一种复合材料层合结构三维振动分析方法

摘要

本发明涉及的是一种应用于工程力学和振动工程领域的复合材料层合结构三维振动分析方法。本发明包括：提取结构的几何、材料和边界条件参数，对结构每一层沿厚度方向设置J个非均匀分布的计算平面；配置结构在计算平面上的位移；对每个计算平面上的结构位移进行面内分量展开并通过边界特征函数施加边界条件，得到计算平面上结构位移；计算第l层第j计算平面上结构的面内方向应变；求得结构在第l层任意位置的应变和应力；建立结构能量方程；求得结构特征方程。本发明通过空间分层取面把结构分解成多个计算平面，一方面降低结构维度，从而提高计算速度，节约计算成本，另一方面把结构化整为零，便于并行计算，从而提高计算效率。

主权项

一种复合材料层合结构三维振动分析方法，其特征是：(1)提取结构的几何、材料和边界条件参数，对结构每一层沿厚度方向设置J个非均匀分布的计算平面；其中第1个和第J个计算平面分别选取为该层的下表面和上表面；第2到第J‑1个计算平面在厚度方向上的位置选取为移位勒让德多项式P_J‑2(z)在区间[0,h_l]的实零点；P_J‑2(z)表达式如下：$\begin{array}{cc}{P}_{J-2}\left(z\right)=\frac{1}{2^{J-2}(J-2)!}\frac{d^{J-2}}{{\mathrm{dz}}^{J-2}}{\left[{\left(\frac{2z}{h_l}-1\right)}^2-1\right]}^{J-2}=0,& J>2\end{array}$其中，l指的是层合结构的第l层，h_l为该层厚度；(2)配置结构在计算平面上的位移，即结构在第l层第j个计算平面上的结构位移设置为其中α，β为结构空间坐标系面内坐标，i＝1,2,3分别为结构位移在α，β和z方向上的分量；利用拉格朗日插值将结构任意位置的结构位移设定为$u_{il}(\alpha ,\beta ,z)=\underset{j=1}{\overset{J}{\Sigma }}\underset{k\ne j}{\overset{J}{\Pi }}\frac{z-z_l^k}{z_l^j-z_l^k}{u}_{il}^j(\alpha ,\beta )U_{il}^j$其中，为步骤(1)中得到的多项式P_J‑2(z)在区间[0,h_l]的实零点；(3)利用Chebyshev多项式对每个计算平面上的结构位移进行面内分量展开并通过边界特征函数施加边界条件，得到计算平面上结构位移：$u_{il}^j\left(\alpha ,\beta \right)U_{il}^j=F_i\left(\alpha ,\beta \right)\underset{m=0}{\overset{M}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N}{\Sigma }}{U}_{ilmn}^j\cos \left[m\arccos \left(\alpha \right)\right]\cos \left[n\arccos \left(\beta \right)\right];$其中F_i(α,β)＝(1‑α)^a(1+α)^b(1‑β)^c(1+β)^d为边界特征函数；a,b,c,d为边界特征函数系数，这些系数由边界条件确定；M，N为截断级数；(4)由步骤(2)和(3)计算第l层第j计算平面上结构的面内方向应变和横向应变和横向剪切应变和分别为：$\begin{array}{cc}{ϵ}_{l\alpha }^j=\frac{\partial u_{1lmn}^j\left(\alpha ,\beta \right)}{\partial \alpha }{U}_{1lmn}^j,& {ϵ}_{l\beta }^j=\frac{\partial u_{2lmn}^j\left(\alpha ,\beta \right)}{\partial \beta }{U}_{2lmn}^j\end{array}$${\gamma }_{l\alpha \beta }^j=\frac{\partial u_{1lmn}^j\left(\alpha ,\beta \right)}{\partial \beta }{U}_{1lmn}^j+\frac{\partial u_{2lmn}^j\left(\alpha ,\beta \right)}{\partial \alpha }{U}_{2lmn}^j$${ϵ}_{lz}^j=u_{3lmn}^j(\alpha ,\beta )\underset{i=1}{\overset{J}{\Sigma }}{M}_{li}\left(z_l^j\right)U_{3lmn}^j$${\gamma }_{l\alpha z}^j=u_{1lmn}^j\left(\alpha ,\beta \right)\underset{i=1}{\overset{J}{\Sigma }}{M}_{li}\left(z_l^j\right)U_{1lmn}^j+\frac{\partial u_{3lmn}^j\left(\alpha ,\beta \right)}{\partial \alpha }{U}_{3lmn}^j$${\gamma }_{l\beta z}^j=u_{2lmn}^j\left(\alpha ,\beta \right)\underset{i=1}{\overset{J}{\Sigma }}{M}_{li}\left(z_l^j\right)U_{2lmn}^j+\frac{\partial u_{3lmn}^j\left(\alpha ,\beta \right)}{\partial \beta }{U}_{3lmn}^j$$M_{li}\left(z_l^j\right)=\frac{1}{z_l^j-z_l^i}\underset{k=1,k\ne i}{\overset{J}{\Pi }}\frac{z_l^i-z_l^k}{z_l^j-z_l^k},forj\ne i;M_{li}\left(z_l^i\right)=\underset{k=1,k\ne i}{\overset{J}{\Sigma }}\frac{1}{z_l^i-z_l^k}$(5)由步骤(2)和(4)求得结构在第l层任意位置的应变和应力表达式为$\left[{ϵ}_{l\alpha },{ϵ}_{l\beta },{ϵ}_{lz},{ϵ}_{l\alpha \beta },{ϵ}_{l\alpha z},{ϵ}_{l\beta z}\right]=\underset{j=1}{\overset{J}{\Sigma }}\underset{k\ne j}{\overset{J}{\Pi }}\frac{z-z_l^k}{z_l^j-z_l^k}\left[{ϵ}_{l\alpha }^j,{ϵ}_{l\beta }^j,{ϵ}_{lz}^j,{ϵ}_{l\alpha \beta }^j,{ϵ}_{l\alpha z}^j,{ϵ}_{l\beta z}^j\right]$σ_l＝Cε_l；σ_l＝[σ_lα,σ_lβ,σ_lz,τ_lαβ,τ_lαz,τ_lβz]^T；ε_l＝[ε_lα,ε_lβ,ε_lz,γ_lαβ,γ_lαz,γ_lβz]^T其中C为结构材料系数矩阵；(6)根据步骤(5)建立结构能量方程(U，T)：$\begin{array}{cc}U=\frac{1}{2}\underset{l}{\Sigma }\int \int \int {ϵ}_l^T{C}_l{ϵ}_{l}dzd\beta d\alpha ,& T=\frac{1}{2}\underset{l}{\Sigma }\int \int \int {\rho }_l\left\{\frac{{\partial }^2{u}_{1l}}{\partial t^2}+\frac{{\partial }^2{u}_{2l}}{\partial t^2}+\frac{{\partial }^2{u}_{3l}}{\partial t^2}\right\}dzd\beta d\alpha \end{array}$(7)在步骤(6)基础上建立结构拉格朗日能量泛函L＝U‑T，然后利用Ritz法求得结构特征方程：(K‑ω²M)＝0；其中ω为圆频率；(8)应用Arnoldi算法建立MATLAB求解器输出结构的振动特征数据并判定计算精度，若满足精度要求则输出振动特征数据的固有频率、模态，不满足则继续优化空间分层数量和增加面内位移展开式级数截取量。