具有输出约束和非对称死区输入的纳米机电系统自适应backstepping控制方法

摘要

本发明公开了一种具有输出约束和非对称死区输入的纳米机电系统自适应backstepping控制方法，包括以下步骤：对纳米机电系统进行数学描述，分析其混沌行为；构造控制器的第一个误差向量e₁，并构造正切障碍李亚谱诺夫函数，进而取得虚拟控制输入；利用神经网络以任意小的误差逼近非线性函数的特性，计算控制器的第二个误差向量e₂，并构造李亚谱诺夫函数，获得具有输出约束和非对称死区输入的纳米机电系统控制器，完成自适应backstepping控制方法。本发明有效地抑制了纳米机电系统的混沌振荡和死区颤抖，并且在保证输出没有违反约束的前提下提高了系统的精度与鲁棒性。

主权项

具有输出约束和非对称死区输入的纳米机电系统自适应backstepping控制方法，其特征是该自适应backstepping控制方法包括以下步骤：步骤(1)：建立纳米机电系统动力学模型为了建立纳米机电系统动力学模型，假设交流驱动电压的幅值低于偏置电压，得到具有混沌特征的纳米机电系统动力学方程：$\stackrel{··}{x}+\mu \stackrel{·}{x}+\alpha x+{\mathrm{\beta x}}^3=\gamma (\frac{1}{{(1-x)}^2}-\frac{1}{{(1+x)}^2})+\frac{A}{{(1-x)}^2}sin\left(\omega \tau \right)---\left(1\right)$其中$x=\frac{z}{d},\omega =\frac{\Omega }{{\omega }_0},{\omega }_0=\sqrt{\frac{K_1}{m_{eff}}},\tau ={\omega }_{0}t,A=2\gamma \frac{V_{AC}}{V_b},\mu =\frac{b}{m_{eff}{\omega }_0},\beta =\frac{K_3{d}^2}{m_{eff}{\omega }_0^2},$d为间隙的初始宽度，z为梁中点的垂直位移，Ω为交流电压频率，V_AC为交流电压幅值，V_b为偏置电压，C₀为板状结构电容，K₃为立方刚度系数，K₁为线性刚度系数，b为阻尼系数，m_eff为集中质量；引入新的变量：$x_1=x,x_2=\stackrel{·}{x},G\left(x\right)=\gamma (\frac{1}{{(1-x)}^2}-\frac{1}{{(1+x)}^2})---\left(2\right)$把新的变量代入式(1)得到如下等式：$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2=-{\mathrm{\mu x}}_2-{\mathrm{\alpha x}}_1-{\mathrm{\beta x}}_1^3+G\left(x_1\right)+\frac{A}{{(1-x_1)}^2}sin\left(\omega \tau \right)+u\end{array}\right.---\left(3\right)$其中u为控制输入；所述执行器的非对称死区输入特征解耦成线性项和扰动项：Γ(u)＝m(t)^u+d₁(t)    (4)其中$m\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}{m}_l,u\le 0\\ m_r,u>0\end{array}\right.,d_1\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}-m_r{b}_r,u\ge b_r\\ -m\left(t\right)u_i,-b_l<u<b_r,\\ m_l{b}_l,u\le -b_l\end{array}\right.$m_i和b_i,i＝l,r未知，m_r和m_l为死区特征的左和右斜率，b_r和b_l为执行器死区输入中断点；为了保证输出约束在给定的范围内，正切障碍函数具有如下关系式：+∞＞y tan(y)≥0 for y∈(‑π/2,π/2)   (5)其中tan(·)为正切函数；综上，构造具有输出约束和非对称死区输入的纳米机电系统动力学方程：$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2,y=x_1\\ {\stackrel{·}{x}}_2=-{\mathrm{\mu x}}_2-{\mathrm{\alpha x}}_1-{\mathrm{\beta x}}_1^3+G+\frac{A}{{(1-x_1)}^2}sin\left(\omega \tau \right)+\Gamma \left(u\right)\end{array}\right.---\left(6\right)$步骤(2)：求取步骤(1)选择的具有输出约束和非对称死区输入的纳米机电系统自适应backstepping控制方法神经网络是最常用的函数逼近器，它能在f_n(X):Rⁿ→R上逼近任意光滑函数，并具有如下关系式：f_n(X)＝θ'^Tξ(X)   (7)其中为输入矢量，θ'＝[θ′₁,θ′₂,…,θ′_l]^T∈R^l为权值矢量，l＞1为神经元的节点数，ξ(X)＝[ξ₁(X),ξ₂(X),…_,ξ_l(X)]^T∈R^l为基函数矢量，ξ_i(X)为高斯基函数，并具有如下关系式：${\xi }_i\left(X\right)=\exp [-\frac{{(X-{\mu }_i)}^T(X-{\mu }_i)}{2{\sigma }_i^2}],i=1,2,...,l---\left(8\right)$其中μ_i＝[μ_i1,μ_i2,…,μ_in]^T为权重因子，σ_i为宽度因子；由于万能逼近特性，任何未知的非线性项以任意小的误差被神经网络逼近，并具有如下关系式：f(X)＝θ^*Tξ(X)+ε   (9)其中ε为逼近误差，参数向量θ^*有界并定义如下：${\theta }^{*}=\arg \underset{\theta \in \Omega }{min}\left\{\underset{X\in D}{sup}\right|f\left(X\right)-{\theta }^{\prime T}\xi \left(X\right)\left|\right\}---\left(10\right)$其中Ω为针对θ'的紧域，存在已知常数ε₀并满足关系式0＜|ε|≤ε₀；不等式成立${\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{F}_i\right)}^2\le n\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{F}_i^2---\left(11\right)$其中F_i∈R；对于任意给定的参考信号x_d，纳米机电系统的动态误差定义如下：$\left\{\begin{array}{c}{e}_1=x_1-x_d\\ e_2=x_2-{\alpha }_2\end{array}\right.