基于神经网络动态面滑模控制的机械臂系统饱和补偿控制方法

摘要

一种基于神经网络动态面滑模控制的机械臂系统饱和补偿控制方法，包括：建立机械臂伺服系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及控制参数；根据微分中值定理，将系统中的非线性输入饱和线性化处理，推导出带有未知饱和的机械臂伺服系统模型；基于动态面滑模控制方法，计算控制系统跟踪误差，滑模面及微分。本发明提供一种能够有效补偿未知饱和，避免反演法带来的复杂度爆炸问题的神经网络动态面滑模控制方法，实现系统的稳定快速跟踪。

主权项

一种基于神经网络动态面滑模控制的机械臂系统饱和补偿控制方法，其特征在于：所述控制方法包括以下步骤：步骤1，建立机械臂伺服系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及控制参数，过程如下：1.1机械臂伺服系统的动态模型表达形式为$\{\begin{array}{c}I\stackrel{··}{q}+K\left(q-\theta \right)+MgLsin\left(q\right)=0\\ J\stackrel{··}{\theta }-K\left(q-\theta \right)=v\left(u\right)\end{array}---\left(1\right)$其中，q和θ分别为机械臂连杆和电机的角度；g为重力加速度；I为连杆的惯量；J是电机的惯量；K为弹簧刚度系数；M和L分别是连杆的质量和长度；u是控制信号；v(u)为饱和，表示为：$v\left(u\right)=sat\left(u\right)=\left\{\begin{array}{cc}{v}_{max}\mathrm{sgn}\left(u\right),& \left|u\right|\ge v_{max}\\ u,& \left|u\right|\le v_{max}\end{array}\right.---\left(2\right)$其中sgn(u)，为未知非线性函数；v_max为未知饱和参数，满足v_max＞0；定义x₁＝q，x₃＝θ，式(1)改写为$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2=-\frac{MgL}{I}sin\left(x_1\right)-\frac{K}{I}\left(x_1-x_3\right)\\ {\stackrel{·}{x}}_3=x_4\\ {\stackrel{·}{x}}_4=\frac{1}{J}v\left(u\right)+\frac{K}{J}\left(x_1-x_3\right)\\ y=x_1.\end{array}\right.---\left(3\right)$其中，y为系统输出轨迹；1.2定义变量z₁＝x₁，z₂＝x₂，$z_4=-x_2\frac{MgL}{I}cos\left(x_1\right)-\frac{K}{I}\left(x_2-x_4\right),$则式(3)改写成$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{z}}_1=z_2\\ {\stackrel{·}{z}}_2=z_3\\ {\stackrel{·}{z}}_3=z_4\\ {\stackrel{·}{z}}_4=f_1\left(\stackrel{-}{z}\right)+b_{1}v\left(u\right)\\ y=z_1\end{array}\right.---\left(4\right)$其中，$\stackrel{-}{z}={[z_1,z_2,z_3]}^T,f_1\left(\stackrel{-}{z}\right)=\frac{MgL}{I}sin\left(z_1\right)\left(z_2^2-\frac{K}{J}\right)-\left(\frac{MgL}{I}cos\left(z_1\right)+\frac{K}{J}+\frac{K}{I}\right)z_3,b_1=\frac{K}{IJ};$步骤2，根据微分中值定理，将系统中的非线性输入饱和进行线性化处理，推导出带有未知饱和的机械臂伺服系统模型，过程如下：2.1对饱和模型进行光滑处理$\begin{array}{c}g\left(u\right)=v_{\max }\times tan\left(\frac{u}{v_{\max }}\right)\\ =v_{\max }\times \left(\frac{e^{u/v_{\max }}-e^{-u/v_{\max }}}{e^{u/v_{\max }}+e^{-u/v_{\max }}}\right)\end{array}---\left(5\right)$则v(u)＝sat(u)＝g(u)+d(u)            (6)其中，d(u)表示光滑函数与饱和模型之间存在的误差；2.2根据微分中值定理，存在δ∈(0,1)使$g\left(u\right)=g\left(u_0\right)+g_{u\xi }\left(u-u_0\right)---\left(7\right)$其中$g_{u_{\xi }}=\frac{\partial g\left(u\right)}{\partial u}{|}_{u=u_{\xi }}>0,u_{\xi }=\xi u+(1-\xi )u_0,$u₀∈(0,u)；选择u₀＝0，将式(7)改写为$g\left(\text{u}\right)=g_{u\xi }u\text{---}\left(8\right)$2.2由式(6)和式(8)，将式(4)改写为以下等效形式：$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{z}}_1=z_2\\ {\stackrel{·}{z}}_2=z_3\\ {\stackrel{·}{z}}_3=z_4\\ {\stackrel{·}{z}}_4=f_2\left(\stackrel{-}{z}\right)+b_{2}u\\ y=z_1\end{array}\right.