一种基于机床各旋转轴角加速度分治优化的五轴加工刀轴矢量插值方法

摘要

一种基于机床各旋转轴角加速度分治优化的五轴加工刀轴矢量插值方法，属于五轴数控加工技术领域。该方法是在已根据切削特性和刀具可行空间设定了关键刀位的情况下，解决一般刀位点处刀轴矢量的细化插值问题。首先将关键刀轴矢量变换到机床坐标系下，反解出机床各旋转轴的旋转角，再展开构造每一细化插值刀位点处各旋转轴角加速度的逼近计算公式；然后依据分治优化策略建立各旋转轴以角加速度变化最小为目标的最小二乘优化目标函数，给出求解方法，获得细化插值刀位点处各旋转轴的旋转角；最后正向合成细化插值刀位点处的刀轴矢量。该方法确保了机床各旋转轴角加速度变化最小且平稳光滑，改善了机床在加工复杂曲面零件时的运动学和动力学性能。

主权项

一种基于机床各旋转轴角加速度分治优化的五轴加工刀轴矢量插值方法，其特征在于：首先，将关键刀轴矢量变换到机床坐标系下，反解出其所对应的机床各旋转轴的旋转角，再利用二阶泰勒展开构造每一细化插值刀位点处各旋转轴角加速度的逼近计算公式；然后，依据分治优化策略建立各旋转轴以角加速度变化最小为目标的最小二乘优化目标函数，并给出求解方法，获得细化插值刀位点处机床各旋转轴的旋转角；最后，正向合成细化插值刀位点处的刀轴矢量；采用的具体步骤为：(1)将刀轴矢量变换到机床坐标系下，设刀触点局部坐标系为ξ^(l)，工件坐标系为ξ^(w)，机床坐标系为ξ^(m)，则刀触点坐标系ξ^(l)到机床坐标系ξ^(m)的逆向运动学变换表示为：T(ξ^(l)→ξ^(m))＝T(ξ^(w)→ξ^(m))·T(ξ^(l)→ξ^(w))   (1)式中，T为由坐标系间平移矢量T_t和旋转矩阵T_r构成运动变换矩阵，由于坐标系间的平移变换不改变矢量的方向，故刀触点局部坐标系ξ^(l)下的刀轴矢量a^(l)到机床坐标系ξ^(m)下刀轴矢量a^(w)的逆向运动学变换表示为：a^(m)＝T_r(ξ^(w)→ξ^(m))·T_r(ξ^(l)→ξ^(w))·a^(l)；   (2)(2)反解关键刀轴矢量对应的机床各旋转轴的旋转角，设根据切削特性和刀具可行空间设定的关键刀位为其中为刀心点，为工件坐标系ξ^(w)下的刀轴矢量，即这样，工件坐标系ξ^(w)下刀轴矢量a^(w)到机床坐标系ξ^(m)下刀轴矢量a^(m)的逆向运动变换表示为：a^(m)＝T_r(ξ^(w)→ξ^(m))·a^(w)   (3)通常工件坐标系ξ^(w)与机床坐标系ξ^(m)具有相同的初始位相，即式(3)中T_r(ξ^(w)→ξ^(m))为单位阵，由此建立工件坐标系ξ^(w)下刀轴矢量a^(w)与机床坐标系ξ^(m)下刀轴矢量a^(m)间的变换关系：a^(m)＝T_r(A,Φ^A)·T_r(C,Φ^C)·[001]^T＝a^(w)   (4)即，${[{\mathrm{sin\Phi }}^C{\mathrm{sin\Phi }}^A,-{\mathrm{cos\Phi }}^C{\mathrm{sin\Phi }}^A,{\mathrm{cos\Phi }}^A]}^T={[a_x^{\left(w\right)},a_y^{\left(w\right)},a_z^{\left(w\right)}]}^T---\left(5\right)$式(4)和式(5)中，Φ^A、Φ^C为机床A、C轴的旋转角，反解式(5)，得到关键刀轴矢量a^(w)对应的机床A、C轴的旋转角，计算公式为：$\left\{\begin{array}{c}{\Phi }^A=\arccos \left(a_z^{\left(w\right)}\right)\\ {\Phi }^C=a\tan 