特殊鞍点问题的高效预处理方法

摘要

本发明提供一种特殊鞍点问题的高效预处理方法；对鞍点问题(3)的结构特征,设计结构化的免增广和免Schur余的块三角预处理子(11),(12)；对设计的预处理子进行谱分析,分析当选择合适参数时预处理矩阵将有更好的特征值聚集性,同时弥补原块对角预处理子只能解决k²<1的不足,扩大其适用范围；对具有奇异(1,1)块的非对称鞍点问题(6)结构特征,设计更加广义的结构化块三角预处理子；对设计的预处理子(13)进行谱分析,研究设计的预处理矩阵特征值分布、相应的特征向量和最小多项式,并分析选择最优参数时特征值的聚集性。

主权项

特殊鞍点问题的高效预处理方法，其特征在于，(1)对由离散化混合型时谐Maxwell方程离散产生的鞍点问题${\bar{A}}_{1}x=\left(\begin{array}{cc}A-k^{2}M& B^T\\ B& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}f\\ 0\end{array}\right)=b,$根据此鞍点问题的结构特征,设计两种结构化免增广和免Schur余的块三角预处理子:$M_{\xi ,\eta }=\left(\begin{array}{cc}A+(\xi -k^2)M& (1+\xi \eta )B^T\\ 0& -\eta L\end{array}\right),---\left(11\right)$和$H_{\xi ,\eta }=\left(\begin{array}{cc}A-k^{2}M+{\mathrm{\xi B}}^T{L}^{-1}B& (1+\xi \eta )B^T\\ 0& -\eta L\end{array}\right),---\left(12\right)$(2)对设计的预处理子(11)和(12),分析其构造及应用代价和已有的免增广和免Schur余的块对角预处理子相当,分析参数最优选取时特征值的聚集性，同时弥补原块对角预处理子只能解决k²<1的不足,扩大其适用范围；(3)对具有奇异(1,1)块的非对称鞍点问题${\bar{A}}_{2}x=\left(\begin{array}{cc}A& B^T\\ C& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}f\\ g\end{array}\right)=b,$根据此鞍点问题的结构特征,研究设计出一种广义的结构化块三角预处理子:$T_{\xi ,\eta }=\left(\begin{array}{cc}A+{\mathrm{\xi B}}^T{W}^{-1}C& (1-\xi \eta )B^T\\ 0& \eta W\end{array}\right),---\left(13\right)$(4)对设计的结构化的预处理子(13),进行理论谱分析,研究预处理矩阵等的特征值分布、相应的特征向量和最小多项式，最后分析,参数满足一定条件时,预处理子等的特征值更加聚集。