基于卧式研球机钢球研磨的无打滑调控方法

摘要

本发明涉及基于卧式研球机钢球研磨的无打滑调控方法，通过建立垂直于沟槽的受力模型和沿沟槽的受力模型，分析使钢球在研磨过程中z轴，y轴和z轴都不打滑需满足的条件，确立实际研磨压力和转速盘的转速的取值范围，最后根据钢球半径和摩擦系数调整钢球研磨时相应的实际研磨压力和研磨盘的转速。通过对研磨盘垂直于沟槽面和沿沟槽面两个方向分别进行动力学分析，确定出卧式研球机正常工作时实际研磨压力及转动盘的转速的取值范围，然后再根据该取值范围以及钢球研磨特性对研磨时实际研磨压力和转动盘的进行适当的调整，有效防止了钢球在研磨盘中研磨时发生打滑的现象，从而能够较大程度的提高钢球表面的精度。

主权项

基于卧式研球机钢球研磨的无打滑调控方法，其特征在于该方法包括如下步骤：1)求取钢球的重力分解式：绘制钢球在卧式研球机研磨盘上的结构见图，通过受力分析，确立钢球在不同象限中的重力分解式，具体如下：$\left\{\begin{array}{c}{G}_n=Gcos\gamma \\ G_t=-Gsin\gamma \end{array}\right.---\left(1a\right),$$\left\{\begin{array}{c}{G}_n=Gcos\gamma \\ G_t=G\sin \gamma \end{array}\right.---\left(1b\right),$$\left\{\begin{array}{c}{G}_n=-Gcos\gamma \\ G_t=Gsin\gamma \end{array}\right.---\left(1c\right),$$\left\{\begin{array}{c}{G}_n=-Gcos\gamma \\ G_t=-Gsin\gamma \end{array}\right.---\left(1d\right);$其中，式(1a)为钢球在第一象限的重力分解式，式(1b)为钢球在第二象限的重力分解式，式(1c)为钢球在第三象限的重力分解式，式(1d)为钢球在第四象限的重力分解式，上式中G表示钢球重力，G_n表示为钢球重力在球心与研磨盘圆心连线上的分量，G_t表示钢球重力在研磨盘圆周切线方向上的分量，γ表示球心与研磨盘中心的连线和竖直方向的夹角；2)建立垂直于沟槽的受力模型：钢球与两研磨盘之间的接触点分别是A₀和A₁、A₂，对三个接触点A₀和A₁、A₂处进行受力分析，并建立垂直于沟槽的受力模型，具体如下：钢球若要在沟槽中不发生绕z轴方向的打滑，需满足的动力学方程(3)：式中，N₀、N₁、N₂分别为三接触点处的实际研磨压力；F₀、F₁、F₂分别为三接触点处垂直于沟槽的滑动摩擦力；R^*为钢球受到的惯性力；M^*为钢球受到的惯性力偶矩矢，r为钢球的半径；3)求取研磨盘实际研磨压力允许的最小值，具体如下：设所述三接触点A₀和A₁、A₂处的临界压力分别为[N₀]、[N₁]、[N₂]，临界滑动摩擦力分别为[F₀]、[F₁]、[F₂]，则有如下关系式：[F₀]＝f[N₀]， [F₁]＝f[N₁]， [F₂]＝f[N₂]      (4)由式(3)～式(4)联立可得式(5)$\left\{\begin{array}{c}\left[N_0\right]=\frac{(-2+\sqrt{2})}{2}[\frac{-2R*f}{1+f^2}+\frac{2G_{n}f}{1+f^2}-\frac{\sqrt{2}{M}^{*}}{rf}]\\ \left[N_1\right]=\frac{(-2+\sqrt{2})}{2}[\frac{(1+\sqrt{2}+f)R^{*}}{1+f^2}\frac{(1+\sqrt{2}+f)G_n}{1+f^2}-\frac{M^{*}}{rf}]\\ \left[N_2\right]=\frac{(2-\sqrt{2})}{2}[\frac{(1+\sqrt{2}-f)R^{*}}{1+f^2}\frac{(1+\sqrt{2}-f)G_n}{1+f^2}+\frac{M^{*}}{rf}]\end{array}\right.