一种精确计算双各向异性介质球电磁散射的方法

摘要

本发明提出了一种精确计算双各向异性介质球电磁散射的方法。本发明步骤如下：1.利用无源麦克斯韦方程组和双各向异性媒介的本征方程推导磁感应强度B的微分方程；2.将微分方程中和B相关的因子以球矢量波函数的形式表达，然后利用球矢量波函数M,N的正交性质得出一个含参的矩阵方程，先利用矩阵方程满足非零解的条件计算出该矩阵方程的参数，再将参数代回到含参数的矩阵方程中得到矩阵方程的非零解；3.构造一个新的函数，用新函数                                               重新表示磁感应强度B，进而求出介质球内部的电磁场，然后把介质球内的电磁场和球外的入射电磁场、散射电磁场代入到边界条件中，得出散射矩阵。本发明适用于求解电尺寸较小的双各向异性介质球的电磁散射。

主权项

一种精确计算双各向异性介质球电磁散射的方法，其特征在于包括如下步骤：步骤1.利用无源麦克斯韦方程组和双各向异性媒介的本征方程推导出关于磁感应强度B的微分方程；步骤2.将微分方程中和B相关的因子以球矢量波函数的形式表达出来，然后利用球矢量波函数M,N的正交性质得出一个含参数的矩阵方程，先利用矩阵方程满足非零解的条件计算出该矩阵方程的参数，再将参数代回到含参数的矩阵方程中得到矩阵方程的非零解；步骤3.构造一个新的函数，用新函数V_l重新表示磁感应强度B，进而求出介质球内部的电磁场，然后把介质球内的电磁场和球外的入射电磁场、散射电磁场代入到边界条件中，得出散射矩阵；所述步骤1中，将各向异性媒介本征方程中添加一项变为双各向异性媒介，双各向异性媒介的本征方程具体如下：$\begin{array}{cc}D=\overline{ϵ}·E+\bar{\xi }·H& B=\bar{\mu }·H---\end{array}\left(1\right)$$\overline{ϵ}={ϵ}_s\left[\begin{array}{ccc}{ϵ}_t& -{\mathrm{iϵ}}_g& 0\\ {\mathrm{iϵ}}_g& {ϵ}_t& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\bar{\xi }=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& \xi \end{array}\right],\bar{\mu }={\mu }_s\left[\begin{array}{ccc}{\mu }_t& -{\mathrm{i\mu }}_g& 0\\ {\mathrm{i\mu }}_g& {\mu }_t& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$其中，电位移矢量D、电场强度E、磁场强度H和磁感应强度B都是矢量，以黑色粗体来表示矢量；i表示虚数单位；ε_s,ε_t,ε_g,μ_s,μ_t,μ_g是用来衡量媒介电磁特性的参数；无源麦克斯韦方程组具体如下：$▿\times E=i\omega B---\left(2a\right)$$▿\times H=-i\omega D---\left(2b\right)$$▿·B=0---\left(2c\right)$$▿·D=0---\left(2d\right)$把式1代入到式2a、2b、2c、2d中，推导出磁感应强度B的微分方程如下：$▿\times [{\overline{ϵ}}^{-1}{ϵ}_s·(▿\times {\mu }_s{\bar{\mu }}^{-1}·B)]+i\omega ▿\times [\bar{\xi }·B]-k_s^{2}B=0---\left(3\right)$其中，符号×表示对一个矢量求旋度；ω为电磁波的频率；为的逆；$k_s^2={\omega }^2{ϵ}_s{\mu }_s;$所述步骤2中，将式3中B写成球矢量波函数的形式，具体如下：$B=\underset{n=1}{\overset{+\infty }{\Sigma }}\underset{m=-n}{\overset{+n}{\Sigma }}{\bar{E}}_{mn}[d_{mn}{M}_{mn}^{\left(1\right)}(k,r)+c_{mn}{N}_{mn}^{\left(1\right)}(k,r)]---\left(4\right)$${ϵ}_s{\overline{ϵ}}^{-1}·(▿\times {\mu }_s{\bar{\mu }}^{-1}·B)=k\underset{n=0}{\overset{+\infty }{\Sigma }}\underset{m=-n}{\overset{+n}{\Sigma }}{\bar{E}}_{mn}({\overline{\stackrel{‾}{c}}}_{mn}{M}_{mn}^{\left(1\right)}+{\overline{\stackrel{‾}{d}}}_{mn}{N}_{mn}^{\left(1\right)}+{\overline{\stackrel{‾}{w}}}_{mn}{L}_{mn}^{\left(1\right)})---\left(5\right)$$\bar{\xi }·B=\underset{n=0}{\overset{+\infty }{\Sigma }}\underset{m=-n}{\overset{+n}{\Sigma }}{\bar{E}}_{mn}({\hat{d}}_{mn}{M}_{mn}^{\left(1\right)}+{\hat{c}}_{mn}{N}_{mn}^{\left(1\right)}+{\hat{w}}_{mn}{L}_{mn}^{\left(1\right)})---\left(6\right)$(4‑6)式中的展开系数分别是：$\begin{array}{cc}{\overline{\stackrel{‾}{d}}}_{mn}=\underset{q,p}{\Sigma }\frac{{\bar{E}}_{pq}}{{\bar{E}}_{mn}}({\bar{p}}_{mn}^{pq}{\bar{d}}_{pq}+{\tilde{p}}_{mn}^{pq}{\bar{c}}_{pq}),& {\overline{\stackrel{‾}{c}}}_{mn}=\underset{q,p}{\Sigma }\frac{{\bar{E}}_{pq}}{{\bar{E}}_{mn}}({\bar{O}}_{mn}^{pq}{\bar{d}}_{pq}+{\tilde{O}}_{mn}^{pq}{\bar{c}}_{pq})\end{array}---\left(7\right)$$\begin{array}{cc}{\overline{\stackrel{‾}{w}}}_{mn}=\underset{q,p}{\Sigma }\frac{{\bar{E}}_{pq}}{{\bar{E}}_{mn}}({\bar{q}}_{mn}^{pq}{\bar{d}}_{pq}+{\tilde{q}}_{mn}^{pq}{\bar{c}}_{pq}),& {\bar{d}}_{mn}=\underset{v=1}{\overset{+\infty }{\Sigma }}\underset{u=-v}{\overset{+v}{\Sigma }}\frac{{\bar{E}}_{uv}}{{\bar{E}}_{mn}}({\tilde{g}}_{mn}^{uv}{d}_{uv}+{\bar{g}}_{mn}^{uv}{c}_{uv})\end{array}---\left(8\right)$${\bar{c}}_{mn}=\underset{v=1}{\overset{+\infty }{\Sigma }}\underset{u=-v}{\overset{+v}{\Sigma }}\frac{{\bar{E}}_{uv}}{{\bar{E}}_{mn}}({\tilde{e}}_{mn}^{uv}{d}_{uv}+{\bar{e}}_{mn}^{uv}{c}_{uv})---\left(9\right)$${\tilde{g}}_{pq}^{mn}={\sigma }_{nq}{\sigma }_{mp}+\left[\frac{(n^2+n-m^2){\bar{\mu }}_t^{\prime }+{\mathrm{m\mu }}_g^{\prime }}{n(n+1)}\right]{\sigma }_{nq}{\sigma }_{mp}---\left(10\right)$${\tilde{e}}_{pq}^{mn}=\frac{i(n+m)[m{\bar{\mu }}_t^{\prime }-(n+1){\mu }_g^{\prime }]{\sigma }_{n-1,q}{\sigma }_{mp}}{n(2n+1)}+\frac{i(n-m+1)[m{\bar{\mu }}_t^{\prime }+{\mathrm{n\mu }}_g^{\prime }]{\sigma }_{n+1,q}{\sigma }_{mp}}{(n+1)(2n+1)}---\left(11\right)$${\bar{g}}_{pq}^{mn}=-\frac{i(n+m)(n+1)[m{\bar{\mu }}_t^{\prime }+(n-1){\mu }_g^{\prime }]{\sigma }_{n-1,q}{\sigma }_{mp}}{n(n-1)(2n-1)}-\frac{in(n-m+1)[m{\bar{\mu }}_t^{\prime }-(n+2){\mu }_g^{\prime }]{\sigma }_{n+1,q}{\sigma }_{mp}}{(n+1)(n+2)(2n+1)}---\left(12\right)$$\begin{array}{c}{\bar{e}}_{pq}^{mn}=[1+\frac{(4n^2+4n-3){\mathrm{m\mu }}_g^{\prime }}{n(n+1)(2n-1)(2n+3)}]{\sigma }_{nq}{\sigma }_{mp}+\frac{[(2n^2+2n+3)m^2+(2n^2+2n-3)n(n+1)]{\bar{\mu }}_t^{\prime }}{n(n+1)(2n-1)(2n+3)}{\sigma }_{nq}{\sigma }_{mp}\\ -\frac{(n+1)(n+m)(n+m-1)}{(n-1)(2n-1)(2n+1)}{\bar{\mu }}_t^{\prime }{\sigma }_{n-2,q}{\sigma }_{mp}-\frac{n(n-m+2)(n-m+1)}{(n+2)(2n+1)(2n+3)}{\bar{\mu }}_t^{\prime }{\sigma }_{n+2,q}{\sigma }_{mp}\end{array}---\left(13\right)$其中：当n＝q时，δ_nq＝1；当n≠q时，δ_nq＝0，${\mu }_t^{\prime }=\frac{{\mu }_t}{{\mu }_t^2-{\mu }_g^2},{\mu }_g^{\prime }=-\frac{{\mu }_g}{{\mu }_t^2-{\mu }_g^2},{ϵ}_t^{\prime }=\frac{{ϵ}_t}{{ϵ}_t^2-{ϵ}_g^2},{ϵ}_g^{\prime }=-\frac{{ϵ}_g}{{ϵ}_t^2-{ϵ}_g^2}$$\begin{array}{cc}{\bar{p}}_{pq}^{mn}={\bar{e}}_{pq}^{mn}{|}_{{\overline{ϵ}}_t^{\prime }={\bar{\mu }}_t^{\prime },{ϵ}_g={\mu }_g},& {\tilde{p}}_{pq}^{mn}={\tilde{e}}_{pq}^{mn}{|}_{{\overline{ϵ}}_t^{\prime }={\bar{\mu }}_t^{\prime },{ϵ}_g={\mu }_g}\end{array}---\left(14\right)$$\begin{array}{cc}{\bar{O}}_{pq}^{mn}={\bar{g}}_{pq}^{mn}{|}_{{\overline{ϵ}}_t^{\prime }={\bar{\mu }}_t^{\prime },{ϵ}_g={\mu }_g},& {\tilde{O}}_{pq}^{mn}={\tilde{g}}_{pq}^{mn}{|}_{{\overline{ϵ}}_t^{\prime }={\bar{\mu }}_t^{\prime },{ϵ}_g={\mu }_g}\end{array}---\left(15\right)$${\hat{d}}_{mn}=\underset{v=1}{\overset{+\infty }{\Sigma }}\underset{u=-v}{\overset{+v}{\Sigma }}\frac{{\bar{E}}_{uv}}{{\bar{E}}_{mn}}({\tilde{r}}_{mn}^{uv}{d}_{uv}+{\bar{r}}_{mn}^{uv}{c}_{uv}),{\hat{c}}_{mn}=\underset{v=1}{\overset{+\infty }{\Sigma }}\underset{u=-v}{\overset{+v}{\Sigma }}\frac{{\bar{E}}_{uv}}{{\bar{E}}_{mn}}({\tilde{s}}_{mn}^{uv}{d}_{uv}+{\bar{s}}_{mn}^{uv}{c}_{uv})---\left(16\right)$$\begin{array}{cc}{\tilde{r}}_{pq}^{mn}={\tilde{g}}_{pq}^{mn}·\xi {|}_{{\bar{\mu }}_r^{\prime }=-1,{\mu }_k^{\prime }=0},& {\tilde{s}}_{pq}^{mn}={\tilde{e}}_{pq}^{mn}·\xi {|}_{{\bar{\mu }}_r^{\prime }=-1,{\mu }_k^{\prime }=0}\end{array}---\left(17\right)$${\bar{r}}_{pq}^{mn}={\bar{g}}_{pq}^{mn}·\xi {|}_{{\bar{\mu }}_r^{\prime }=-1,{\mu }_k^{\prime }=0},{\bar{s}}_{pq}^{mn}={\bar{e}}_{pq}^{mn}·\xi {|}_{{\bar{\mu }}_r^{\prime }=-1,{\mu }_k^{\prime }=0}---\left(18\right)$其中，与表示一样，表示球矢量波函数，上标(1)表示矢量波函数由第一类球贝塞尔函数构成，下标mn表示球矢量波函数中的参数；(4)式中的d_mn、c_mn是双各向异性介质中磁通密度B的展开系数，是待求量，同时k也是一个待定量，r表示球坐标系中的一个矢量；球矢量波函数前面的系数由媒介本征方程中的张量决定的，且E₀表示入射电场的场强；$C_{mn}={\left[\frac{2n+1}{n(n+1)}\frac{(n-m)!}{(n+m)!}\right]}^{\frac{1}{2}}$利用球矢量波函数的性质可得：$k^2{\overline{\stackrel{‾}{d}}}_{mn}-k_s^2{d}_{mn}+i\omega \hat{c}=0$$k^2{\overline{\stackrel{‾}{c}}}_{mn}-k_s^2{c}_{mn}+i\omega \hat{d}=0$用矩阵的形式表示如下：$\left[\begin{array}{cc}{k}^2& 0\\ 0& k^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\overline{\stackrel{‾}{d}}\\ \overline{\stackrel{‾}{c}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& i\omega k\\ i\omega k& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hat{d}\\ \hat{c}\end{array}\right]-k_s^2\left[\begin{array}{c}d\\ c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]---\left(20\right)$其中，I是单位矩阵；表示其他类似；d,c表示为待求量d_mn,c_mn的矩阵，m,n,u,v,p,q表示整数；表达式如下，$\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{c}\hat{d}\\ \hat{c}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\tilde{R}& \bar{R}\\ \tilde{S}& \bar{S}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}d\\ c\end{array}\right]& \left[\begin{array}{c}\overline{\stackrel{‾}{d}}\\ \overline{\stackrel{‾}{c}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\tilde{p}& \bar{p}\\ \tilde{\theta }& \bar{\theta }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}d\\ c\end{array}\right]\end{array}$$\begin{array}{cc}{\tilde{R}}_{mn,uv}=\frac{{\bar{E}}_{uv}}{{\bar{E}}_{mn}}{\tilde{r}}_{mn}^{uv}& {\tilde{S}}_{mn,uv}=\frac{{\bar{E}}_{uv}}{{\bar{E}}_{mn}}{\tilde{S}}_{mn}^{uv}\end{array}$$\begin{array}{cc}{\bar{R}}_{mn,uv}=\frac{{\bar{E}}_{uv}}{{\bar{E}}_{mn}}{\bar{r}}_{mn}^{uv}& {\bar{S}}_{mn,uv}=\frac{{\bar{E}}_{uv}}{{\bar{E}}_{mn}}{\bar{s}}_{mn}^{uv}\end{array}$${\tilde{p}}_{mn,uv}=\underset{p,q}{\Sigma }\frac{{\bar{E}}_{uv}}{{\bar{E}}_{mn}}({\bar{p}}_{mn}^{pq}{\tilde{g}}_{pq}^{uv}+{\tilde{p}}_{mn}^{pq}{\tilde{e}}_{pq}^{uv}),{\bar{p}}_{mn,uv}=\underset{p,q}{\Sigma }\frac{{\bar{E}}_{uv}}{{\bar{E}}_{mn}}({\bar{p}}_{mn}^{pq}{\bar{g}}_{pq}^{uv}+{\tilde{p}}_{mn}^{pq}{\bar{e}}_{pq}^{uv})$${\tilde{\theta }}_{mn,uv}=\underset{p,q}{\Sigma }\frac{{\bar{E}}_{uv}}{{\bar{E}}_{mn}}({\bar{o}}_{mn}^{pq}{\tilde{g}}_{pq}^{uv}+{\tilde{o}}_{mn}^{pq}{\tilde{e}}_{pq}^{uv}),{\tilde{\theta }}_{mn,uv}=\underset{p,q}{\Sigma }\frac{{\bar{E}}_{uv}}{{\bar{E}}_{mn}}({\bar{o}}_{mn}^{pq}{\bar{g}}_{pq}^{uv}+{\tilde{o}}_{mn}^{pq}{\bar{e}}_{pq}^{uv})$式20转变为如下形式：$(\left[\begin{array}{cc}{k}^2& 0\\ 0& k^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\tilde{p}& \bar{p}\\ \tilde{\theta }& \bar{\theta }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& i\omega k\\ i\omega k& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\tilde{R}& \bar{R}\\ \tilde{S}& \bar{S}\end{array}\right]-k_s^{2}I)\left[\begin{array}{c}d\\ c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]---\left(21\right)$式(21)表达的含义是：存在这样的参数k使得方程有非零解，通过矩阵知识知道只需令式(21)的行列式为零，解出参数k，参数k记解为k_l,(l＝1,2,3…)，再用k_l代入式21求出方程不为零的解[d_mn,l c_mn,l]^‑1，所述的步骤3中构造新的函数V_l具体如下：$V_l=-\frac{k_l}{\omega }\underset{n=1}{\overset{+\infty }{\Sigma }}\underset{m=-n}{\overset{+n}{\Sigma }}{\bar{E}}_{mn}[d_{mn,l}{M}_{mn}^{\left(1\right)}(k_l,r)+c_{mn,l}{N}_{mn}^{\left(1\right)}(k_l,r)]$其中α_l为待定系数，由介质球体表面的边界条件决定；令其中a_l为表示V_l的权重；相应得到球内部的磁场电场把球外部的入射电场E_I，磁场H_I、散射电场E_s、磁场H_s代入到如下边界条件中：[E_I+E_s]×e_r＝E_l×e_r   [H_I+H_s]×e_r＝H_l×e_r其中e_r为电磁波传播的方向矢量；化简整理后得出散射矩阵(21)式，这样就计算出雷达散射截面。