一种基于扩张状态观测器的机械臂伺服系统全阶滑模控制方法

摘要

一种基于扩张状态观测器的机械臂伺服系统全阶滑模控制方法，包括:建立机械臂伺服系统的动态模型，初始化系统状态及控制参数；设计扩张状态观测器；基于扩张状态观测器，设计全阶滑模控制器。本发明能够有效改善传统滑模控制在机械臂伺服控制中的滑模抖振问题，并在一定程度上提高系统的鲁棒性，使机械臂伺服系统能够实现精确的跟踪控制。

主权项

一种基于扩张状态观测器的机械臂伺服系统全阶滑模控制方法，其特征在于：所述控制方法包括以下步骤：步骤1,建立机械臂伺服系统模型，初始化系统状态及控制参数；1.1,机械臂伺服系统模型表示成如下形式$\left\{\begin{array}{c}I{\stackrel{··}{q}}_2+M\mathrm{gL}\sin \left(q_1\right)+K(q_1-q_2)=0\\ J{\stackrel{··}{q}}_2-K(q_1-q_2)=u\end{array}\right.---\left(1\right)$其中q₁,q₂是连杆和电机的转角；I是连杆的惯性环节；J是电机的转动惯量；K是弹簧的刚度；u是输入转矩；M和L分别表示连杆的质量和长度；y＝q₁是系统的输出；1.2,定义状态变量x₁＝q₁，x₃＝q₂，则伺服系统方程写成如下状态空间形式$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{·}{x}=f\left(x\right)+g\left(x\right)u\\ y=x_1\end{array}\right.---\left(2\right)$其中，f(x)＝[x₂ ‑(MgL/I)sin(x₁)‑K/I(x₁‑x₃) x₄ (K/J)(x₁‑x₃)]^T，g(x)＝[0 0 0 1/J]^T；经坐标变换后式(2)转化为$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\stackrel{‾}{x}}}_1={\bar{x}}_2\\ {\stackrel{·}{\stackrel{‾}{x}}}_2={\bar{x}}_3\\ {\stackrel{·}{\stackrel{‾}{x}}}_3={\bar{x}}_4\\ {\stackrel{·}{\stackrel{‾}{x}}}_4=a\left(\bar{x}\right)+bu\\ y={\bar{x}}_1\end{array}\right.---\left(3\right)$其中，$a\left(\bar{x}\right)=\frac{MgL}{I}sin\left({\bar{x}}_1\right)({\bar{x}}_2^2-\frac{K}{J})-\left(\frac{MgL}{I}cos\right({\bar{x}}_1)+\frac{K}{J}+\frac{K}{I}){\bar{x}}_3;$$b=\frac{K}{IJ};$$y=\overline{x_1}$是系统的输出；1.3,令其中b₀为b的估计值，定义扩展状态则式(3)写成以下等效形式$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\stackrel{‾}{x}}}_1={\bar{x}}_2\\ {\stackrel{·}{\stackrel{‾}{x}}}_2={\bar{x}}_3\\ {\stackrel{·}{\stackrel{‾}{x}}}_3={\bar{x}}_4\\ {\stackrel{·}{\stackrel{‾}{x}}}_4={\bar{x}}_5+b_{0}u\\ {\stackrel{·}{\stackrel{‾}{x}}}_5=h\\ y={\bar{x}}_1\end{array}\right.---\left(4\right)$其中，$h=\stackrel{·}{b}\left(\bar{x}\right);$步骤2,扩张状态观测器设计；令z_i,i＝1,2,3,4,5,为系统(4)中状态变量的观测值，并定义观测误差为则扩张状态观测器的表达式可设计为$\left\{\begin{array}{c}{ϵ}_1=z_1-{\bar{x}}_1\\ {\stackrel{·}{z}}_1=z_2-{\beta }_1{ϵ}_1\\ {\stackrel{·}{z}}_2=z_3-{\beta }_{2}fal({ϵ}_1,{\alpha }_1,\delta )\\ {\stackrel{·}{z}}_3=z_4-{\beta }_{3}fal({ϵ}_1,{\alpha }_2,\delta )\\ {\stackrel{·}{z}}_4=z_5-{\beta }_{4}fal({ϵ}_1,{\alpha }_3,\delta )+b_{0}u\\ {\stackrel{·}{z}}_5=-{\beta }_{5}fal({ϵ}_1,{\alpha }_4,\delta )\end{array}\right.