钢结构三维精度的检验方法

摘要

一种钢结构三维精度的检验方法，采用以下步骤：一：在钢结构主要节点上标记测量点，并采集各个节点的三维坐标，以形成测量点集；二：在计算机中调入钢结构的理论模型，得到与测量点相对应的理论点坐标，以形成理论点集；三：选择不在同一平面的任意4个测量点和相对应的4个理论点来计算坐标变换的初始参数；四：运用带约束条件的最小二乘法计算坐标变换的最佳参数；五：根据最佳参数对实测点集进行三次坐标旋转和一次平移计算，使实测点集转换到理论点集附近，并形成新点集；六：分析对比转换后的实测点集和理论点集坐标，得出钢结构各个点偏差值。本发明能够准确地分析出钢结构各个测量点的三维偏差，方便钢结构的尺寸调整，大大地提高了工作效率。

主权项

一种钢结构三维精度的检验方法，其特征在于：采用以下具体步骤：第一步：在钢结构周围选择数个转站点，以供全站仪能够测量所有需要测量的节点；在钢结构的主要节点上标记测量点，并用全站仪测量采集各个节点的三维坐标，且在各个节点的三维坐标上进行编号，以形成测量点集(x_i，y_i，z_i)；第二步：在计算机绘图软件中，调入钢结构的理论模型，并在计算机绘图软件中，得到与测量点相对应的理论点坐标，以形成理论点集(x_0i，y_0i，z_0i)；第三步：选择不在同一平面的任意4个测量点和与其相对应的4个理论点来计算坐标变换的初始参数；第四步：运用带约束条件的最小二乘法计算坐标变换的最佳参数；第五步：根据最佳参数对实测点集进行三次坐标旋转和一次平移计算，使实测点集转换到理论点集附近，并形成新点集(x′_i，y′_i，z′_i)；第六步：分析对比转换后的实测点集和理论点集坐标，得出钢结构各个点偏差值；所述坐标变换的基本原理为：设实测模型首先绕Z轴旋转α角，然后，绕X轴旋转β角，再绕Y轴旋转γ角，最后，平移[p，q，r]到理论位置，通过这样的变换后，实测点集的坐标与理论点集坐标的偏差为：(v_xi，v_yi，v_zi)，假设理论坐标为：(x_0i，y_0i，z_0i)实测坐标为：(x_i，y_i，z_i)，则坐标变换的矩阵形式如下：$\left[\begin{array}{c}{x}_{0i}\\ y_{0i}\\ z_{0i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos\gamma & 0& \sin \gamma \\ 0& 1& 0\\ -\sin \gamma & 0& \cos \gamma \end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \beta & -\sin \beta \\ 0& \sin \beta & \cos \beta \end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{v}_{xi}\\ v_{yi}\\ v_{zi}\end{array}\right]$即：$\left[\begin{array}{c}{x}_{0i}\\ y_{0i}\\ z_{0i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos\gamma cos\alpha +sin\gamma sin\beta sin\alpha & -cos\gamma \sin \alpha +sin\gamma sin\beta cos\alpha & \sin \gamma cos\beta \\ \cos \beta sin\alpha & \cos \beta cos\alpha & -\sin \beta \\ -sin\gamma cos\alpha +\cos \gamma sin\beta sin\alpha & \sin \gamma sin\alpha +\cos \gamma \sin \beta cos\alpha & cos\gamma cos\beta \end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{v}_{xi}\\ v_{yi}\\ v_{zi}\end{array}\right]$设cosγ＝a，sinγ＝b，cosβ＝c，sinβ＝d，cosα＝e，sinα＝f形式变化为：$\left[\begin{array}{c}{x}_{0i}\\ y_{0i}\\ z_{0i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}ae+bdf& -af+bde& bc\\ cf& ce& -d\\ -be+adf& bf+ade& ac\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{v}_{xi}\\ v_{yi}\\ v_{zi}\end{array}\right]---\left(a\right)$所述第三步中，计算坐标变换的初始参数的具体步骤为：设坐标变换参数(a，b，c，d，e，f，p，q，r)的初始值为(a₀，b₀，c₀，d₀，e₀，f₀，p₀，q₀，r₀)，为计算初始值，引入(G，H，I，J，K，L，M，N，O，P，Q，R)12个临时参数，将(a)式省去误差项后简化为如下矩阵形式：$\left[\begin{array}{c}{x}_{0i}\\ y_{0i}\\ z_{0i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0& -a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0& b_0{c}_0\\ c_0{f}_0& c_0{e}_0& -d_0\\ -b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0& b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0& a_0{c}_0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{p}_0\\ q_{0_0}\\ r\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}G& H& I\\ J& K& L\\ M& N& O\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}P\\ Q\\ R\end{array}\right]---\left(b\right)$由上式可知，至少需要4组数据才可以计算12个临时参数(G，H，I，J，K，L，M，N，O，P，Q，R)，由于是三维空间变换，对4组数据进行选择时，要求4个测量点不能在同一平面内；设此4个点编号分别为(c1，c2，c3，c4)把(b)式做如下变换：$\left[\begin{array}{c}{x}_{0c1}\\ y_{0c1}\\ z_{0c1}\\ x_{0c2}\\ y_{0c2}\\ z_{0c2}\\ x_{0c3}\\ y_{0c3}\\ z_{0c3}\\ x_{0c4}\\ y_{0c4}\\ z_{0c4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccccccccc}1& 0& 0& x_{c1}& y_{c1}& z_{c1}& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& x_{c1}& y_{c1}& z_{c1}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& x_{c1}& y_{c1}& z_{c1}\\ 1& 0& 0& x_{c2}& y_{c2}& z_{c2}& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& x_{c2}& y_{c2}& z_{c2}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& x_{c2}& y_{c2}& z_{c2}\\ 1& 0& 0& x_{c3}& y_{c3}& z_{c3}& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& x_{c3}& y_{c3}& z_{c3}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& x_{c3}& y_{c3}& z_{c3}\\ 1& 0& 0& x_{c4}& y_{c4}& z_{c4}& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& x_{c4}& y_{c4}& z_{c4}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& x_{c4}& y_{c4}& z_{c4}\end{array}\right]*\left[\begin{array}{c}P\\ Q\\ R\\ G\\ H\\ I\\ J\\ K\\ L\\ M\\ N\\ O\end{array}\right]$由此，可得下式：$\left[\begin{array}{c}P\\ Q\\ R\\ G\\ H\\ I\\ J\\ K\\ L\\ M\\ N\\ O\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cccccccccccc}1& 0& 0& x_{c1}& y_{c1}& z_{c1}& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& x_{c1}& y_{c1}& z_{c1}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& x_{c1}& y_{c1}& z_{c1}\\ 1& 0& 0& x_{c2}& y_{c2}& z_{c2}& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& x_{c2}& y_{c2}& z_{c2}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& x_{c2}& y_{c2}& z_{c2}\\ 1& 0& 0& x_{c3}& y_{c3}& z_{c3}& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& x_{c3}& y_{c3}& z_{c3}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& x_{c3}& y_{c3}& z_{c3}\\ 1& 0& 0& x_{c4}& y_{c4}& z_{c4}& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& x_{c4}& y_{c4}& z_{c4}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& x_{c4}& y_{c4}& z_{c4}\end{array}\right]}^{-1}*\left[\begin{array}{c}{x}_{0c1}\\ y_{0c1}\\ z_{0c1}\\ x_{0c2}\\ y_{0c2}\\ z_{0c2}\\ x_{0c3}\\ y_{0c3}\\ z_{0c3}\\ x_{0c4}\\ y_{0c4}\\ z_{0c4}\end{array}\right]$至此，12个临时参数已经计算完毕，根据(b)式可列如下方程组：$\left\{\begin{array}{c}{p}_0=P\\ q_0=Q\\ r_0=R\\ a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0=G\\ -a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0=H\\ b_0{c}_0=I\\ c_0{f}_0=J\\ c_0{e}_0=K\\ -d_0=L\\ -b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0=M\\ b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0=N\\ a_0{c}_0=O\end{array}\right.