---\left(5\right)$其中，f为摩擦系数；式(5)近似地表示为式(6)：$\left\{\begin{array}{c}\left[N_0\right]=\frac{(\sqrt{2}-1)M^{*}}{rf}\\ \left[N_1\right]=\frac{(2-\sqrt{2})M^{*}}{2rf}\\ \left[N_2\right]=\frac{(2-\sqrt{2})M^{*}}{2rf}\end{array}\right.---\left(6\right);$对于运动中的钢球，转动惯量J和惯性力偶矩矢M^*分别为：$\left\{\begin{array}{c}J=\frac{2}{5}{\mathrm{mr}}^2\\ M^{*}={\mathrm{J\omega }}_1\times {\omega }_0\end{array}\right.---\left(7\right);$其中，ω₁表示钢球绕自身球心的转速，ω₀表示为钢球绕研磨盘中心公转的转速；为使钢球不发生绕z轴方向的打滑，所述三接触点处的临界压力需小于三接触点处的实际研磨压力，其关系式为：$\left\{\begin{array}{c}\left[N_0\right]<N_0\\ \left[N_1\right]<N_1\\ \left[N_2\right]<N_2\end{array}\right.---\left(8\right);$根据式(6)～式(8)可以得出N₀的下限不等式为：$N_0>\frac{2(\sqrt{2}-1){\mathrm{mr\omega }}_0{\omega }_{1}cos\theta }{5f}---\left(9\right);$其中θ表示偏转角，m表示单个钢球的质量；4)建立沿沟槽的受力模型，具体如下：钢球若要在沟槽中不发生绕x轴、y轴方向的打滑，需满足的动力学方程(11)：其中，F₃、F₄、F₅为所述三接触点处沿沟槽的滑动摩擦力，M₀、M₁、M₂为三接触点处的枢转摩擦力矩；m₀、m₁、m₂为三接触点处的滚转摩擦力矩；m_x为三接触点处枢转摩擦力矩和滚转摩擦力矩在x轴上投影的代数和、m_y为三接触点处枢转摩擦力矩和滚转摩擦力矩在y轴上投影的代数和；5)求取研磨盘研磨压力允许的最大值，具体如下：略去滚转摩擦力矩，只考虑枢转摩擦力矩在x轴，y轴上的投影，则m_x、m_y的表达式为式(13)：联立式(11)和式(13)可得式(14)：$\left\{\begin{array}{c}{F}_3=\frac{(\sqrt{2}-1)(M_1+M_2-{\mathrm{rG}}_t)}{r}\\ F_4=\frac{(2-\sqrt{2})}{2r}[-(\sqrt{2}+1)M_0+M_1-(1+\sqrt{2})M_2-{\mathrm{rG}}_t]\\ F_5=\frac{\sqrt{2}}{2r}[M_0+M_1-(1+\sqrt{2})M_2+(1-\sqrt{2}){\mathrm{rG}}_t]\end{array}\right.---\left(14\right);$所述三接触点处的枢转摩擦力矩分别为：$\left\{\begin{array}{c}{M}_0=\frac{3\pi f}{2}{N}_0\sqrt[3]{\frac{3{\mathrm{rN}}_0}{4}(\frac{1-{{\upsilon }_g}^2}{E_g}+\frac{1-{{\upsilon }_y}^2}{E_y})}\\ M_1=\frac{3\pi f}{2}{N}_1\sqrt[3]{\frac{3{\mathrm{rN}}_1}{4}(\frac{1-{{\upsilon }_g}^2}{E_g}+\frac{1-{{\upsilon }_y}^2}{E_y})}\\ M_2=\frac{3\pi f}{2}{N}_2\sqrt[3]{\frac{3{\mathrm{rN}}_2}{4}(\frac{1-{{\upsilon }_g}^2}{E_g}+\frac{1-{{\upsilon }_y}^2}{E_y})}\end{array}\right.