多移动机器人的二自由度协同控制方法

摘要

多移动机器人的二自由度协同控制方法，步骤如下：1)根据拉格朗日方法获取单个移动机器人的模型2)根据模型参数确定能够保证单个机器人稳定的个体控制器的稳定集合；3)选取个体控制器稳定域内合适的一点，将个体控制器和原来的模型结合成新的模型；4)在所求取的PID控制器稳定集合中选取合适的值，并执行PID控制程序，使多移动机器人系统完成协同控制。本发明适用于各种包含有单输入单输出移动机器人的多移动机器人系统，通过选取求得的两类控制器稳定域内的参数，可以有效地解决不稳定移动机器人的协同控制问题。

主权项

多移动机器人的二自由度协同控制方法，包括如下步骤：步骤1，先基于刚体运动学原理，考虑移动机器人的输入输出等时滞的影响，利用拉格朗日方法建立具有如下传递函数形式的移动机器人模型g(s)：若令g(s)的分子和分母分别为V(s)和U(s)，则式(1)中，s为复平面上的一个变量，u和v分别表示U(s)和V(s)中s项的最高阶次，u>v，e为数学常数，sⁱ为s的i次方，在U(s)中，i为整数且i＝0,…,u‑1，j为整数且j＝1,…,h_i，h_i是U(s)中sⁱ项所对应的时滞块的个数，τ_ij和α_ij是U(s)中sⁱ项所对应的时滞和系数，在V(s)中，i为整数且i＝0,…,v‑1，j为整数且j＝1,…,f_i，f_i是V(s)中sⁱ项所对应的时滞块的个数，θ_ij,β_ij和是V(s)中sⁱ项所对应的时滞和系数，β_v为V(s)的最高阶次项的系数。然后，将辨识出的模型参数送到主机的存储单元RAM中。步骤2，建立具有个体反馈控制器集合C₁(s)，耦合反馈控制器集合C₂(s)，带有时滞控制模型集合G(s)的多移动机器人反馈控制系统，其中并且E为单位矩阵，为克罗内克积，g(s)为单个移动机器人模型，c₁(s)和c₂(s)是具有以下形式的PID控制器：$c_1\left(s\right)=c_2\left(s\right)=k_p+\frac{k_i}{s}+k_{d}s---\left(2\right)$其中，k_p、k_i和k_d分别为PID控制器的比例、积分和微分增益。用表示单个移动机器人的邻居个数矩阵，k为单个移动机器人的邻居个数，用A表示邻接矩阵，用r表示系统输入，用y表示系统输出。步骤3，根据以下步骤确定能使移动机器人稳定的个体控制器c₁(s)的参数范围：(31)确定系统闭环特征函数δ(s)为δ(s)＝sU(s)+kV(s)(k_ds²+k_ps+k_i)   (3)令ω为频率，且令s＝jω，U_r(ω)和U_i(ω)为U(jω)的实部和虚部，V_r(ω)和V_i(ω)为V(jω)的实部和虚部，令δ'(jω)＝δ(jω)*V(‑jω)，得到δ'(jω)＝p(ω,k_i,k_d)+jq(ω,k_p)其中j²＝‑1，p(ω,k_i,k_d)表示δ'(jω)的实部，q(ω,k_p)表示δ'(jω)的虚部，$p(\omega ,k_i,k_d)=p_1\left(\omega \right)+k(k_i-{\omega }^2{k}_d)[V_r^2\left(\omega \right)+V_i^2\left(\omega \right)]---\left(4\right)$$q(\omega ,k_p)=\omega \{q_1\left(\omega \right)+{\mathrm{kk}}_p[V_r^2\left(\omega \right)+V_i^2\left(\omega \right)\left]\right\}---\left(5\right)$令$p_1\left(\omega \right)=p(\omega ,k_i,k_d)-k(k_i-{\omega }^2{k}_d)[V_r^2\left(\omega \right)+V_i^2\left(\omega \right)],$$q_1\left(\omega \right)=q(\omega ,k_p)/\omega -{\mathrm{kk}}_p[V_r^2\left(\omega \right)+V_i^2\left(\omega \right)],$则p₁(ω)和q₁(ω)分别为：p₁(ω)＝ω[U_r(ω)V_i(ω)‑U_i(ω)V_r(ω)]   (6)q₁(ω)＝[U_r(ω)V_r(ω)+U_i(ω)V_i(ω)]   (7)(32)选取一个足够大的频率值ω^*。