一种基于扩展傅里叶振幅的机床重要几何误差源的提取方法

摘要

一种基于扩展傅里叶振幅的机床重要几何误差源的提取方法，基于误差测量数据，利用旋量理论的指数矩阵形式，在机床的拓扑结构的基础上，建立起机床整体的空间误差模型，消除误差模型的高次项，得到误差模型的基本方程。根据EFAST全局灵敏度分析方法，通过选取合适的转换函数，将误差模型由十八维函数转换为一维函数，对该一维函数进行傅立叶级数展开，可获得每一个参数引起的模型及模型输出的总方差。EFAST方法不仅可以同时检验多项几何误差的变化对旋量误差模型结果的影响，还可以分析每一项几何误差变化对模型结果的直接和间接影响，该方法可以被用来提取对机床加工精度影响较大的关键几何误差项。

主权项

一种基于扩展傅里叶振幅的机床重要几何误差源的提取方法，本方法基于误差测量数据，利用旋量理论的指数矩阵形式，在机床的拓扑结构的基础上，建立起机床整体的空间误差模型，对误差模型的高次项削减，得到误差模型的基本方程；根据EFAST全局灵敏度分析方法，通过选取合适的转换函数，将误差模型由十八维函数转换为一维函数，对该一维函数进行傅立叶级数展开，可获得每一个参数引起的模型方V_i及模型输出的总方差V；由于模型输出的总方差是由各参数及参数间耦合作用共同得到的，EFAST方法通过对模型输出方差的分解，可定量的获得每一项几何误差各阶敏感数指数及总敏感数指数；也就是说EFAST方法不仅可以同时检验多项几何误差的变化对旋量误差模型结果的影响，还可以分析每一项几何误差变化对模型结果的直接和间接影响，最终识别出了影响机床加工精度的关键性误差，实现了误差溯源，为精密数控机床的设计提供了重要的理论依据；其特征在于：该方法的实现过程如下，步骤一依据旋量理论建立机床的空间综合误差模型根据旋量理论的指数矩阵形式，将机床的每个运动部分抽象为一个6×1的向量形式；将运动形式及综合误差模块化处理，并用指数矩阵形式表述，根据机床的拓扑结构建立起机床的空间综合误差模型；步骤1.1旋量理论的指数矩阵形式任何刚体的运动都可以被分解为两部分：沿轴向的平移运动及绕轴的旋转运动；即，将各个部件看成旋量；单位旋量在Plücker坐标变成如下：Ψ＝[k^T u^T]^T＝[k₁,k₂,k₃,u₁,u₂,u₃]^T             (1) 表述一个刚体在空间上的任意运动形式，则有：其中，u＝[u₁ u₂ u₃]^T，表示反对称矩阵，如果k＝[k₁ k₂ k₃]^T，则表示为：刚体运动一般都包含平动及转动，向量h在刚体坐标系及参考坐标系是相同的；则刚体的齐次变换矩阵为：旋量的指数形式对应的其次变换矩阵可以写为：当k＝0时，刚体只有平移运动，则齐次变换矩阵可写为：当k≠0时，对于刚体而言也存在着旋转运动，此时指数矩阵为：其中的三角级数展开式表示为：综上，则有对于刚体在空间中的任意运动形式的指数矩阵表示为：当ψ为单位旋量，在||k||≠0时，机械部位的旋转角表示为在||k||＝0时，平移的距离表示为点在不同坐标系中的表示方式不同，它们之间的差异用变换矩阵来表述其关系；旋量也理解为坐标系中的一个点，在不同坐标系的表述方式也有所不同，因此也需要变换矩阵的形式来表述 旋量在不同坐标系的关系，称之为伴随矩阵；刚体的运动旋量若为θψ，其变换形式的指数矩阵可以表述为：则其此坐标系下的伴随指数矩阵形式：伴随指数矩阵满足以下性质：对于机床这样的机械结构，用指数矩阵表述其结构则有：T(0)表示其原始变换矩阵，式(13)可应用于机床的误差建模；步骤1.2机床的空间误差建模一般的，每个轴向的运动都会有6个方向自由度，同时会产生3个平动的误差及3个转动的误差；利用旋量理论，定义了误差模块m_eΨ_e；m_eΨ_e＝[β_x,β_y,β_z,α_x,α_y,α_z]^T            (14) 