---\left(15\right);$其中，E_g表示钢球的弹性模量，E_y表示研磨盘的弹性模量，υ_g表示钢球的泊松比，υ_y表示研磨盘的泊松比；所述三接触点处的实际研磨压力的相对关系为：$N_0:N_1:N_2=\sqrt{2}:1:1---\left(16\right);$联立式(15)和式(16)将式(14)化简为(17)：$\left\{\begin{array}{c}{F}_3=\frac{\sqrt[3]{2}(\sqrt{2}-1)}{r}{M}_0-(\sqrt{2}-1)G_t\\ F_4=\frac{-(2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1+2^{-\frac{1}{6}})}{2r}{M}_0-\frac{2-\sqrt{2}}{2}{G}_t\\ F_5=\frac{\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}-2^{\frac{5}{6}}}{2r}{M}_0-\frac{2-\sqrt{2}}{2}{G}_t\end{array}\right.---\left(17\right);$若要使钢球在转动时不发生绕x轴、y轴方向打滑需满足的条件为：|F₃|<N₀f   (18a)， |F₄|<N₁f   (18b)， |F₅|<N₂f    (18c)比较式(17)中三个滑动摩擦力的大小，有F₄大于其它两个，选取F₄的表达式作为代表式，将式(17)中F₄的表达式代入式(18b)化简可得式(19)：$\frac{1}{f}[\frac{1+2^{-\frac{1}{6}}(\sqrt{2}-1)}{r}{M}_0+(\sqrt{2}-1)G_t]<N_0---\left(19\right)$由式(15)中可以得出，M₀正比于N₀^4/3，将式(15)中M₀的表达式代入式(19)中求解，得解为N₀<B,同理，对式(18a)化简求解，得解为N₀<A；对式(18c)化简求解，得解为N₀<C；6)求取研磨盘的转速的最大允许值：为使钢球在研磨过程中z轴，y轴和z轴都不打滑，需满足如下关系式：$\frac{2(\sqrt{2}-1){\mathrm{mr\omega }}_0{\omega }_{1}cos\theta }{5f}<N_0<min\{A,B,C\}---\left(20\right);$所述三个接触点A₀和A₁、A₂对应的公转半径依次为R₀、R₁、R₂，A,B,C均是与研磨盘转速无关的常数，运用刚体运动学的普遍定理，在三接触点处建立钢球的无打滑研磨运动方程为：$\left\{\begin{array}{c}{\omega }_0{R}_0+{\omega }_{1}rcos\theta ={\mathrm{\Omega R}}_0\\ {\omega }_0{R}_1-{\omega }_{1}r\sin (\alpha -\theta )=0\\ {\omega }_0{R}_2-{\omega }_{1}r\sin (\beta +\theta )=0\end{array}\right.---\left(21\right);$其中：Ω表示研磨盘的转速；θ表示偏转角，r表示钢球半径；通过MATLAB对式(21)进行求解，可以得出三个研磨参数分别为：$\left\{\begin{array}{c}\tan \theta =\frac{-R_1\sin \beta +R_2\sin \alpha }{R_1\cos \beta +R_2\cos \alpha }\\ {\omega }_0=\frac{R_0\sin (\alpha +\beta )\Omega }{R_0\sin (\alpha +\beta )+R_1\cos \beta +R_2\cos \alpha }\\ {\omega }_1=\frac{R_0{R}_2\Omega }{r[R_0\sin (\beta +\theta )+R_2\cos \theta ]}\end{array}\right.---\left(22\right)$把式(22)代入式(20)可知，下限表达式正比于Ω²，推出Ω<D，即D为研磨盘的转速允许的最大值，其中α表示点A₁与球心的连线和竖直方向的夹角，β表示点A₂与球心的连线和竖直方向的夹角；7)根据确立的实际研磨压力和转速盘的转速的取值范围，根据钢球半径和摩擦系数调整钢球研磨时相应的实际研磨压力和研磨盘的转速。