一种针对有限集跟踪滤波器的均匀密集杂波稀疏方法

摘要

本发明涉及一种针对有限集跟踪滤波器的均匀密集杂波稀疏方法，针对传统算法的计算时间随着杂波密度的增强呈指数增长的问题，本发明提出了一种针对有限集跟踪滤波器的均匀密集杂波稀疏方法，该方法以假设检验理论为准则，利用高斯混合势概率密度滤波器和高斯混合多伯努利滤波器，并通过假设检验理论来验证杂波稀疏过程，解决了传统算法的计算时间随杂波密度的增强呈指数增长的问题，大大提高了计算效率。

主权项

一种针对有限集跟踪滤波器的均匀密集杂波稀疏方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：步骤1.系统建模；假设目标和杂波产生的的量测服从下面的二项式混合分布：$f\left(z_{k,i}\right|X_k)=(1-{\pi }_k^t)f\left(z_{k,i}\right|X_k^c)+{\pi }_k^{t}f\left(z_{k,i}\right|X_k^t)---\left(1\right)$其中，f(·|·)是条件分布函数，z_k,i是目标或杂波的量测，是目标状态分布的权重，其中上标t表示目标，c表示杂波，假定在k时刻有个杂波状态和个目标状态，是杂波在k时刻的状态集，是目标在k时刻的状态集，杂波和目标的量测的混合分布分别具有如下形式：$f\left(z_{k,i}\right|X_k^c)={\pi }_{k,1}^{c}f\left(z_{k,i}\right|X_{k,1}^c)+...+{\pi }_{k,j_k^c}^{c}f\left(z_{k,i}\right|X_{k,j_k^c}^c)---\left(2\right)$$f\left(z_{k,i}\right|X_k^t)={\pi }_{k,1}^{t}f\left(z_{k,i}\right|X_{k,1}^t)+...+{\pi }_{k,j_k^t}^{t}f\left(z_{k,i}\right|X_{k,j_k^t}^t)---\left(3\right)$其中，和分别是杂波和目标的第和第个元素的组成权重；这里假设杂波的量测服从泊松随机有限集分布，且泊松强度为同样的，目标的量测服从伯努利随机有限集分布；当杂波的量测服从均匀分布时，公式(2)中的杂波混合分布变成则杂波强度混合分布具有如下形式：${\lambda }_k^{c}f\left(z_{k,i}\right|X_k^c)={\lambda }_k^{c}U\left(z_{k,i}\right|S^c)---\left(4\right)$其中S^c是杂波面积或体积；步骤2 杂波稀疏过程步骤2.1 杂波分布杂波密度在公式(2)和(4)中被描述为混合分布，因此，杂波的随机有限集Θ_k具有如下分布：Θ_k～U(z_k,i|S^c)           (5)在公式(2)和(3)中分别给出了杂波和目标的量测的混合分布，即这里，和分别是杂波和目标的量测集中的某个元素；如步骤1中所述，杂波的量测服从泊松随机有限集分布，且泊松强度为同样的，目标的量测服从多伯努利随机有限集分布；步骤2.2 假设检验原理在随机有限集量测中的应用假设z是某一个时刻的量测，为了简单起见，省略了时间下标，二元假设检验问题可以通过杂波和目标的量测表示成下面的形式：$\begin{array}{cc}{H}_0:z-f\left(z\right|X_k^c)& H_1:z~f\left(z\right|X_k^t)\end{array}$因此，似然函数的条件假设为$p\left(z\right|H_0)=f\left(z\right|X_k^c)---\left(6\right)$$p\left(z\right|H_1)=f\left(z\right|X_k^t)---\left(7\right)$似然比检验为这里的阈值η可以由下面的虚警概率导出：$P_F=P\left(H_1\right|H_0)=P\left(r\right(z)>\eta |H_0)={\int }_{I_z}p\left(z\right|H_0)dz---\left(9\right)$其中$I_z\stackrel{\Delta }{=}\{z:r\left(z\right)>\eta \}$是积分区间；对于服从简单高斯分布的单目标来说，它就变成了普通的二元假设，其阈值η可以通过下面的公式获得：$P_F={\int }_{z_{\eta }}^{\infty }p\left(z\right|H_0)dz---\left(10\right)$积分区间可以为[z_η,∞)或者(‑∞,z_η]，为了不失一般性，采用[z_η,∞)作为积分区间，且通过r(z)＞η将其导出；步骤2.3 基本命题首先通过一个引理给出向量切比雪夫不等式引理1：假设随机变量z的维数是n，E(z)是均值，Σ是协方差并且γ＞0，那么下面的不等式成立：$P\{{(z-\mu )}^T{\Sigma }^{-1}(z-\mu )<\gamma \}\ge 1-\frac{n}{\gamma }---\left(11\right)$令并且假设目标的量测z服从下面的高斯混合分布：$f\left(z\right|X_k^t)={\pi }_{k,1}^{t}N(z;{\mu }_{k,1}^t,D_{k,1}^t)+...+{\pi }_{k,j_k^t}^{t}N(z;{\mu }_{k,j_k^t}^t,D_{k,j_k^t}^t)---\left(12\right)$目标的量测集定义为：$T_{k,j_k^t}\left(\Gamma \right)=\{z:P\left(\right||z-{\mu }_{k,j_k^t}^t||<\gamma )\ge 1-\frac{n}{\gamma }\ge \Gamma \}---\left(13\right)$这里的p(·)代表混合目标的第个组成的概率分布，当目标量测概率小于公式(9)中的假报警概率P_F时，Γ将是一个充分大的阈值；杂波的量测集定义为：$C_{k,j_k^c}\left(\beta \right)=\{z:P\left(\right||z-{\mu }_{k,j_k^c}^c||<\zeta )\ge 1-\frac{n}{\zeta }\ge \beta \}---\left(14\right)$这里的p(·)代表混合目标的第个组成的概率分布，ζ＞0，β是杂波量测概率的阈值；当$T_k=T_{k,1}\cup ...\cup T_{k,j_k^t},C_k=C_{k,1}\cup ...\cup C_{k,j_k^c}$时，下面的命题成立：命题1：如果满足公式(13)和(14)，那么下面的不等式成立p(z∈T_k|H₁)≥Γ        (15)p(z∈C_k|H₀)≥β        (16)这里的p(z∈T_k|H₁)是(12)式中给出的混合分布，定义上面的公式证明如下：$p(z\in T_k|H_1)={\int }_{T_k}f\left(z\right|X_k^t)dz$$\begin{array}{c}={\pi }_{k,1}^t{\int }_{T_k}f\left(z\right|x_{k,1}^t)dz+\mathrm{...}+{\pi }_{k,j_k^t}^t{\int }_{T_k}f\left(z\right|x_{k,j_k^t}^t)dz\\ \ge {\pi }_{k,1}^t{\int }_{T_{k,1}}f\left(z\right|x_{k,1}^t)dz+\mathrm{...}+{\pi }_{k,j_k^t}^t{\int }_{T_{k,j_k^t}}f\left(z\right|x_{k,j_k^t}^t)dz\\ ={\pi }_{k,1}^t{p}_1\left(\right||z-{\mu }_{k,1}^t||<\gamma )+\mathrm{...}+{\pi }_{k,j_k^t}^{t}p\left(\right||z-{\mu }_{k,j_k^t}^t||<\gamma )\\ \ge {\pi }_{k,1}^t\Gamma +\mathrm{...}+{\pi }_{k,j_k^t}^t\Gamma =\Gamma \end{array}$同理可证不等式(16)；命题2：假设对于任意的z∈S_k，有S_k＝T_k∪C_k，那么下面的等式成立$r(z\in S_k)\subseteq [0,r_{k,max}]---\left(17\right)$$r_{k,max}=\frac{{\max }_{z\in S_k}\{f\left(z\right|X_{k,1}^t),...,f\left(z\right|X_{k,j_k^t}^t)\}}{U\left(z\right|S^c)}---\left(18\right)$这个命题给出了似然比的范围；很明显r(z∈S_k)≥0，因此，仅考虑r(z∈S_k)≤r_k,max的情况；证明如下：$p\left(z\right|H_0)=f\left(z\right|X_k^c)=U\left(z\right|S^c)$$\begin{array}{c}p\left(z\right|H_1)=f\left(z\right|X_k^t)={\pi }_{k,1}^{t}f\left(z\right|X_{k,1}^t)+...