---\left(12\right)$其中α₂为虚拟控制输入，其表达式稍后给出；步骤(21)构建一个正切障碍李亚谱诺夫函数$V_1=e_1\left(t\right)tan\left(\frac{\pi }{2{\beta }_1}{e}_1\right(t\left)\right)---\left(13\right)$其中参数β₁＝a‑d₂＞0为对e₁(t)的约束，即|e₁(t)|＜β₁；利用杨氏不等式，对式(13)求导得到$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{V}}_1={\stackrel{·}{e}}_1\left(t\right)[tan\left(\frac{\pi }{2{\beta }_1}{e}_1\right(t\left)\right)+\frac{\pi }{2{\beta }_1}{e}_1\left(t\right){\sec }^2\left(\frac{\pi }{2{\beta }_1}{e}_1\right(t\left)\right)]\\ =(e_2+{\alpha }_2-{\stackrel{·}{x}}_d)M\end{array}---\left(14\right)$其中$M=tan\left(\frac{\pi }{2{\beta }_1}{e}_1\right(t\left)\right)+\frac{\pi }{2{\beta }_1}{e}_1\left(t\right){\sec }^2\left(\frac{\pi }{2{\beta }_1}{e}_1\right(t\left)\right);$设计虚拟控制输入：${\alpha }_2=-k_{1}M+{\stackrel{·}{x}}_d---\left(15\right)$其中k₁＞0为设计参数；由式(14)和式(15)可得${\stackrel{·}{V}}_1\le -k_1{M}^2+e_{2}M---\left(16\right)$步骤(22)构造李亚谱诺夫函数$V_2=V_1+\frac{1}{2}{e}_2^2+\frac{1}{2{\gamma }_2}{\tilde{\lambda }}_2^2+\frac{1}{2{\Gamma }_2}{\tilde{g}}_2^2---\left(17\right)$其中γ₂和Γ₂为设计常数；对上式求导得到其中$f_2(·)=-{\mathrm{\mu x}}_2-{\mathrm{\alpha x}}_1-{\mathrm{\beta x}}_1^3+C\left(x_1\right)+\frac{A}{{(1-x_1)}^2}sin\left(\omega \tau \right)-{\stackrel{·}{a}}_2+d_1,g_2=m;$在工作环境中，系统和执行器死区参数(μ,α,β,γ,ω,m,d₁)受到温度和材料磨损的影响，人们很难获得这些参数的精确测量值；同时，虚拟控制输入α₂的导数中包含正切障碍李亚谱诺夫函数，从而使得采用现有控制方法构建控制器变得困难；为了克服上述困难，采用一个神经网络来逼近复杂的非线性耦合函数f₂(·)；即，对于任意给定ε₂＞0，存在一个神经网络并具有关系式：$f_2(·)={\theta }_2^T{\xi }_2+{ϵ}_2---\left(19\right)$其中${\theta }_2={\theta }_2^{*};$把式(16)和式(19)代入式(18)得到其中a₂为设计常数；定义变量其中和为λ₂和g₂的估计值；设计实际控制输入其中k₂为设计常数，η₂为非常小的正值，另外，相应的参数自适应律定义如下：其中m₂和c₂为设计常数；不等式和成立；由式(22)和式(23)可知，下面不等式成立其中δ₂为连续函数并满足关系式假设所设计如式(23)所示具有参数自适应律的如式(22)所示实际控制输入被用来抑制如式(6)所示具有输出约束和非对称死区输入的纳米机电系统的混沌振荡，通过合理的选择控制参数k₁，k₂，a₂，γ₂，m₂，c₂，Γ₂和η₂，那么闭环系统一致最终有界，同时对于任意给定的p＞0，当初始条件满足$M^2+e_2^2+\frac{1}{{\gamma }_2}{\tilde{\lambda }}_2^2+\frac{1}{{\Gamma }_2}{\tilde{g}}_2^2\le 2p$时e₁收敛于零附近；证明：求解V的导数如下$\begin{array}{c}\stackrel{·}{V}={\stackrel{·}{V}}_2\le -k_1{M}^2+(\frac{1}{2}-k_2)e_2^2-\frac{m_2}{2{\gamma }_2}{\tilde{\lambda }}_2^2-\frac{c_2}{2}{\tilde{g}}_2^2+b_0\\ \le -a_{0}V+b_0\end{array}---\left(25\right)$其中$b_0=\frac{m_2}{2{\gamma }_2}{\lambda }_2^2+\frac{c_2}{2}{g}_2^2+\frac{a_2^2}{2}+\frac{1}{2}({ϵ}_{20}^2+{\delta }_2^2),a_0>\frac{b_0}{p};$另外，通过式(25)可以得到$0\le V\left(t\right)\le \frac{b_0}{a_0}+\left(V\right(t_0)-\frac{b_0}{a_0})e^{-a(t-t_0)}\le \frac{b_0}{a_0}+V\left(t_0\right)---\left(26\right).$