(33)令Re[V(jω)]和Im[V(jω)]分别为V(jω)的实部与虚部，根据下式计算ω由0变化到ω^*时所对应的V(jω)的幅角变化范围这里，当v为偶数时，w₀<w₁<w₂<…<w_e是Im[V(jω)]在[0,ω^*)的零点；反之当v为奇数时，w₀<w₁<w₂<…<w_e是Re[V(jω)]在[0,ω^*)的零点,e+1表示零点的个数，sgn(x)为符号函数，其中x为实数，当x>0时，sgn(x)＝1，当x＝0时，sgn(x)＝0，当x<0时，sgn(x)＝‑1。(34)确定k_p的最大可允许稳定范围：令Q表示f₁(ω)＝k_p与在(0,ω^*)上的交点数，给出满足下式的k_p范围，即为k_p的最大可允许稳定范围。其中，j(V)表示V(s)在正虚轴上的零点数，为ω由0变化到ω^*时所对应的V(jω)的幅角变化范围。(35)令k_p的最大可允许稳定范围为[k_pmin,k_pmax]，k_pmin为k_p允许的最小值，k_pmax为k_p允许的最大值，将k_p值在该范围内进行等间隔的遍历，即每个遍历点为其中F为遍历点之间的间隔，z为采样频率，z＝0,1,…,F。(36)对于其中一个遍历点根据以下步骤确定能够保证闭环系统稳定的(k_d,k_i)二维稳定域：(a)计算方程q(ω,k_p)＝0在区间[0,ω^*)内的实零点，将这些实零点按照从小到大的顺序表示为ω₀,ω₁,ω₂,…，ω_c‑1，其中，c为实零点的个数；(b)令t＝0,1,2,…,c‑1，选择整数i_t的值：(i).如果V(‑jω_t)＝0，那么i_t＝0；(ii).如果V(‑s)在原点处存在零点，那么$i_0=\{sgn\left(\frac{d}{d\omega }\right\{\omega \left[U_r\right(\omega )V_i\left(\omega \right)-U_i\left(\omega \right)V_r\left(\omega \right)]\left\}{|}_{\omega =0}\right)$(iii).若不满足(i)和(ii)，i_t＝1或‑1，其准确值需根据下述稳定性条件而定；(iv).令I＝{i₀,i₁,…}，I为i_t(t＝0,1,2,…c‑1)的序列，确定能够满足下述等式的所有I：$\frac{u+1}{2}-\underset{s=j\omega ,\omega \in (0,\omega *)}{\Delta \arg \left[V\left(s\right)\right]}=\frac{\pi }{2}\gamma \left(I\right)---\left(10\right)$令这里ω_c‑1是q(ω,k_p)＝0在区间[0,ω^*)内的第c个实零点，ε是一足够小的正实数，为大于ω_c‑1且无限接近ω_c‑1的值，γ(I)为i_t(t＝0,1,2,…c‑1)的字符组合，由下式给出：(c)对于遍历点(k_d,k_i)二维稳定域由下式决定:[k_i‑A(ω_t)k_d+B(ω_t)]i_t>0   (12)其中，ω_t为式(5)在区间[0,ω^*)内的实零点，t＝0,1,…c‑1，令式(4)等于零，则为k_d的系数的绝对值，为常数项。通过求取所有ω_t所对应的由式(12)所决定的不等式组的交集，即可确定具有凸多边形特性的(k_d,k_i)二维稳定域。(37)对于步骤(5)中所给出的k_p的每个遍历点，都重复步骤(6)，确定能使闭环系统稳定的所有个体控制器c₁(s)的参数集合。步骤4，根据以下步骤确定能使多移动机器人系统一致的耦合控制器c₂(s)的参数范围：41.