$计算方程组，可得两组初始值，结果如下：$\left\{\begin{array}{c}{a}_0=\frac{O}{\sqrt{\frac{(K-J)(O-I)-L(O+I)(K+J)}{M+N+G+H}}}\\ b_0=\frac{I}{\sqrt{\frac{(K-J)(O-I)-L(O+I)(K+J)}{M+N+G+H}}}\\ c_0=\sqrt{\frac{(K-J)(O-I)-L(O+I)(K+J)}{M+N+G+H}}\\ d_0=-L\\ e_0=\frac{K}{\sqrt{\frac{(K-J)(O-I)-L(O+I)(K+J)}{M+N+G+H}}}\\ f_0=\frac{J}{\sqrt{\frac{(K-J)(O-I)-L(O+I)(K+J)}{M+N+G+H}}}\\ p_0=P\\ q_0=Q\\ r_0=R\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}{a}_0=-\frac{O}{\sqrt{\frac{(K-J)(O-I)-L(O+I)(K+J)}{M+N+G+H}}}\\ b_0=-\frac{1}{\sqrt{\frac{(K-J)(O-I)-L(O+I)(K+J)}{M+N+G+H}}}\\ c_0=-\sqrt{\frac{(K-J)(O-I)-L(O+I)(K+J)}{M+N+G+H}}\\ d_0=-L\\ e_0=-\frac{K}{\sqrt{\frac{(K-J)(O-I)-L(O+I)(K+J)}{M+N+G+H}}}\\ f_0=-\frac{J}{\sqrt{\frac{(K-J)(O-I)-L(O+I)(K+J)}{M+N+G+H}}}\\ p_0=P\\ q_0=Q\\ r_0=R\end{array}\right.$至此，旋转平移参数的初值(a₀，b₀，c₀，d₀，e₀，f₀，p₀，q₀，r₀)已经计算完毕，在以下平差过程中，选择上面两组初始值中的任意一组都行；所述第四步中，运用带约束条件的最小二乘法计算坐标变换的最佳参数的计算步骤如下：(1)由(a)式可知：$\left\{\begin{array}{c}{x}_{0i}=p+(ae+bdf)x_i+(-af+bde)y_i+{\mathrm{bcz}}_i-v_{xi}\\ y_{0i}=q+{\mathrm{cfx}}_i+{\mathrm{cey}}_i-{\mathrm{dz}}_i-v_{yi}\\ z_{0i}=r+(-be+adf)x_i+(bf+ade)y_i+{\mathrm{acz}}_i-v_{zi}\end{array}\right.---\left(c\right)$(c)式的第一个方程用泰勒公式展开得如下误差方程：$\begin{array}{c}{v}_{xi}=p_0+(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_i+(-a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)+b_0{c}_0{z}_i-x_{0i}+\hat{p}+(e_0{x}_i-f_0{y}_i)\hat{a}+(d_0{f}_0{x}_i+d_0{e}_0{y}_i+\\ c_0{z}_i)\hat{b}+b_0{z}_i\hat{c}+(b_0{f}_0{x}_i+b_0{e}_0{y}_i)\hat{d}+(a_0{x}_i+b_0{d}_0{y}_0)\hat{e}+(b_0{d}_0{x}_i-a_0{y}_i)\hat{f}\end{array}$平差方程的矩阵形式函数模型为令V₁＝[v_x1 v_x2 ... v_xn]^T$\hat{x}=\left[\begin{array}{ccccccccc}\hat{p}& \hat{q}& \hat{r}& \hat{a}& \hat{b}& \hat{c}& \hat{d}& \hat{e}& \hat{f}\end{array}\right]$$B_1=\left\{\begin{array}{ccccccccc}1& 0& 0& e_0{x}_1-f_0{y}_1& d_0{f}_0{x}_1+d_0{e}_0{y}_1+c_0{z}_1& b_0{z}_1& b_0{f}_0{x}_1+b_0{e}_0{y}_1& a_0{x}_1+b_0{d}_0{y}_1& b_0{d}_0{x}_1-a_0{y}_1\\ 1& 0& 0& e_0{x}_2-f_0{y}_2& d_0{f}_0{x}_2+d_0{e}_0{y}_2+c_0{z}_2& b_0{z}_2& b_0{f}_0{x}_2+b_0{e}_0{y}_2& a_0{x}_2+b_0{d}_0{y}_2& b_0{d}_0{x}_2-a_0{y}_2\\ ·& ·& ·& ·& ·& ·& & & \\ 1& 0& 0& e_0{x}_n-f_0{y}_n& d_0{f}_0{x}_n+d_0{e}_0{y}_n+c_0{z}_n& b_0{z}_n& b_0{f}_0{x}_n+b_0{e}_0{y}_n& a_0{x}_n+b_0{d}_0{y}_n& b_0{d}_0{x}_n-a_0{y}_n\end{array}\right\}$$l_1=\left\{\begin{array}{c}{x}_{01}-p_0-(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_1-(-a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_1-b_0{c}_0{z}_1\\ x_{02}-p_0-(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_2-(-a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_2-b_0{c}_0{z}_2\\ ......