2(a_x^{\left(w\right)},a_y^{\left(w\right)})\end{array}\right.;---\left(6\right)$(3)给出机床各旋转轴角加速度的逼近计算公式，设细化插值刀位点为其中刀轴矢量a^(w)所对应的A、C轴的旋转角为当刀具从q_i运动到q_i+1时，A、C轴的角加速度α_A和α_C利用二阶泰勒展开推导为：${\alpha }_A=2f^2[\left(\frac{{\Phi }_{i+1}^A-{\Phi }_i^A}{Q_{i-1}{L}_i}\right)-\left(\frac{{\Phi }_i^A-{\Phi }_{i-1}^A}{Q_{i-1}{L}_{i-1}}\right)],{\alpha }_C=2f^2[\left(\frac{{\Phi }_{i+1}^C-{\Phi }_i^C}{Q_{i-1}{L}_i}\right)-\left(\frac{{\Phi }_i^C-{\Phi }_{i-1}^C}{Q_{i-1}{L}_{i-1}}\right)]---\left(7\right)$式中，f为刀具进给率，Q_i‑1＝L_i+L_i‑1，其中L_i‑1为q_i‑1与q_i间的距离，L_i为q_i与q_i+1间的距离；(4)建立各旋转轴角加速度分治优化的目标函数，分别以A、C轴角加速度变化最小为目标建立如下最小二乘优化目标函数：${\Omega }_A=\underset{i}{\Sigma }{\left\{2f^2\right[\left(\frac{{\Phi }_{i+1}^A-{\Phi }_i^A}{Q_{i-1}{L}_i}\right)-\left(\frac{{\Phi }_i^A-{\Phi }_{i-1}^A}{Q_{i-1}{L}_{i-1}}\right)\left]\right\}}^2,{\Omega }_C=\underset{i}{\Sigma }{\left\{2f^2\right[\left(\frac{{\Phi }_{i+1}^C-{\Phi }_i^C}{Q_{i-1}{L}_i}\right)-\left(\frac{{\Phi }_i^C-{\Phi }_{i-1}^C}{Q_{i-1}{L}_{i-1}}\right)\left]\right\}}^2---\left(8\right)$(5)给出求解上述优化目标函数的方法，以A轴为例，其优化目标函数Ω_A取得极值的条件为将该式展开并进行推导，将其转化为如下的矩阵方程：$M^{A,\alpha }{\Phi }_f^{A,\alpha }=B^{A,\alpha }---\left(9\right)$式中，M^A,α为(n‑m)×(n‑m)的系数矩阵，B^A,α和分别为m个已知关键刀位点处A轴旋转角和n‑m个未知细化插值刀位点处A轴旋转角所构成的列向量，对于五轴机床的另一旋转轴C轴，获得如下的类似矩阵方程：$M^{C,\alpha }{\Phi }_f^{C,\alpha }=B^{C,\alpha }---\left(10\right)$上述矩阵方程由公式Φ_f＝(M^TM)^‑1(M^TB)统一求解，其中M为M^A,α或M^C,α，B为B^A,α或B^C,α，上述矩阵方程的解Φ_f就是优化后细化插值刀位点处A、C轴的旋转角(6)正向合成细化插值刀位点处的刀轴矢量，将优化后的A、C轴的旋转角带入下式：$a^{\left(w\right)}={[a_x^{\left(w\right)},a_y^{\left(w\right)},a_z^{\left(w\right)}]}^T={[{\mathrm{sin\Phi }}^C{\mathrm{sin\Phi }}^A,-{\mathrm{cos\Phi }}^C{\mathrm{sin\Phi }}^A,{\mathrm{cos\Phi }}^A]}^T---\left(11\right)$得到细化插值刀位点处保证各旋转轴角加速度变化最小且平稳光顺的刀轴矢量a^(w)。