选取步骤3得到的稳定范围内合适的一点作为个体控制器c₁(s)的参数，将个体控制器c₁(s)与原移动机器人模型g(s)进行整合得到新的模型g'(s)，其中由此可将复杂的多反馈系统简化为具有多时滞单反馈的多输入多输出多移动机器人系统，则系统的特征方程为：$\tilde{\delta }\left(s\right)=\det [E+(-A)G^{\prime }\left(s\right)C_2\left(s\right)]$其中，E为单位矩阵，A表示邻接矩阵。因为‑A是可对角化矩阵，一定存在一个可逆矩阵P使得‑A＝P^‑1ΛP，其中，Λ为对角矩阵。对特征方程进行变形，得到其特征方程为：$\tilde{\delta }\left(s\right)=\det [E+P^{-1}{\mathrm{\Lambda PG}}^{\prime }\left(s\right)C_2\left(s\right)]=\underset{i=1}{\overset{N}{\Pi }}\det [1+{\lambda }_i{g}^{\prime }\left(s\right)c_2\left(s\right)]---\left(13\right)$其中，表示新的传递函数矩阵，C₂(s)表示耦合控制器矩阵，g'(s)为各个子系统的传递函数，c₂(s)为各个子系统上的PID控制器，λ_i为矩阵‑A的特征值，N为特征值个数。42.对于不同的λ值，重复步骤3的方法，确定能使整个系统达到一致，完成系统协同控制的所有PID控制器的集合。步骤5，将移动机器人的模型参数输入个体控制器c₁(s)参数的计算单元，由步骤3计算个体控制器c₁(s)的稳定集合，根据需要在个体控制器的稳定集合中选取控制参数，将控制参数输入监控模块执行预调控制程序：经模拟量输入信号，经A/D装换模块将模拟信号转化为数字信号输入，将输入值与设定值进行比较可得到不同的跟踪误差按照离散域PID控制算式计算控制信号增量Δu(n₁)的值，与前一时刻的控制信号u(n₁‑1)通过加法器进行加法运算就得到当前时刻的输出控制信号u(n₁)，其中，n₁为当前时刻的采样步数。Δu(n₁)计算公式如下：Δu(n₁)＝a₁e(n₁)+a₂e(n₁‑1)+a₃e(n₁‑2)   (14)其中，a₁＝(k_pR₁+k_d+R₁²k_i)/R₁，a₂＝‑(k_pR₁+2k_d)/R₁，a₃＝k_d/R₁，R₁为系统采样周期，Δu(n₁)为当前采样步数为n₁时控制器输出信号增量，e(n₁)为当前采样步数为n₁时的跟踪误差，e(n₁‑1)为采样步数为n₁‑1时的跟踪误差，e(n₁‑2)为采样步数为n₁‑2时的跟踪误差。通过对PID控制器的调节减少误差以确保移动机器人的稳定运行。步骤6，将步骤5中经过预调系统镇定的个体控制器施加于每个移动机器人，以便于对稳定的移动机器人进行协同控制。步骤7，将个体控制器与原模型结合形成新的模型，并将模型参数输入耦合控制器c₂(s)参数的计算单元，由步骤4计算耦合控制器c₂(s)的稳定集合。然后由监控模块执行事先编制好的控制程序：经模拟量输入通道传输信号，并将信号接入检测变送装置，再经A/D转换后得到数字量输入信号与此时的系统设定值比较后得到不同时刻的跟踪误差，基于跟踪误差，在所获得的c₂(s)稳定集合中选取控制参数，然后按照控制器c₂(s)的离散域PID控制算式计算控制信号增量Δu(n₂)的值，与前一时刻的控制信号u(n₂‑1)通过加法器进行加法运算就得到当前时刻的输出控制信号u(n₂)，其中，n₂为当前时刻的采样步数。Δu(n₂)计算公式如下：Δu(n₂)＝b₁e(n₂)+b₂e(n₂‑1)+b₃e(n₂‑2)   (15)其中，b₁＝(k_pR₂+k_d+R₂²k_i)/R₂，b₂＝‑(k_pR₂+2k_d)/R₂，b₃＝k_d/R₂，R₂为系统采样周期，Δu(n₂)为当前采样步数为n₂时控制器输出信号增量，e(n₂)为当前采样步数为n₂时的跟踪误差，e(n₂‑1)为采样步数为n₂‑1时的跟踪误差，e(n₂‑2)为采样步数为n₂‑2时的跟踪误差。通过c₂(s)控制器程序调节各移动机器人之间的速度差来使整个系统达到一致，完成协同控制。