\\ x_{0n}-p_0-(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_n-(-a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_n-b_0{c}_0{z}_n\end{array}\right\}$(2)(c)式的第二个方程用泰勒公式展开得如下误差方程：$v_{yi}=q_0+c_0{f}_0{x}_i+c_0{e}_0{y}_i-d_0{z}_i-y_{0i}+\hat{q}+(f_0{x}_i+e_0{y}_i)\hat{c}-z_i\hat{d}+c_0{y}_i\hat{e}+c_0{x}_i\hat{f}$平差方程的矩阵形式函数模型为令V₂＝[v_y1 v_y2 ... v_yn]^T$\hat{x}=\left[\begin{array}{ccccccccc}\hat{p}& \hat{q}& \hat{r}& \hat{a}& \hat{b}& \hat{c}& \hat{d}& \hat{e}& \hat{f}\end{array}\right]$$B_2=\left\{\begin{array}{ccccccccc}0& 1& 0& 0& 0& f_0{x}_1+e_0{y}_1& -z_1& c_0{y}_1& c_0{x}_1\\ 0& 1& 0& 0& 0& f_0{x}_2+e_0{y}_2& -z_2& c_0{y}_2& c_0{x}_2\\ ·& ·& ·& ·& ·& ·& & & \\ 0& 1& 0& 0& 0& f_0{x}_n+e_0{y}_n& -z_n& c_0{y}_n& c_0{x}_n\end{array}\right\}$$l_2=\left\{\begin{array}{c}{y}_{01}-q_0-c_0{f}_0{x}_1-c_0{e}_0{y}_1+d_0{z}_1\\ y_{02}-q_0-c_0{f}_0{x}_2-c_0{e}_0{y}_2+d_0{z}_2\\ ......\\ y_{0n}-q_0-c_0{f}_0{x}_n-c_0{e}_0{y}_n+d_0{z}_n\end{array}\right\}$(3)(c)式的第三个方程用泰勒公式展开得如下误差方程：$\begin{array}{c}{v}_{zi}=r_0+(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_i+(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_i+a_0{c}_0{z}_i-z_{0i}+\hat{r}+(d_0{f}_0{x}_i+d_0{e}_0{y}_i+c_0{z}_i)\hat{a}\\ +(-e_0{x}_i+f_0{y}_i)\hat{b}+a_0{z}_i\hat{c}+(a_0{f}_0{x}_i+a_0{e}_0{y}_i)\hat{d}+(-b_0{x}_i+a_0{d}_0{y}_i)\hat{e}+(a_0{d}_0{x}_i+b_0{y}_i)\hat{f}\end{array}$平差方程的矩阵形式函数模型为令V₃＝[v_z1 v_z2 ... v_zn]^T$\hat{x}=\left[\begin{array}{ccccccccc}\hat{p}& \hat{q}& \hat{r}& \hat{a}& \hat{b}& \hat{c}& \hat{d}& \hat{e}& \hat{f}\end{array}\right]$$B_2=\left\{\begin{array}{ccccccccc}0& 0& 1& d_0{f}_0{x}_1+d_0{e}_0{y}_1& -e_0{x}_1+f_0{y}_1& a_0{z}_1& a_0{f}_0{x}_1+a_0{e}_0{y}_1& -b_0{x}_1+a_0{d}_0{y}_1& a_0{d}_0{x}_1+b_0{y}_1\\ 0& 0& 1& d_0{f}_0{x}_2+d_0{e}_0{y}_2& -e_0{x}_2+f_0{y}_2& a_0{z}_2& a_0{f}_0{x}_2+a_0{e}_0{y}_2& -b_0{x}_2+a_0{d}_0{y}_2& a_0{d}_0{x}_2+b_0{y}_2\\ ·& ·& ·& ·& ·& ·& & & \\ 0& 0& 1& d_0{f}_0{x}_n+d_0{e}_0{y}_n& -e_0{x}_n+f_0{y}_n& a_0{z}_n& a_0{f}_0{x}_n+a_0{e}_0{y}_n& -b_0{x}_n+a_0{d}_0{y}_n& a_0{d}_0{x}_n+b_0{y}_n\end{array}\right\}$$l_3=\left\{\begin{array}{c}{z}_{01}-r_0-(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_1-(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_1-a_0{c}_0{z}_1\\ z_{02}-r_0-(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_1-(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_1-a_0{c}_0{z}_1\\ ......