保证瞬态性能的机械臂伺服系统死区补偿控制方法

摘要

一种保证瞬态性能的机械臂伺服系统死区补偿控制方法，包括：建立机械臂伺服系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及控制参数；根据微分中值定理，将系统中的非线性输入死区线性近似为一个简单的时变系统，推导出带有未知死区的机械臂伺服系统模型；引入限定跟踪误差瞬态特性的界函数；通过误差转换方法，定义一个转换误差变量；采用李亚普诺夫方法，设计系统的虚拟控制量；利用神经网络来估计未知的虚拟控制量；并为避免反演复杂爆炸度等问题，加入了一阶滤波器。本发明提供一种能够有效补偿未知死区输入对系统影响，避免反演法带来的复杂度爆炸问题，提高系统瞬态跟踪性能并保证位置信号的稳定跟踪控制。

主权项

一种保证瞬态性能的机械臂伺服系统死区补偿控制方法，其特征在于：所述控制方法包括以下步骤：步骤1，建立机械臂伺服系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及控制参数，过程如下：1.1机械臂伺服系统的动态模型表达形式为$\left\{\begin{array}{c}I\stackrel{··}{q}+K(q-\theta )+MgLsin\left(q\right)=0\\ J\stackrel{··}{\theta }-K(q-\theta )=v\left(u\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$其中，q和θ分别为机械臂连杆和电机的角度；I为连杆的惯量；J是电机的惯量；K为弹簧刚度系数；M和L分别是连杆的质量和长度；u是控制信号；v(u)为死区，表示为：$v\left(u\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{g}_r\left(u\right)& if& u\ge b_r\\ 0& if& b_l<u<b_r\\ g_l\left(u\right)& if& u\le b_l\end{array}\right.---\left(2\right)$其中g_l(u)，g_r(u)为未知非线性函数；b_l和b_r为死区未知宽度参数，满足b_l＜0,b_r＞0；定义x₁＝q，x₃＝θ，式(1)改写为$\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2=-\frac{MgL}{I}sin\left(x_1\right)-\frac{K}{I}(x_1-x_3)\\ {\stackrel{·}{x}}_3=x_4\\ {\stackrel{·}{x}}_4=\frac{1}{J}v\left(u\right)+\frac{K}{J}(x_1-x_3)\\ y=x_1\end{array}.---\left(3\right)$其中，y为系统输出轨迹；1.2定义变量z₁＝x₁，z₂＝x₂，$z_4=-x_2\frac{MgL}{I}cos\left(x_1\right)-\frac{K}{I}(x_2-x_4),$则式(3)改写成$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{z}}_1=z_2\\ {\stackrel{·}{z}}_2=z_3\\ {\stackrel{·}{z}}_3=z_4\\ {\stackrel{·}{z}}_4=f_1\left(\bar{z}\right)+b_{1}v\left(u\right)\\ y=z_1\end{array}\right.---\left(4\right)$其中，$\bar{z}={[z_1,z_2,z_3]}^T,f_1\left(\bar{z}\right)=\frac{MgL}{I}sin\left(z_1\right(z_2^2-\frac{K}{J})-(\frac{MgL}{I}cos\left(z_1\right)+\frac{K}{J}+\frac{K}{I})z_3,b_1=\frac{K}{IJ};$步骤2，根据微分中值定理，将系统中的非线性输入死区线性近似为一个简单的时变系统，推导出带有未知死区的机械臂伺服系统模型，包括如下过程；2.1对非线性未知死区进行线性处理其中|ω(u)|≤ω_N，ω_N是未知的正数满足ω_N＝(g′_r+g′_l)max{b_r,b_l}和2.2根据微分中值定理，则其中$g_r^{\prime }\left({\xi }_r\right)=\frac{\partial v\left(\xi \right)}{\partial \xi }{|}_{\xi ={\xi }_r},{\xi }_r\in [b_r,+\infty );$其中$g_1^{\prime }\left({\xi }_r\right)=\frac{\partial