镇定单输入单输出多时滞系统的PID控制器设计方法

摘要

镇定单输入单输出多时滞系统的比例积分微分PID控制器设计方法，步骤如下：1）利用工控系统对以输送到流浆箱中的低浓纸浆为输入，以制造出的成品纸厚度为输出的造纸生产过程进行辨识，给出被控系统的多时滞模型；2）采用单位反馈控制结构，结合改进的Nyquist稳定判据和推广的Hermite定理，基于被控对象模型参数计算出能够保证闭环系统稳定的所有PID控制器的稳定集合，首先选取足够大的频率上界ω^*，计算出比例增益k_p的最大允许稳定范围；接着对k_p的最大允许稳定范围进行遍历，对每个遍历点k_p，根据多时滞系统稳定的充分必要条件给出(k_d,k_i)的稳定域，从而获得(k_p,k_i,k_d)的稳定集合。只要在所求取的PID控制器稳定集合中选取控制参数，并执行PID控制程序，均能使被控对象运行在稳定状态，实现系统的稳定控制。

主权项

镇定单输入单输出多时滞系统的PID控制器设计方法，其特征在于所述控制方法包括以下步骤：(1)先利用工控系统对以输送到流浆箱中的低浓纸浆为输入，以制造出的成品纸厚度为输出的造纸生产过程进行辨识，给出具有如下形式的多时滞模型G(s)：$G\left(s\right)=\frac{{\beta }_v{s}^v+\underset{i=0}{\overset{v-1}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{f_i}{\Sigma }}{\beta }_{ij}{s}^i{e}^{-{\mathrm{s\theta }}_{ij}}}{s^u+\underset{i=0}{\overset{u-1}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{h_i}{\Sigma }}{\alpha }_{ij}{s}^i{e}^{-{\mathrm{s\tau }}_{ij}}}---\left(1\right)$令G(s)的分子和分母分别为V(s)和U(s)；式(1)中，u和v分别表示U(s)和V(s)中s项的最高阶次，u>v，τ_ij和α_ij是U(s)中sⁱ项所对应的时滞和系数，h_i是U(s)中sⁱ项所对应的时滞块的个数，θ_ij和β_ij是V(s)中sⁱ项所对应的时滞和系数，f_i是V(s)中sⁱ项所对应的时滞块的个数，β_v为V(s)的最高阶次项的系数；然后，将辨识出的模型参数送到主机的存储单元RAM中；(2)建立前馈回路中具有PID控制器C(s)和多时滞被控模型G(s)的单位反馈系统，其中，C(s)为具有以下形式的PID控制器：$C\left(s\right)=k_p+\frac{k_i}{s}+k_{d}s---\left(2\right)$这里，k_p、k_i和k_d分别为控制器的比例、积分和微分增益；(3)确定系统的闭环特征函数δ(s)为δ(s)＝sU(s)+V(s)(k_ds²+k_ps+k_i)   (3)令ω为频率，U_r(ω)和U_i(ω)为U(jω)的实部和虚部，V_r(ω)和V_i(ω)为V(jω)的实部和虚部，将闭环特征函数乘以V(‑s)且令s＝jω，得到δ'(jω)＝p(ω,k_i,k_d)+jq(ω,k_p)其中,p(ω,k_i,k_d)＝p₁(ω)+(k_i‑ω²k_d)[V_r²(ω)+V_i²(ω)]+jq(ω,k_p)   (4)q(ω,k_p)＝ω{q₁(ω)+k_p[V_r²(ω)+V_i²(ω)]}   (5)p(ω,k_i,k_d)和q(ω,k_p)中的p₁(ω)和q₁(ω)分别为：p₁(ω)＝ω[U_r(ω)V_i(ω)‑U_i(ω)V_r(ω)]   (6)q₁(ω)＝U_r(ω)V_r(ω)+U_i(ω)V_i(ω)   (7)(4)选取频率值ω^*＝10；(5)令Re[V(jω)]和Im[V(jω)]分别为V(jω)的实部与虚部，根据下式计算ω由0变化到ω^*时所对应的V(jω)的幅角变化范围这里，当v为偶数时，w₀<w₁<w₂<…<w_e是Im[V(jω)]在[0,ω^*)的零点；反之当v为奇数时，w₀<w₁<w₂<…<w_e是Re[V(jω)]在[0,ω^*)的零点,e+1表示零点的个数；(6)确定k_p的最大可允许稳定范围：令Q表示f₁(ω)＝k_p与f₂(ω)＝‑q₁(ω)/[V_r²(ω)+V_i²(ω)]在(0,ω^*)上的交点数，给出满足下式的k_p范围，即为k_p的最大可允许稳定范围，其中，j(V)表示V(s)在正虚轴上的零点数，为ω由0变化到ω^*时所对应的V(jω)的幅角变化范围；(7)令k_p的最大可允许稳定范围为[k_pmin,k_pmax]，将k_p值在该范围内进行等间隔的遍历，即每个遍历点为其中F为遍历点之间的间隔，Q＝0,1,…,F；(8)对于其中一个遍历点根据以下步骤确定能够保证闭环系统稳定的(k_d,k_i)二维稳定域：(a)计算方程q(ω,k_p)＝0在区间[0,ω^*)内的实零点，将这些实零点按照从小到大的顺序表示为ω₀,ω₁,ω₂,…,ω_c‑1，其中，c为实零点的个数；(b)令t＝0,1,2,…,c‑1，选择整数i_t的值：(i).如果V(‑jω_t)＝0，那么i_t＝0；(ii).如果V(‑s)在原点处存在零点，那么$i_0=\{sgn\left(\frac{d}{d\omega }\right\{\omega \left[U_r\right(\omega )V_i\left(\omega \right)-U_i\left(\omega \right)V_r\left(\omega \right)]\left\}{|}_{\omega =0}\right)$(iii).若不满足(i)和(ii)，i_t＝1或‑1，其准确值需根据下述(iv)的稳定性条件而定；(iv).令I＝{i₀,i₁,…}，确定能够满足下述等式的所有I：$\frac{u+1}{2}\underset{s=j\omega ,\omega \in (0,\omega *)}{-\Delta \arg \left[V\left(s\right)\right]}=\frac{\pi }{2}\gamma \left(I\right)---\left(10\right)$γ(I)由下式给出：其中，这里ε是一足够小的正实数；(c)对于遍历点(k_d,k_i)二维稳定域由下式决定:[k_i‑A(ω_t)k_d+B(ω_t)]i_t>0   (12)其中，ω_t为式(5)＝0在区间[0,ω^*)内的实零点，t＝0,1,…,c‑1，以及通过求取所有ω_t所对应的由式(12)所决定的不等式组的交集，即可确定具有凸多边形特性的(k_d,k_i)二维稳定域；(9)对于步骤(7)中所给出的k_p的每个遍历点，都重复步骤(8)，确定能使闭环系统稳定的所有PID控制器集合；(10)通过工控系统将辨识出的模型参数输送到PID控制器参数的计算单元，由步骤(2)‑(9)计算出PID控制器的稳定集合，根据需要在控制器的稳定集合中选取控制参数，然后由监控模块执行事先编制好的PID控制程序；经模拟量输入通道传输信号，并将信号接入检测变送装置，再经A/D转换后得到数字量输入信号与此时的系统设定值比较后得到不同时刻的跟踪误差，基于跟踪误差，按照离散域PID控制算式计算控制信号增量Δu(n)的值，与前一时刻的控制信号u(n‑1)通过加法器进行加法运算就得到当前时刻的输出控制信号u(n)，其中，n为当前时刻的采样步数；Δu(n)计算公式如下：Δu(n)＝b₁e(n)+b₂e(n‑1)+b₃e(n‑2)   (13)其中，b₁＝(k_pR+k_d+R²k_i)/R，b₂＝‑(k_pR+2k_d)/R，b₃＝k_d/R，R为系统采样周期，Δu(n)为当前采样步数为n时控制器输出信号增量，e(n)为当前采样步数为n时的跟踪误差，e(n‑1)为采样步数为n‑1时的跟踪误差，e(n‑2)为采样步数为n‑2时的跟踪误差；输出控制信号u(n)由D/A转换后经模拟量输出通道送到调节造纸过程中的烘缸的进气蒸汽压力的进气蒸汽阀，通过控制蒸汽压力来调节纸张的水分，使得系统在达到稳态时，纸张中的水分能够稳定在水分的设定值，以稳定成纸纤维分布的均匀度，提高纸张质量，实现在线控制。