\\ z_{0n}-r_0-(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_n-(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_n-a_0{c}_0{z}_n\end{array}\right\};$所述第四步中，运用带约束条件的最小二乘法计算坐标变换的最佳参数的误差形式分为两种：一种是所有点都参与计算的最小二乘法；另一种是：其中一点没有参与计算，其他所有点都参与计算的最小二乘法，即，将其中某点作为参考点，没有偏差，而其他点则在最小二乘的原则下参与计算过程；两种算法的步骤如下：①所用参数a，b，c，d，e，f，并不是独立的参数，其中有3组约束关系，即：a²+b²＝1，c²+d²＝1，e²+f²＝1分别用泰勒公式展开$\left\{\begin{array}{c}2a_0\hat{a}+2b_0\hat{b}+a_0^2+b_0^2-1=0\\ 2c_0\hat{c}+2d_0\hat{d}+c_0^2+d_0^2-1=0\\ 2e_0\hat{e}+2f_0\hat{f}+e_0^2+f_0^2-1=0\end{array}\right.$约束条件的函数模型为令$C=\left[\begin{array}{ccccccccc}0& 0& 0& 2a_0& 2b_0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 2c_0& 2d_0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2e_0& 2f_0\end{array}\right]$$\hat{x}=\left[\begin{array}{ccccccccc}\hat{p}& \hat{q}& \hat{r}& \hat{a}& \hat{b}& \hat{c}& \hat{d}& \hat{e}& \hat{f}\end{array}\right]$$W_x=\left[\begin{array}{c}{a}_0^2+b_0^2-1\\ c_0^2+d_0^2-1\\ e_0^2+f_0^2-1\end{array}\right]$②在钢结构误差分析时，需要以某一点作为参考值，那么就要强制要求某个节点的误差为零，也就是说，经过坐标变换后，该节点的实测坐标正好等于理论坐标，设该点编号为C0，则：$\left[\begin{array}{c}{x}_{0c0}\\ y_{0c0}\\ z_{0c0}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}ae+bdf& -af+bde& bc\\ cf& ce& -d\\ -be+adf& bf+ade& ac\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{x}_{c0}\\ y_{c0}\\ z_{c0}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]$$\left\{\begin{array}{c}{x}_{0c0}=p+(ae+bdf)x_{c0}+(-af+bde)y_{c0}+bc{z}_{c0}\\ y_{0c0}=q+{\mathrm{cfx}}_{c0}+{\mathrm{cey}}_{c0}-{\mathrm{dz}}_{c0}\\ z_{0c0}=r+(-be+adf)x_{c0}+(bf+ade)y_{c0}+{\mathrm{acz}}_{c0}\end{array}\right.$用泰勒公式分别展开：$\left\{\begin{array}{c}{p}_0+(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_{c0}+(-a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_{c0}+b_0{c}_0{z}_{c0}-x_{0c0}+\hat{p}+(e_0{x}_{c0}-f_0{y}_{c0})\hat{a}+(d_0{f}_0{x}_{c0}+d_0{e}_0{y}_{c0}+\\ c_0{z}_{c0})\hat{b}+b_0{z}_{c0}\hat{c}+(b_0{f}_0{x}_{c0}+b_0{e}_0{y}_{c0})\hat{d}+(a_0{x}_{c0}+b_0{d}_0{y}_{c0})\hat{e}+(b_0{d}_0{x}_{c0}-a_0{y}_{c0})\hat{f}=0\\ q_0+c_0{f}_0{x}_{c0}+c_0{e}_0{y}_{c0}-d_0{z}_{c0}-y_{0c0}+\hat{q}+(f_0{x}_{c0}+e_0{y}_{c0})\hat{c}-z_{c0}\hat{d}+c_0{y}_{c0}\hat{e}+c_0{x}_{c0}\hat{f}=0\\ r_0+(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_{c0}+(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_{c0}+a_0{c}_0{z}_{c0}-z_{0c0}+\hat{r}+(d_0{f}_0{x}_{c0}+d_0{e}_0{y}_{c0}+c_0{z}_{c0})\hat{a}+\\ (-e_0{x}_{c0}+f_0{y}_{c0})\hat{b}+a_0{z}_{c0}\hat{c}+(a_0{f}_0{x}_{c0}+a_0{e}_0{y}_{c0})\hat{d}+(-b_0{x}_{c0}+a_0{d}_0{y}_{c0})\hat{e}+(a_0{d}_0{x}_{c0}+b_0{y}_{c0})\hat{f}=0\end{array}\right.