11}f\left(y_1\right)+a_{12}f\left(x_2\right)-{\tilde{a}}_{12}f\left(y_2\right)-s_{12}{e}_2-{\tilde{e}}_{11}f\left(x_1\right)-{\tilde{e}}_{12}f\left(x_2\right)\\ u_2=-s_{21}{e}_1-s_{23}{e}_3+a_{22}f\left(x_2\right)-{\tilde{a}}_{22}f\left(y_2\right)-{\tilde{e}}_{12}f\left(x_2\right)\\ u_3=-s_{31}{e}_1-s_{32}{e}_2\end{array}\right.---\left(11\right)$同时选取系统自适应调整律为：$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{a}}}_{11}\\ {\stackrel{·}{\stackrel{~}{a}}}_{12}\\ {\stackrel{·}{\stackrel{~}{a}}}_{22}\end{array}\right]=G{\left(x\right)}^T{\left[\begin{array}{ccc}{e}_1& e_2& e_3\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{ccc}f\left(x_1\right)& 0& 0\\ f\left(x_2\right)& f\left(x_2\right)& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}_1\\ e_2\\ e_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{e}_{1}f\left(x_1\right)\\ e_{1}f\left(x_2\right)+e_{2}f\left(x_2\right)\\ 0\end{array}\right]---\left(12\right)$其中e_i(i＝1,2,3)为驱动系统与响应系统的误差；(S6)设计分数阶细胞神经网络系统驱动系统式(7)及响应系统式(8)电路原理图，并用Multisim设计控制器式(10)及自适应调整率式(12)实现电路仿真。