---\left(5\right)$其中，β₁,β₂,β₃,β₄,β₅＞0为观测器增益.fal(·)为如下形式的幂次函数$fal({ϵ}_1,{\alpha }_i,\delta )=\{\begin{array}{cc}\frac{{ϵ}_1}{{\delta }^{1-{\alpha }_i}},& \left|{ϵ}_1\right|\le \delta \\ |{ϵ}_1{|}^{{\alpha }_i}\mathrm{sgn}\left({ϵ}_1\right)& \left|{ϵ}_1\right|>\delta \end{array},i=1,2,3,4---\left(6\right)$其中，δ＞0，0＜α_i＜1，为小的正常数；sgn(·)为符号函数；假设观测误差满足条件|x_i‑z_i|≤l_i，其中l_i＞0为很小的正数；步骤3,无抖振全阶滑模控制器设计，过程如下：3.1,定义跟踪误差e及其各阶导数为$\left\{\begin{array}{c}e=y-y_d={\bar{x}}_1-y_d\\ \stackrel{·}{e}={\stackrel{·}{\stackrel{‾}{x}}}_1-{\stackrel{·}{y}}_d={\bar{x}}_2-{\stackrel{·}{y}}_d\\ \stackrel{··}{e}={\stackrel{·}{\stackrel{‾}{x}}}_2-{\stackrel{··}{y}}_d={\bar{x}}_3-{\stackrel{··}{y}}_d\\ \stackrel{···}{e}={\stackrel{·}{\stackrel{‾}{x}}}_3-{\stackrel{···}{y}}_d={\bar{x}}_4-{\stackrel{···}{y}}_d\\ e^{\left(4\right)}={\stackrel{·}{\stackrel{‾}{x}}}_4-y_d^{\left(4\right)}={\bar{x}}_5+b_{0}u-y_d^{\left(4\right)}\end{array}\right.---\left(7\right)$其中y_d为参考轨迹；3.2,设计如下全阶滑模面$\begin{array}{c}s=e^{\left(4\right)}+{\lambda }_4\stackrel{···}{e}+L\stackrel{··}{e}+{\lambda }_2\stackrel{·}{e}+{\lambda }_{1}e\\ {\bar{x}}_5+b_{0}u-y_d^{\left(4\right)}+{\lambda }_4({\bar{x}}_4-{\stackrel{···}{y}}_d)+{\lambda }_3({\bar{x}}_3-{\stackrel{··}{y}}_d)+{\lambda }_2({\bar{x}}_2-{\stackrel{··}{y}}_d)+{\lambda }_1({\bar{x}}_1-y_d)\end{array}---\left(8\right)$其中，λ_i＞0,i＝1,2,3,4为控制参数，且选择时要保证p⁴+λ₄p³+λ₃p²+λ₂p+λ₁是赫尔维兹多项式；3.3,根据式(8)，设计全阶滑模控制器为$u=\frac{1}{b_0}(u_{eq}+u_n)---\left(9\right)$$u_{eq}=-z_5+y_d^{\left(4\right)}-{\lambda }_4(z_4-{\stackrel{···}{y}}_d)-{\lambda }_3(z_3-{\stackrel{··}{y}}_d)-{\lambda }_2(z_2-{\stackrel{·}{y}}_d)-{\lambda }_1(z_1-y_d)---\left(10\right)$${\stackrel{·}{u}}_n+{\mathrm{Tu}}_n=v---\left(11\right)$v＝‑ksgn(s)   (12)其中，T≥0，k＝k_p+k_T+η，η＞0，k_p＞0，k_T＞0为控制器参数；3.4,设计李雅普诺夫函数：$V=\frac{1}{2}{s}^2---\left(13\right)$对V求导并将式(8)‑(12)代入，如果判定系统是稳定的。