以X向的几何误差组成为例，分为三部分；第一部分Ψ_xx包含定位误差及沿该方向的滚摆误差α_xx，β_xx；第二部分Ψ_yx是水平面的线性误差及颠摆误差α_yxβ_yx；第三部分Ψ_zx是垂直面的线性误差及偏摆误差α_zx，β_zx；Ψ_xx＝[β_xx,0,0,α_xx,0,0]^T             (15) Ψ_yx＝[0,β_yx,0,0,α_yx,0]^T             (16) Ψ_zx＝[0,0,β_zx,0,0,α_zx]^T             (17) X轴的空间误差可表示为：X轴的误差模型用指数矩阵形式，表示为：同理可以得到其他轴的空间误差模块及指数矩阵的误差模型；步骤1.3关于垂直度和平行度误差的指数矩阵形式由于实际的轴与理想状态下的轴是有所差异的，相邻的两个轴不是绝对的90°；也就是说存在着垂直度误差；对于三个平动轴来说，定义Y轴为理想轴，不存在垂直度误差；则X轴与Y轴之间的垂直度误差为γ_xy，Y轴与Z轴之间的垂直度误差为γ_yz，X与Z之间的垂直度为γ_xz；在Y轴和实际安装的X轴向所组成的平面内，对于X轴仅存在γ_xy，同理在实际Z轴存在其他两项垂直度误差；由于实际轴线方向不可避免的要偏离理想轴的位置，故在坐标变换中应考虑加入垂直度误差，对于理想坐标轴的变换形式：以X向为例，理想状态下的X向单位旋量表示为：Ψ_xi＝[0,0,0,1,0,0]^T             (20) 加入现实状态下的垂直度误差，则X向实际的单位旋量表示为：Ψ_xs＝[0,0,0,cos(γ_xy),‑sin(γ_xy),0]^T             (21) 对应的指数矩阵表示为：另一种写法，将理想的X轴利用伴随矩阵的形式绕Z轴旋转‑γ_xy角度来达到X轴与Y轴呈90°的效果，即：Ψ_zr＝[0,0,1,0,0,0]^T实际情况下，Z轴方向的单位旋量表示为：Ψ_zi＝[0,0,0,0,0,1]^T将两项垂直度误差考虑在内，实际Z轴的位置表示为：其中，Ψ_zs＝[0,0,0,‑sin(γ_xz),‑sin(γ_yz)cos(γ_xz),cos(γ_yz)cos(γ_xz)]^T步骤1.4基于拓扑结构下的三个轴方向误差模型的建立多体系统理论提供了很详细关于机床的拓扑结构模型，在指数矩阵中也同样可以进行应用；理想状态下，机床是不存在误差的；理想状态下的矩阵变换方程可以用T_wideal表示：实际情况下，由于机床部件自身的误差和部件之间位置的误差，将整体部件误差旋量加入到旋量模块中；用T_wactual表示：上式中，S_F＝[0,0,0,0,0,0]，代表地基旋量；在工件坐标系中，根据实际与理想状态下的矩阵变换方程，得到多轴数控机床的空间误差模型：对应空间误差在三个轴向上的分量e_x,e_y,e_z表示为：[e_x,e_y,e_z,1]^T＝E·[0,0,0,1]^T          (28) 略去式中二阶及二阶以上的高次项，便得到空间误差的基本方程；步骤二基于EFAST方法的全局敏感性分析方法EFAST方法是结合傅里叶幅度敏感性检验法的优点提出的一种全局敏感性分析方法；该方法稳健、计算高效并且需要的样本数较低；它采用了方差分析的思想，认为模型输出的方差是由各个输入参数及参数间的相互作用引起的，可以 反映模型输出对输入参数的敏感性；因此，通过模型方差的分解可以得到各个参数及参数之间的耦合作用对总方差的贡献比重，即为参数敏感性指数；应用该方法应事先知道各个待分析几何误差项的几何分布和取值范围；现定义有一模型Y＝f(x)，输入参数为X(x₁，x₂，...