---\left(9\right)$其中，$f_2\left(\stackrel{-}{z}\right)=f_1\left(\stackrel{-}{z}\right)+d\left(u\right),b_2=b_1\times g_{u\xi };$步骤3，计算控制系统跟踪误差，滑模面及微分，过程如下：3.1定义控制系统的跟踪误差，滑模面为$\left\{\begin{array}{c}e=y-y_d\\ s_1=e+\lambda \int edt\end{array}\right.---\left(10\right)$其中，y_d为二阶可导期望轨迹，λ为常数，且λ＞0；3.2对式(10)求导得：$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{·}{e}=\stackrel{·}{y}-{\stackrel{·}{y}}_d=z_2-{\stackrel{·}{y}}_d\\ {\stackrel{·}{s}}_1=\stackrel{·}{e}+\lambda e=z_2-{\stackrel{·}{y}}_d+\lambda e\end{array}\right.---\left(11\right)$3.3设计虚拟控制量${\stackrel{-}{z}}_2=-k_1{s}_1+{\stackrel{·}{y}}_d-\lambda e---\left(12\right)$其中，k₁为常数，且k₁＞0；3.4定义一个新的变量β₂，让虚拟控制量通过时间常数为τ₂的一阶滤波器：${\tau }_2{\stackrel{·}{\beta }}_2+{\beta }_2={\stackrel{-}{z}}_2,{\beta }_2\left(0\right)={\stackrel{-}{z}}_2\left(0\right)---\left(13\right)$3.5定义$y_2={\beta }_2-{\stackrel{-}{z}}_2,$则${\stackrel{·}{\beta }}_2=\frac{{\stackrel{-}{z}}_2-{\beta }_2}{{\tau }_2}=-\frac{y_2}{{\tau }_2}---\left(14\right)$步骤4，针对式(4)，设计虚拟控制量，过程如下：4.1定义误差变量s_i＝z_i‑β_i,i＝2,3                  (15)式(15)的一阶微分为${\stackrel{·}{s}}_i=z_{i+1}-{\stackrel{·}{\beta }}_{i,j}=2,3---\left(16\right)$4.2设计虚拟控制量${\bar{z}}_{i+1}=-k_i{s}_i-s_{i-1}+{\stackrel{·}{\beta }}_i---\left(17\right)$其中，k_i为常数，且k_i＞0；4.3定义一个新的变量β_i+1，让虚拟控制量通过时间常数为τ₂的一阶滤波器：${\tau }_{i+1}{\stackrel{·}{\beta }}_{i+1}+{{\beta }_i}_{+1}={\stackrel{-}{z}}_{i+1},{{\beta }_i}_{+1}\left(0\right)={\stackrel{-}{z}}_{i+1}\left(0\right)---\left(\text{18}\right)$4.4定义$y_{i+1}={{\beta }_i}_{+1}\text{-}{\stackrel{·}{z}}_{i+1},$则${\stackrel{·}{\beta }}_{i+1}=\frac{{\stackrel{-}{z}}_{i+1}-{{\beta }_i}_{+1}}{{\tau }_{i+1}}=-\frac{y_{i+1}}{{\tau }_{i+1}}---\left(19\right)$步骤5，设计控制器输入，过程如下：5.1定义误差变量s₄＝z₄‑β₄               (20)计算式(20)的一阶微分为${\stackrel{·}{s}}_4=f_2\left(\stackrel{-}{z}\right)+b_{2}u-{\stackrel{·}{\beta }}_4\text{---}\left(21\right)$5.2为了逼近不能直接得到的非线性不确定项以及b₂，定义以下神经网络其中，W^*为理想权重，ε^*为神经网络理想误差值，满足|ε^*|≤ε_N，表达式为：其中，a,b,c,d为常数；5.3设计控制器输入u：其中，为理想权重W的估计值，为理想误差上界ε^*的估计值；5.4设计自适应率：其中，Γ＝Γ^T＞0，Γ₃是自适应增益矩阵，σ，v_εN都是常数，且σ＞0，v_εN＞0；步骤6，设计李雅普诺夫函数$V=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}\left(s_i^2+y_{i+1}^2\right)+\frac{1}{2b_2}{s}_4^2+\frac{1}{2}{\tilde{W}}^T{\Gamma }^{-1}\tilde{W}+\frac{1}{2v_{ϵN}}{\widetilde{ϵ}}_N^2---\left(26\right)$对式(26)进行求导得：$\stackrel{·}{V}=\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}\left(s_i{\stackrel{·}{s}}_i+y_{i+1}{\stackrel{·}{y}}_{i+1}\right)+\frac{1}{b_2}{s}_4{\stackrel{·}{s}}_4+{\tilde{W}}^T{\Gamma }^{-1}\stackrel{·}{\hat{W}}+\frac{1}{v_{ϵN}}{\widetilde{ϵ}}_N{\stackrel{·}{\widehat{ϵ}}}_N---\left(27\right)$如果则判定系统是稳定的。