三级马尔科夫模型开关磁阻电机系统可靠性定量评估方法

摘要

三级马尔科夫模型定量分析开关磁阻电机系统可靠性评估方法，通过对开关磁阻电机驱动系统在第一级故障、第二级故障和第三级故障下系统运行情况进行分析，得到一级故障下有4个有效状态和1个失效状态，二级故障下有14个有效状态和4个失效状态，三级故障下有43个有效状态和14个失效状态，并考虑初始正常状态和最终失效状态，则三级马尔科夫模型有62个有效状态和20个失效状态，建立开关磁阻电机系统三级故障下的状态转移图，得到状态转移矩阵，解得系统处于有效状态的概率矩阵                                               ，计算有效状态概率矩阵各元素之和，由可靠度函数计算出平均无故障时间，从而实现了三级马尔科夫模型定量分析开关磁阻电机系统可靠性评估。具有良好的工程应用价值。

主权项

一种三级马尔科夫模型定量分析开关磁阻电机系统可靠性评估方法，其特征在于步骤如下：通过对开关磁阻电机驱动系统在第一级故障、第二级故障和第三级故障下系统运行情况进行分析，共得到5个一级马尔科夫状态包括4个有效状态和1个失效状态，18个二级马尔科夫状态包括14个有效状态和4个失效状态，57个三级马尔科夫状态包括43个有效状态和14个失效状态，同时考虑初始正常状态和最终失效状态，则三级马尔科夫模型中共有62个有效状态和20个失效状态，建立开关磁阻电机驱动系统在三级故障下的状态转移图，得到三级故障下的有效状态转移矩阵A：$A=\left[\begin{array}{cccc}A1& A11& A12& A13\\ O& A2& O& O\\ O& O& A3& O\\ O& O& O& A4\end{array}\right]---\left(1\right)$状态转移矩阵A为62行62列的方阵，状态转移矩阵A的行为所处有效状态，状态转移矩阵A的列是要转移的下一状态，对应的转移率为状态转移矩阵A中对应的元素，自身状态的转移率是该状态向所有状态(包含失效状态)转移的转移概率和的相反数；式(1)中，A1，A11，A12，A13，A2，A3，A4为非零矩阵，O为零矩阵，子矩阵A1是13行13列的方阵：$A1=\left[\begin{array}{ccc}B1& B21& B31\\ O& B2& O\\ O& O& B3\end{array}\right]---\left(2\right)$式(2)中，B1，B21，B31，B2，B3为非零矩阵，O表示零矩阵，五个非零矩阵中B21和B31仅有1个非零元素，其余均为0元素，五个子矩阵分别是：$B1=\left[\begin{array}{cccccc}-\left({\lambda }_{A1}+{\lambda }_{A2}+{\lambda }_{A3}+{\lambda }_{A4}+{\lambda }_{A5}\right)& {\lambda }_{A1}& 0& 0& 0& 0\\ 0& -\left({\lambda }_{B1}+{\lambda }_{\mathrm{B2}}+{\lambda }_{\mathrm{B3}}+{\lambda }_{\mathrm{B4}}\right)& {\lambda }_{B1}& 0& 0& 0\\ 0& 0& -\left({\lambda }_{C1}+{\lambda }_{\mathrm{C2}}+{\lambda }_{\mathrm{C3}}+{\lambda }_{\mathrm{C4}}\right)& {\lambda }_{C1}& {\lambda }_{C2}& {\lambda }_{C3}\\ & 0& 0& -{\lambda }_{F1}& 0& 0\\ & 0& 0& 0& -{\lambda }_{F2}& 0\\ & 0& 0& 0& 0& -{\lambda }_{F3}\end{array}\right]---\left(3\right)$$B2=\left[\begin{array}{ccc}-({\lambda }_{C5}+{\lambda }_{C6}+{\lambda }_{C7})& {\lambda }_{C5}& {\lambda }_{C6}\\ 0& -{\lambda }_{F4}& 0\\ 0& 0& -{\lambda }_{F5}\end{array}\right]---\left(4\right)$$B3=\left[\begin{array}{cccc}-({\lambda }_{C8}+{\lambda }_{C9}+{\lambda }_{C10}+{\lambda }_{C11})& {\lambda }_{C8}& {\lambda }_{C9}& {\lambda }_{C10}\\ 0& -{\lambda }_{F6}& 0& 0\\ 0& 0& -{\lambda }_{F7}& 0\\ 0& 0& 0& -{\lambda }_{F8}\end{array}\right]---\left(5\right)$$B21=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ {\lambda }_{B2}& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]---\left(6\right)$$B31=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ {\lambda }_{B3}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]---\left(7\right)$子矩阵A2是18行18列的方阵：$A2=\left[\begin{array}{cccc}B5& B61& B71& B81\\ O& B6& O& O\\ O& O& B7& O\\ O& O& O& B8\end{array}\right]---\left(8\right)$式(8)中，B5，B61，B71，B81，B6，B7，B8为非零矩阵，O表示零矩阵，七个非零矩阵中B61，B71和B81仅有1个非零元素，其余均为0元素，七个子矩阵分别是：$B5=\left[\begin{array}{ccccc}-({\lambda }_{B5}+{\lambda }_{B6}+{\lambda }_{B7}+{\lambda }_{B8}+{\lambda }_{B9})& {\lambda }_{B5}& 0& 0& 0\\ 0& -({\lambda }_{C12}+{\lambda }_{C13}+{\lambda }_{C14}+{\lambda }_{C15})& {\lambda }_{C12}& {\lambda }_{C13}& {\lambda }_{C14}\\ 0& 0& -{\lambda }_{F9}& 0& 0\\ 0& 0& 0& -{\lambda }_{F10}& 0\\ 0& 0& 0& 0& -{\lambda }_{F11}\end{array}\right]---\left(9\right)$$B6=\left[\begin{array}{cccc}-({\lambda }_{C16}+{\lambda }_{C17}+{\lambda }_{C18}+{\lambda }_{C19})& {\lambda }_{C16}& {\lambda }_{C17}& {\lambda }_{C18}\\ 0& -{\lambda }_{F12}& 0& 0\\ 0& 0& -{\lambda }_{F13}& 0\\ 0& 0& 0& -{\lambda }_{F14}\end{array}\right]---\left(10\right)$$B7=\left[\begin{array}{cccc}-({\lambda }_{C20}+{\lambda }_{C21}+{\lambda }_{C22}+{\lambda }_{C23})& {\lambda }_{C20}& {\lambda }_{C21}& {\lambda }_{C22}\\ 0& -{\lambda }_{F15}& 0& 0\\ 0& 0& -{\lambda }_{F16}& 0\\ 0& 0& 0& -{\lambda }_{F17}\end{array}\right]---\left(11\right)$$B8=\left[\begin{array}{ccccc}-({\lambda }_{C24}+{\lambda }_{C25}+{\lambda }_{C26}+{\lambda }_{C27}+{\lambda }_{C28})& {\lambda }_{C24}& {\lambda }_{C25}& {\lambda }_{C26}& {\lambda }_{C27}\\ 0& -{\lambda }_{F18}& 0& 0& 0\\ 0& 0& -{\lambda }_{F19}& 0& 0\\ 0& 0& 0& -{\lambda }_{F20}& 0\\ 0& 0& 0& 0& -{\lambda }_{F21}\end{array}\right]---\left(12\right)$$B61=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_{B6}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]---\left(13\right)$$B71=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_{B7}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]---\left(14\right)$$B81=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_{B8}& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]---\left(15\right)$子矩阵A3是12行12列的方阵：$A3=\left[\begin{array}{ccc}B10& B111& B121\\ O& B11& O\\ 0& O& B12\end{array}\right]---\left(16\right)$式(16)中，B10，B111，B121，B11，B12为非零矩阵，O表示零矩阵，五个非零矩阵中B111和B121仅有1个非零元素，其余均为0元素，五个子矩阵分别是：$B10=\left[\begin{array}{cccc}-({\lambda }_{B10}+{\lambda }_{B11}+{\lambda }_{B12}+{\lambda }_{B13})& {\lambda }_{B10}& 0& 0\\ 0& -({\lambda }_{C29}+{\lambda }_{C30}+{\lambda }_{C31})& {\lambda }_{C29}& {\lambda }_{C30}\\ 0& 0& -{\lambda }_{F22}& 0\\ 0& 0& 0& -{\lambda }_{F23}\end{array}\right]---\left(17\right)$$B11=\left[\begin{array}{cccc}-({\lambda }_{C32}+{\lambda }_{C33}+{\lambda }_{C34}+{\lambda }_{C35})& {\lambda }_{C32}& {\lambda }_{C33}& {\lambda }_{C34}\\ 0& -{\lambda }_{F24}& 0& 0\\ 0& 0& -{\lambda }_{F25}& 0\\ 0& 0& 0& -{\lambda }_{F26}\end{array}\right]---\left(18\right)$$B12=\left[\begin{array}{cccc}-({\lambda }_{C36}+{\lambda }_{C37}+{\lambda }_{C38}+{\lambda }_{C39})& {\lambda }_{C36}& {\lambda }_{C37}& {\lambda }_{C38}\\ 0& -{\lambda }_{F27}& 0& 0\\ 0& 0& -{\lambda }_{F28}& 0\\ 0& 0& 0& -{\lambda }_{F29}\end{array}\right]---\left(19\right)$$B111=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_{B11}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]---\left(20\right)$$B121=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_{B12}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]---\left(21\right)$子矩阵A4是19行19列的方阵：$A4=\left[\begin{array}{cccc}B14& B151& B161& B171\\ O& B15& O& O\\ O& O& B16& O\\ O& O& O& B17\end{array}\right]---\left(22\right)$式(22)中，B14，B151，B161，B171，B15，B16，B17为非零矩阵，O表示零矩阵，七个非零矩阵中B151，B161和B171仅有1个非零元素，其余均为0元素，七个子矩阵分别是：$B14=\left[\begin{array}{ccccc}-({\lambda }_{B14}+{\lambda }_{B15}+{\lambda }_{B16}+{\lambda }_{B17}+{\lambda }_{B18})& {\lambda }_{B14}& 0& 0& 0\\ 0& -({\lambda }_{C40}+{\lambda }_{C41}+{\lambda }_{C42}+{\lambda }_{C43})& {\lambda }_{C40}& {\lambda }_{C41}& {\lambda }_{C42}\\ 0& 0& -{\lambda }_{F30}& 0& 0\\ 0& 0& 0& -{\lambda }_{F31}& 0\\ 0& 0& 0& 0& -{\lambda }_{F32}\end{array}\right]---\left(23\right)$$B15=\left[\begin{array}{ccccc}-({\lambda }_{C44}+{\lambda }_{C45}+{\lambda }_{C46}+{\lambda }_{C47}+{\lambda }_{C48})& {\lambda }_{C44}& {\lambda }_{C45}& {\lambda }_{C46}& {\lambda }_{C47}\\ 0& -{\lambda }_{F33}& 0& 0& 0\\ 0& 0& -{\lambda }_{F34}& 0& 0\\ 0& 0& 0& -{\lambda }_{F35}& 0\\ 0& 0& 0& 0& -{\lambda }_{F36}\end{array}\right]---\left(24\right)$$B16=\left[\begin{array}{cccc}-({\lambda }_{C49}+{\lambda }_{C50}+{\lambda }_{C51}+{\lambda }_{C52})& {\lambda }_{C49}& {\lambda }_{C50}& {\lambda }_{C51}\\ 0& -{\lambda }_{F37}& 0& 0\\ 0& 0& -{\lambda }_{F38}& 0\\ 0& 0& 0& -{\lambda }_{F39}\end{array}\right]---\left(25\right)$$B17=\left[\begin{array}{ccccc}-({\lambda }_{C53}+{\lambda }_{C54}+{\lambda }_{C55}+{\lambda }_{C56}+{\lambda }_{C57})& {\lambda }_{C53}& {\lambda }_{C54}& {\lambda }_{C55}& {\lambda }_{C56}\\ 0& -{\lambda }_{F40}& 0& 0& 0\\ 0& 0& -{\lambda }_{F41}& 0& 0\\ 0& 0& 0& -{\lambda }_{F42}& 0\\ 0& 0& 0& 0& -{\lambda }_{F43}\end{array}\right]---\left(26\right)$$B151=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_{B15}& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]---\left(27\right)$$B161=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_{B16}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]---\left(28\right)$$B171=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_{B17}& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]---\left(29\right)$式中，λ_A1、λ_A2、λ_A3、λ_A4、λ_A5、λ_B1、λ_B2、λ_B3、λ_B4、λ_B5、λ_B6、λ_B7、λ_B8、λ_B9、λ_B10、λ_B11、λ_B12、λ_B13、λ_B14、λ_B15、λ_B16、λ_B17、λ_B18、λ_C1、λ_C2、λ_C3、λ_C4、λ_C5、λ_C6、λ_C7、λ_C8、λ_C9、λ_C10、λ_C11、λ_C12、λ_C13、λ_C14、λ_C15、λ_C16、λ_C17、λ_C18、λ_C19、λ_C20、λ_C21、λ_C22、λ_C23、λ_C24、λ_C25、λ_C26、λ_C27、λ_C28、λ_C29、λ_C30、λ_C31、λ_C32、λ_C33、λ_C34、λ_C35、λ_C36、λ_C37、λ_C38、λ_C39、λ_C40、λ_C41、λ_C42、λ_C43、λ_C44、λ_C45、λ_C46、λ_C47、λ_C48、λ_C49、λ_C50、λ_C51、λ_C52、λ_C53、λ_C54、λ_C55、λ_C56、λ_C57、λ_F1、λ_F2、λ_F3、λ_F4、λ_F5、λ_F6、λ_F7、λ_F8、λ_F9、λ_F10、λ_F11、λ_F12、λ_F13、λ_F14、λ_F15、λ_F16、λ_F17、λ_F18、λ_F19、λ_F20、λ_F21、λ_F22、λ_F23、λ_F24、λ_F25、λ_F26、λ_F27、λ_F28、λ_F29、λ_F30、λ_F31、λ_F32、λ_F33、λ_F34、λ_F35、λ_F35、λ_F37、λ_F38、λ_F39、λ_F40、λ_F41、λ_F42、λ_F43是三级马尔科夫模型状态转移率；利用公式：$P\left(t\right)·A=\frac{dP\left(t\right)}{dt}---\left(30\right)$解得开关磁阻电机系统处于有效状态的概率矩阵P(t)：$P\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}{P}_{A1}\left(t\right)\\ P_{A2}\left(t\right)\\ P_{A3}\left(t\right)\\ P_{A4}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(31\right)$式(31)中P_A1(t)、P_A2(t)、P_A3(t)和P_A4(t)分别表示A1子模型、A2子模型、A3子模型和A4子模型中有效状态的概率，如式(32)到(35)所示：式(32)到(35)中，exp表示指数函数，t表示时间，A代表状态转移矩阵；由公式(31)计算有效状态概率矩阵P(t)各元素之和，得到开关磁阻电机系统的可靠度函数R(t)：R(t)＝0.0018exp(‑3.96t)+0.0184exp(‑3.95t)+8.7e‑4exp(‑3.83t)‑0.004exp(‑3.83t)‑1.74exp(‑0.476t)+0.332exp(‑0.237t)+5.14e‑4exp(‑3.74t)‑0.0142exp(‑3.73t)+8.85e‑4exp(‑3.67t)+0.0029exp(‑1.83t)+0.01exp(‑3.64t)‑0.035exp(‑3.64t)+0.004exp(‑1.82t)‑0.003exp(‑3.63t)‑0.011exp(‑3.55t)+0.0544exp(‑1.73t)‑0.026exp(‑3.44t)+0.119exp(‑1.72t)+0.005exp(‑3.43t)‑0.0046exp(‑3.42t)‑0.0211exp(‑3.32t)‑0.108exp(‑3.24t)‑0.0595exp(‑3.24t)+0.00269exp(‑0.404t)‑0.245exp(‑3.22t)+0.145exp(‑3.19t)‑0.0952exp(‑3.11t)‑0.0662exp(‑3.08t)+0.024exp(‑1.54t)+0.005exp(‑3.04t)‑0.166exp(‑2.99t)+0.0345exp(‑2.96t)‑0.0231exp(‑2.95t)+2.05exp(‑0.364t)+0.04exp(‑0.36t)‑2.59exp(‑4.81t)+3.48e‑5exxp(‑4.57t)+1.34e‑5exxp(‑4.43t)+3.54e‑4exp(‑4.39t)+3.3exp(‑4.38t)+1.28e‑5exp(‑4.27t)+1.36e‑5exp(‑4.27t)+0.0013exp(‑4.26t)‑3.08e‑4exp(‑4.14t)+0.01exp(4.07t)+0.023exp(‑4.07t)+7.97e‑4exp(‑4.04)+0.001exp(‑2.01t)   (36)由可靠度函数R(t)计算出开关磁阻电机系统的平均无故障时间：$MTIF=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}R\left(t\right)dt---\left(37\right)$从而实现了三级马尔科夫模型定量分析开关磁阻电机系统可靠性评估。