基于离散型卡尔曼滤波的超高层建筑风荷载反分析方法

摘要

本发明公开了一种基于离散型卡尔曼滤波的超高层建筑风荷载反分析方法，该方法包括以下步骤：（1）基于实测的前几阶模态振型将结构有限测试楼层的风致响应分量（位移或速度）转化为模态风致响应；（2）利用离散型卡尔曼滤波估计未知的模态风致响应分量；（3）通过估计的模态风致响应（位移、速度、加速度）识别结构的模态风荷载；（4）利用模态振型矩阵的广义逆获得结构任意楼层的风荷载时程。该方法可以解决超高层建筑风致响应测点不足的问题，本方法在结构模态参数误差、模态截断误差及测量噪声影响下的风荷载反演结果仍然能够满足工程需要。研究技术为超高层建筑抗风设计及相关研究提供有用的工具及依据。

主权项

一种基于离散型卡尔曼滤波的超高层建筑风荷载反分析方法，其特征在于,包括以下步骤：1)利用有限单元法获取超高层建筑的质量矩阵M、刚度矩阵K和阻尼矩阵C，超高层建筑的层数为n；2)输入实测的p个楼层的风致响应分量，所述风致响应为位移或速度响应分量中的一种；3)根据结构前q阶模态振型，将实测的风致响应分量转化为模态风致响应，并在模态空间中构造离散化的状态方程和测量方程；3.1)将实测的风致响应分量转化到模态空间；y_p×1＝Φ_p×q·U_q×1(1≤p≤n,1≤q≤n)式中y_p×1为p个楼层风致响应，Φ_p×q为对应最高阶为q阶的模态振型矩阵，U_q×1为前q阶模态响应；由广义逆矩阵Φ_p×q⁺，结构实测的模态位移响应可近似表示为：$\left\{\begin{array}{c}{\hat{U}}_{q\times 1}={\left({\Phi }_{p\times q}\right)}^{+}·y_{p\times 1}\\ {\hat{U}}_{q\times 1}={\left({\Phi }_{p\times q}\right)}^{-}·y_{p\times 1}(ifp=q)\end{array}\right.$式中为U_q×1的估计值；准确模态位移与估计模态位移之间误差向量可以用下式表示:$\Delta =U_{q\times 1}-{\hat{U}}_{q\times 1}$3.2)将质量矩阵M、刚度矩阵K和阻尼矩阵C按质量归一化进行模态转化；$M_i={\Phi }_i^T{\mathrm{M\Phi }}_i=1,(i=1,2,...,n),K_i={\Phi }_i^T{\mathrm{K\Phi }}_i={\omega }_i^2,(i=1,2,...,n)$式中Φ_i、M_i、K_i分别为第i阶按质量规准化的振型向量、模态质量和模态刚度；3.3)构造离散化的状态方程和测量方程；动力方程可如下解耦为：$f_i={\stackrel{··}{U}}_i+C_i{\stackrel{·}{U}}_i+{\omega }_i^2{U}_i$式中f_i、C_i分别为第i阶按质量规准化的模态荷载、模态阻尼；U_i分别为第i阶模态加速度、模态速度、模态位移，应用Taylor展开式有：$\left\{\begin{array}{c}{U}_i\left(k\right)=U_i(k-1)+{\stackrel{·}{U}}_i(k-1)·\Delta t+{\stackrel{··}{U}}_i(k-1)·{\mathrm{\Delta t}}^2/2+j_i(k-1)·{\mathrm{\Delta t}}^3/6+{\stackrel{·}{j}}_i(k-1)·{\mathrm{\Delta t}}^4/24+o\left[{\mathrm{\Delta t}}^4\right]\\ {\stackrel{·}{U}}_i\left(k\right)={\stackrel{·}{U}}_i(k-1)+{\stackrel{··}{U}}_i(k-1)·\Delta t+j_i(k-1)·{\mathrm{\Delta t}}^2/2+{\stackrel{·}{j}}_i(k-1)·{\mathrm{\Delta t}}^3/6+o\left[{\mathrm{\Delta t}}^3\right]\\ {\stackrel{··}{U}}_i\left(k\right)={\stackrel{··}{U}}_i(k-1)+j_i(k-1)·\Delta t+{\stackrel{·}{j}}_i(k-1)·{\mathrm{\Delta t}}^2/2+o\left[{\mathrm{\Delta t}}^2\right]\\ j_i\left(k\right)=j_i(k-1)+{\stackrel{·}{j}}_i(k-1)·\Delta t+o\left[\Delta t\right]\end{array}\right.$式中Δt是采样间隔，j_i(k‑1)和分别是k‑1时间点处的模态加速度的一阶导数和二阶导数，令$X_i\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{U}_i\left(k\right)\\ {\stackrel{·}{U}}_i\left(k\right)\\ {\stackrel{··}{U}}_i\left(k\right)\\ j_i\left(k\right)\end{array}\right]$则X_i(k)用离散型的状态方程可以如下表示：$X_i\left(k\right)=A·X_i(k-1)+B·{\stackrel{·}{j}}_i(k-1)$其中A表示状态传递矩阵，B表示噪声矩阵，如下$A=\left[\begin{array}{cccc}1& \Delta t& {\mathrm{\Delta t}}^2/2& {\mathrm{\Delta t}}^3/6\\ 0& 1& \Delta t& {\mathrm{\Delta t}}^2/2\\ 0& 0& 1& \Delta t\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{c}\Delta t^4/24\\ \Delta t^3/6\\ \Delta t^2/2\\ \Delta t\end{array}\right]$离散型的测量方程可以表示如下：Z_i(k)＝H·X_i(k)+W_i(k)其中Z_i(t)表示测量的模态响应，W_i(k)表示测量噪声矢量，H表示测量矩阵，取决于测量响应的类型，如果测量响应是位移，H＝[1 0 0 0]，如果测量响应是速度，H＝[0 1 0 0]；4)基于离散型卡尔曼滤波理论，利用已测部分楼层的风致响应估计未知结构风致响应分量；${\hat{X}}_i\left(k\right)={\hat{X}}_i(k/k-1)+G_i\left(k\right)\left(Z_i\right(k)-H{\hat{X}}_i(k/k-1\left)\right);$其中，${\hat{X}}_i(k/k-1)=A{\hat{X}}_i(k-1);$P_i(k/k‑1)＝A P_i(k‑1)A^T+BQ_iB^T；G_i(k)＝P_i(k/k‑1)H^T(HP_i(k/k‑1)H^T+R_i)^‑1；P_i(k)＝(I‑G_i(k)H)P_i(k/k‑1)；式中，G_i(k)是时间点k处的卡尔曼滤波增益，P_i(k)表示滤波误差协方差矩阵；I为单位矩阵，Q_i为噪声协方差，A表示状态传递矩阵，B表示噪声矩阵；5)根据预测的模态响应，估计模态风荷载，进而利用模态振型矩阵的广义逆获得结构任意楼层的风荷载时程；${\hat{f}}_i\left(k\right)={\Psi }_i·{\hat{X}}_i\left(k\right)$其中${\Psi }_i=\left[\begin{array}{cccc}1& C_i& {\omega }_i^2& 0\end{array}\right],$则可估计结构风致外荷载$\hat{F}={\left({\left({\Phi }_{n\times q}\right)}^T\right)}^{+}\hat{f}$式中Φ_n×q为振型矩阵Φ_n×n的前q列，为估计的模态荷载向量$(\hat{f}={\left[\begin{array}{cccc}{\hat{f}}_1& {\hat{f}}_2& ...& {\hat{f}}_q\end{array}\right]}^T).$