$联立①的三个约束条件，这样就变为6个约束条件了，根据$C=\left[\begin{array}{ccccccccc}0& 0& 0& 2a_0& 2b_0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 2c_0& 2d_0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2e_0& 2e_0\\ 1& 0& 0& e_0{x}_{c0}-f_0{y}_{c0}& d_0{f}_0{x}_{c0}+d_0{e}_0{y}_{c0}+c_0{z}_{c0}& b_0{z}_{c0}& b_0{f}_0{x}_{c0}+b_0{e}_0{y}_{c0}& b_0{f}_0{x}_{c0}+b_0{e}_0{y}_{c0}& b_0{d}_0{x}_{c0}-a_0{y}_{c0}\\ 0& 1& 0& 0& 0& f_0{x}_{c0}+e_0{y}_{c0}& -z_{c0}& c_0{y}_{c0}& c_0{x}_{c0}\\ 0& 0& 1& d_0{f}_0{x}_{c0}+d_0{e}_0{y}_{c0}& -e_0{x}_{c0}+f_0{y}_{c0}& a_0{z}_{c0}& a_0{f}_0{x}_{c0}+a_0{e}_0{y}_{c0}& -b_0{x}_{c0}+a_0{d}_0{y}_{c0}& a_0{d}_0{x}_{c0}+b_0{y}_{c0}\end{array}\right]$$W_x=\left[\begin{array}{c}{a}_0^2+b_0^2-1\\ c_0^2+d_0^2-1\\ e_0^2+f_0^2-1\\ -x_{0c0}+p_0+(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_{c0}+(-a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_{c0}+b_0{c}_0{z}_{c0}\\ -y_{0c0}+q_0+c_0{f}_0{x}_{c0}+c_0{e}_0{y}_{c0}-d_0{z}_{c0}\\ -z_{0c0}+r_0+(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_{c0}+(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_{c0}+a_0{c}_0{z}_{c0}\end{array}\right]$上述平差基本误差模型为为使变换后的实测坐标集最逼近理论坐标集，应使也就是由于所求的9个参数中有3个或者6个约束关系，它们之间并不是独立的参数，故利用带有限制条件的间接平差计算，才能计算出唯一的平差值；按求条件极值法组成函数：其中K_s是对应于限制条件方程联系数向量，为求φ的极小值将其对取偏导数并令其为零，则：$\frac{\partial \phi }{\partial \hat{x}}=2V_1^T\frac{\partial V_1}{\partial \hat{x}}+2V_2^T\frac{\partial V_2}{\partial \hat{x}}+2V_3^T\frac{\partial V_3}{\partial \hat{x}}+2K_s^{T}C=2(V_1^T{B}_1+V_2^T{B}_2+V_3^T{B}_2)+2K_s^{T}C=0$转置后，即得：$B_1^T{V}_1+B_2^T{V}_2+B_3^T{V}_3+C^T{K}_S=0$将式带入上式$B_1^T{B}_1\hat{x}-B_1^T{l}_1+B_2^T{B}_2\hat{x}-B_2^T{l}_2+B_3^T{B}_3\hat{x}-B_3^T{l}_3+C^T{K}_S=0$令则：联立(d)和(e)两式组成如下法方程$\left\{\begin{array}{c}{N}_{bb}\hat{x}+C^T{K}_s-W=0\\ C\hat{x}+W_x=0\end{array}\right.$令：解法方程得：$\hat{x}={\left[\begin{array}{ccccccccc}\hat{p}& \hat{q}& \hat{r}& \hat{a}& \hat{b}& \hat{c}& \hat{d}& \hat{e}& \hat{f}\end{array}\right]}^T=(N_{bb}^{-1}-N_{bb}^{-1}{C}^T{N}_{CC}^{-1}{\mathrm{CN}}_{bb}^{-1})W-N_{bb}^{-1}{C}^T{N}_{CC}^{-1}{W}_x$最佳参数为修正值与初始参数的和：$\left\{\begin{array}{c}a=a_0+\hat{a}\\ b=b_0+\hat{b}\\ c=c_0+\hat{c}\\ d=d_0+\hat{d}\\ e=e_0+\hat{e}\\ f=f_0+\hat{f}\\ p=p_0+\hat{p}\\ q=q_0+\hat{q}\\ r=r_0+\hat{r}\end{array}\right.$将计算的最佳参数继续作为初始参数进行迭代循环，循环3次即可得到最佳参数；所述第五步中，根据最佳参数对实测点集进行三次坐标旋转和一次平移所采用的计算公式如下：$\left[\begin{array}{c}{x}_i^{\prime }\\ y_i^{\prime }\\ z_i^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}ae+bdf& -af+bde& bc\\ cf& ce& -d\\ -be+adf& bf+ade& ac\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right].$