，x_n)；每个参数都有一定的变化范围及分布形式，构成了一个多维参数空间；在本方法中，为了分析出各项几何误差对加工精度影响的大小程度，先定义三个轴之间的垂直度误差为已知的，取工作空间x＝300,y＝300,z＝200处为分析点；则误差模型可表示为E＝[e_x,e_y,e_z,0]^T，其中e＝[x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇,x₈,x₉,x₁₀,x₁₁,x₁₂,x₁₃,x₁₄,x₁₅,x₁₆,x₁₇,x₁₈]^T为需要分析的十八项几何误差的函数，设α_xx,α_yx,α_zx,β_xx,β_yx,β_zx,α_xy,α_yy,α_zy,β_yy,β_zy,β_xy,α_xz,α_yz,α_zz,β_xz,β_zz,β_yz＝x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇,x₈,x₉,x₁₀,x₁₁,x₁₂,x₁₃,x₁₄,x₁₅,x₁₆,x₁₇,x₁₈首先为需要分析的参数X_i(i＝1，2，……，n)选取一个取样函数x_i：其中，为[0,2π]之间的一个随机相位，取式中，n为不确定性参数的总数目；w_i为参数的特征频率；s为所有参数共同的独立变量，等间隔在(‑π,π)区间内取N_s＝2Mw_max+1个值，这里的常数M通常取4或6，w_max为的序列{w_i}中的最大值；序列{w_i}应满足非线性相关，即式中，r_i为整数；则y＝f(x₁,x₂,...,x₁₈)可转化为y＝f(s)即f(s)＝f[X₁(sin w₁s),X₂(sin w₂s),...,X₁₈(sin w₁₈s)]  s∈(‑π,π)    (30) 对f(s)进行傅立叶级数展开得：其中：其中，N_s为取样数，s_k＝π/N_s(2k‑N_s‑1),k＝1,2,...,N_s则傅里叶频谱曲线定义为：A_‑j＝A_j,B_‑j＝B_j,Λ_‑j＝Λ_j则由参数x_i输入变化所引起的模型结果方差V_i可以表示为参数w_i的1,2,3…M倍频处的频谱曲线之和，即：其中，：z⁰＝z‑{0}，ω_i为参数x_i所定义的整数频率，其中M一般取4或6，p为整数；则模型总方差V为：由A_p和B_p及参数x_i所对应的频率ω_i通过式(34)、(35)即可获得每一个参数引起的模型方V_i及模型输出的总方差V；由于模型输出的总方差是由各参数及参数间耦合作用共同得到的，可将其分解表示如下：其中：V_ij为参数x_i通过参数x_j贡献的方差(耦合方差)；V_ijm为参数x_i通过参数x_j和x_m贡献的方差；V_12...k为参数x_i通过参数x₁,x₂,...,x_k作用贡献的方差；因此，通过归一化处理，参数x_i的一阶敏感性指数S_i可定义如下：该敏感性指数反映的是参数对模型输出总方差的直接贡献率；同理，参数x_i的二阶及三阶敏感性指数可定义为：对于一个多参数耦合模型而言，参数x_i的全局敏感性指数即为各阶敏感性指数之和，可表示为：S_Ti＝S_i+S_ij+S_ijm+...+S_12...i...k总敏感性指数反映了参数直接贡献率和通过与其他参数的交互耦合作用间接对模型输出总方差的贡献之和，并在参数间无耦合作用时，S_ij和S_ijm等项均为0，S_Ti＝S_i，EFAST分析等同于局部敏感性分析；EFAST方法通过对模型输出方差的分解，可定量地获得每个参数各阶及总敏感度，并根据敏感度来区分参数对模拟结果的可能影响程度；这就使得EFAST方法不仅可以检验多个参数的变化对误差模型结果的影响，还可分析每一个参数变化对模拟结果的直接和间接影响；总灵敏度的具体计算方法如下：先分配给参数X_i一个较大的频率w_i，而为剩余的其它参数设定一组较小的各异的整数频率{w_i}，并且应满足关系w_i≥2M·max{w_i'}；如此便将频域分割成两个部分[1,M·max({w_i'})]和[M·max({w_i'})+1,(N_s‑1)/2] 最后可由公式(39)计算出参数x_i的总灵敏度值：