+{\pi }_{k,j_k^t}^{t}f\left(z\right|X_{k,j_k^t}^t)\\ \le {\max }_{z\in S_k}\left\{f\left(z\right|X_{k,i}^t)\right\}({\pi }_{k,1}^t+\mathrm{...}+{\pi }_{k,j_k^t}^t)\end{array}---\left(19\right)$因此$\begin{array}{c}r(z\in S_k)=\frac{p\left(z\right|H_1)}{p\left(z\right|H_0)}=\frac{p\left(z\right|H_1)}{U\left(z\right|S^c)}\\ \le \frac{{\max }_{z\in S_k}\{f\left(z\right|X_{k,1}^t),\mathrm{...}f\left(z\right|X_{k,j_k^t}^t)\}}{U\left(z\right|S^c)}\end{array}$即证；当混合分布p(z|H₁)为高斯分布时，有下面的推论推论1：当目标量测满足(12)式中的高斯混合分布时，似然比可以简化成如下形式：$r_{k,max}=\frac{max\{N({\mu }_{k,1}^t;{\mu }_{k,1}^t,D_{k,1}^t),...,N({\mu }_{k,j_k^c}^t;{\mu }_{k,j_k^c}^t,D_{k,j_k^c}^t\}}{U\left(z\right|S^c)}---\left(20\right)$命题3：假设目标量测满足(12)式中的高斯混合分布，并且检测概率的阈值是p_D,min，那么似然比的最小阈值可通过下面的式子求得$r_{k,min}=min\left\{\frac{\frac{1}{\sqrt{{\left(2\pi \right)}^n\left|{\Sigma }_i\right|}}\exp (-\gamma )}{U\left(z\right|S^c)}\right\}---\left(21\right)$$\gamma \left(p_{D,min}\right)=\frac{n}{1-p_{D,\min }},i=1,...,j_k^t---\left(22\right)$命题4：定义量测集为R_k＝{z:r_k(z)≥r_k,min}，则当F_k＝R_k∩C_k时，假报警概率具有如下形式：证明如下：$\begin{array}{c}P(z\in R_k|H_1)={\int }_{R_k}f\left(z\right|X_k^t)dz\\ ={\pi }_{k,1}^t{\int }_{R_k}f\left(z\right|x_{k,1}^t)dz+\mathrm{...}+{\pi }_{k,j_k^t}^t{\int }_{T_k}f\left(z\right|x_{k,j_k^t}^t)dz\\ \ge {\pi }_{k,1}^t{p}_1\left(\right||z-{\mu }_{k,1}^t||<\gamma )+\mathrm{...}+{\pi }_{k,j_k^t}^{t}p\left(\right||z-{\mu }_{k,j_k^t}^t||<\gamma )\\ \ge {\pi }_{k,1}^t{P}_{D,\min }+\mathrm{...}+{\pi }_{k,j_k^t}^t{P}_{D,\min }=P_{D,\min }\end{array}$命题5：假设S_k＝T_k∪C_k，并且杂波服从均匀分布，则则稀疏过程的杂波强度为：λ_k,s(S_k)＝λ_k,cVol(T_k)，这里的λ_k,s(S_k)是区域S_k上的杂波强度，Vol(T_k)代表目标量测集的体积。