v\left(\xi \right)}{\partial \xi }{|}_{\xi ={\xi }_l},{\xi }_l\in (b_r,+\infty ];$则$\omega \left(u\right)=\left\{\begin{array}{cc}-{g^{\prime }}_r\left({\xi }_r\right)b_r& u\left(t\right)\ge b_r\\ -[{g^{\prime }}_l\left({\xi }_l\right)+{g^{\prime }}_r\left({\xi }_r\right)]u\left(t\right)& b_l<u\left(t\right)<b_r\\ -{g^{\prime }}_l\left({\xi }_l\right)b_l& u\left(t\right)\le b_l\end{array}\right.---\left(9\right)$2.3由式(6)和式(9)，将式(4)改写为以下等效形式：$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{z}}_1=z_2\\ {\stackrel{·}{z}}_2=z_3\\ {\stackrel{·}{z}}_3=z_4\\ {\stackrel{·}{z}}_4=m\left(\bar{z}\right)+nu\\ y=z_1\end{array}\right.---\left(10\right)$其中，步骤3，用神经网络逼近不确定性，过程如下：定义连续函数为：h(X)＝W^*Tφ(X)+ε     (11)其中W^*T∈R^n1×n2是理想的权重矩阵，φ(X)∈R^n1×n2是理想的神经网络的函数，ε是神经网络的估计误差，满足|ε|≤ε_N，φ(X)函数形式为：$\phi \left(X\right)=\frac{a}{b+\exp (-X/c)}+d---\left(12\right)$其中，a,b,c,d为合适的常数；步骤4，计算系统瞬态控制性能函数以及误差转换，过程如下：4.1系统瞬态控制中，控制器输入信号为：其中，e(t)＝y‑y^d，y^d是理想的跟踪轨迹，e(t)为跟踪误差，ψ(t)是缩放因子，F_φ(t)是误差变量的边界，||e(t)||是欧几里德范数，为了保证e(t)演变在边界内，时变增益ρ(.)为：$\rho \left(t\right)=\frac{1}{F_{\phi }\left(t\right)-\left|\right|e\left(t\right)\left|\right|}---\left(14\right)$4.2设计误差变量的边界为：其中，是一个连续的正函数，对t≥0，都有则F_φ(t)＝δ₀ exp(‑a₀t)+δ_∞         (16)其中δ₀≥δ_∞＞0，且|e(0)|＜F_φ(0)；4.3定义瞬态控制误差变量为：步骤5，计算反演法中系统瞬态性能控制虚拟变量，动态滑模面及微分，过程如下：5.1定义瞬态控制虚拟变量及其微分：定义误差变量：e(t)＝y‑y_d        (18)其中，y_d是该系统的理想运动轨迹，y是实际系统输出；则，对式(15)求导得：其中，φ_F＝1/(F_φ‑||e||)²；5.2定义李亚普诺夫函数:$V_1=\frac{1}{2}{s}_1^2---\left(20\right)$对V₁求导得：5.3设计虚拟控制量${\bar{z}}_2={\stackrel{·}{y}}_d-\frac{k_1{s}_1}{F_{\phi }{\phi }_F}+\frac{{\stackrel{·}{F}}_{\phi }e}{F_{\phi }}---\left(22\right)$其中，k₁为常数，且k₁＞0；5.4定义一个新的变量α₁，让虚拟控制量通过时间常数为τ₁的一阶滤波器：${\tau }_1{\stackrel{·}{\alpha }}_1+{\alpha }_1={\bar{z}}_2,{\alpha }_1\left(0\right)={\bar{z}}_2\left(0\right)---\left(23\right)$5.5定义滤波误差则${\stackrel{·}{\alpha }}_1=\frac{{\bar{z}}_2-{\alpha }_1}{{\tau }_1}=-\frac{y_2}{{\tau }_1}---\left(24\right)$5.6用神经网络来估计其中$X_1={[{y_d}^T,{{\stackrel{·}{y}}_d}^T,{{\stackrel{··}{y}}_d}^T,{s_1}^T,{s_2}^T]}^T\in R^5;$步骤6，针对式(4)，设计虚拟控制量；6.1定义误差变量s_i＝z_i‑α_i‑1,i＝2,3          (26)式(15)的一阶微分为：${\stackrel{·}{s}}_i=z_{i+1}-{\stackrel{·}{\alpha }}_{i-1},i=2,3---\left(27\right)$6.2设计虚拟控制量${\bar{z}}_3=-k_2{s}_2-{\hat{W}}_1^T{\phi }_1\left(X_1\right)-{\hat{\mu }}_1-F_{\phi }{\phi }_{FS1}---\left(28\right)$其中，k₂为常数且k₂＞0，是ε的估计值，是W₁的估计值；6.3设计虚拟控制量${\bar{z}}_4=-k_3{s}_3-{\hat{W}}_2^T{\phi }_2\left(X_2\right)-{\hat{\mu }}_2-s_2---\left(29\right)$其中，k₃为常数且k₃＞0，是ε的估计值，是W₂的估计值；6.4定义一个新的变量α_i，让虚拟控制量通过时间常数为τ_i的一阶滤波器：${\tau }_i{\stackrel{·}{\alpha }}_i+{\alpha }_i={\bar{z}}_{i+1},{\alpha }_i\left(0\right)={\bar{z}}_{i+1}\left(0\right)---\left(30\right)$6.5定义$y_{i+1}={\alpha }_i-{\bar{z}}_{i+1},$则${\stackrel{·}{\alpha }}_i=\frac{{\bar{z}}_{i+1}-{\alpha }_i}{{\tau }_i}=-\frac{y_{i+1}}{{\tau }_i}---\left(31\right)$6.6用神经网络来估计${\stackrel{·}{\alpha }}_2=-W_2^T{\phi }_2\left(X_2\right)-{ϵ}_2---\left(32\right)$$-m+{\stackrel{·}{\alpha }}_3=-W_3^T{\phi }_3\left(X_3\right)-{ϵ}_3---\left(33\right)$其中，为理想权重W_i的估计值，$X_i={[{y_d}^T,{{\stackrel{·}{y}}_d}^T,{{\stackrel{··}{y}}_d}^T,{s_i}^T,{s_{i+1}}^T]}^T\in R^5$中；步骤7，设计控制器输入，过程如下：7.1定义误差变量s₄＝z₄‑α₃       (34)计算式(20)的一阶微分为：${\stackrel{·}{s}}_4=m\left(\bar{z}\right)+nu-{\stackrel{·}{\alpha }}_3---\left(35\right)$7.2设计控制器输入u：$u=-k_5\left(\eta \mathrm{sgn}\right(s_4)+k_4{s}_4+W_3^T{\phi }_3(X_3)+{\hat{\mu }}_3+s_3)---\left(36\right)$其中，为理想权重W₃的估计值，k₅≥1/n,是ε₃的估计值；7.3设计自适应率：$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\hat{W}}}_j=K_j{\phi }_j\left(X_{j+1}\right)s_{j+1}\\ \stackrel{·}{\hat{\mu }}=v_{\mu }{s}_{j+1}\end{array}\right.---\left(37\right)$其中，K_j是自适应矩阵，v_μ＞0；步骤8，设计李雅普诺夫函数，过程如下：$V=\frac{1}{2}{s}_1^2+\frac{1}{2}\underset{i=2}{\overset{4}{\Sigma }}(s_i^2+y_i^2+{\tilde{W}}_{i-1}^T{K}_{i-1}^T{\tilde{W}}_{i-1}+\frac{1}{v_{\mu }}{{\mu }_j}^2)---\left(38\right)$其中，W^*是理想值；对式(26)进行求导得：$\stackrel{·}{V}=\underset{i=1}{\overset{4}{\Sigma }}{s}_i{\stackrel{·}{s}}_i-\underset{i=2}{\overset{4}{\Sigma }}\left({\tilde{W}}_{i-1}^T{K}_{i-1}^T{\tilde{W}}_{i-1}^T\right)+\underset{j=1}{\overset{3}{\Sigma }}{v}_{\mu }^{-1}{\tilde{\mu }}_j{\stackrel{·}{\hat{\mu }}}_j+\underset{i=2}{\overset{4}{\Sigma }}{y}_i{\stackrel{·}{y}}_i)---\left(39\right)$如果则判定系统是稳定的。