利用修正乘子交替方向法对磁共振图像PPI重构的方法

摘要

本发明涉及磁共振图像重构领域，旨在提供利用修正乘子交替方向法对磁共振图像PPI重构的方法。该利用修正乘子交替方向法对磁共振图像PPI重构的方法包括下述过程：获取磁共振中每一线圈扫描的图像；利用修正乘子交替方向法进行图像重构。本发明利用快速、高效的重构算法对磁共振图像进行联合重构，能有效达到减少扫描时间、提高成像质量、减少患者痛苦和治疗费用的目的。

主权项

利用修正乘子交替方向法对磁共振图像PPI重构的方法，其特征在于，具体包括下述过程：(1)获取磁共振中每一线圈扫描的图像；(2)利用修正乘子交替方向法进行图像重构；所述过程(1)具体包括下述步骤：步骤A：采用MRI系统进行扫描，获得每一线圈的图像；步骤B：将步骤A得到的图像重构成一个图像，并采用下述公式(1)的模型表示：$\underset{x}{\min }\{F\left(\mathrm{Kx}\right)+G\left(x\right)\}$   公式(1)其中，所述x表示变量，所述K表示X‑＞Y的线性算法，分别是Rⁿ、R^m中凸子集，R表示实数域，它的诱导范数记为L_K＝||K||；G：X→R和F：Y→R是恰当的、凸的、下半连续映射；图像重构的模型属于公式(1)框架下的一种，通过极小化上述能量泛函(1)，求解x，从而得到重构后的图像；所述过程(2)具体包括下述步骤：步骤C：考虑一阶原始对偶方法与公式(1)相关的原始对偶问题：$\underset{x\in X}{\min }\left\{\underset{y\in Y}{\max }\right\{G\left(x\right)+<\mathrm{Kx},y>-F^{*}\left(y\right)\left\}\right\}$   公式(2)其中，F^*：R^m→R是F的凸共轭算子；原始对偶方法解决鞍点问题有统一形式；步骤D：采用分裂Bregman算法处理步骤B重构的图像，将公式(1)转化成下面的约束变分问题，即可采用下述ADMM来处理上述无约束问题：$\begin{array}{cccc}\underset{x,z}{\min }\{F\left(z\right)+G\left(x\right)\}& \mathrm{subject}& \mathrm{to}& z=\mathrm{Kx}\end{array}$   公式(3)其中，所述z用于代替Kx，加个约束使得z＝Kx，所述subject to是使得的意思，把上述无约束问题拆分成两个变量的问题再加个约束，以方便计算；步骤E：写出公式(3)所对应的增广拉格朗日函数：$L_{\rho }(x,z,\lambda )=F\left(z\right)+G\left(x\right)+<\lambda ,\mathrm{Kx}-z>+\frac{\rho }{2}{\left|\right|\mathrm{Kx}-z\left|\right|}^2$   公式(4)其中，L_ρ(x，z，λ)表示增广拉格朗日函数；λ表示拉格朗日乘子；〈λ，Kx‑z>表示λ与Kx‑z的内积，ρ表示二次惩罚项系数；对公式(4)进行下述迭代，计算并更新x、z、λ，第k步迭代公式是：$x^{k+1}=\arg {\min }_x{L}_{\rho }(x,z^k,{\lambda }^k)=\arg {\min }_x\{G\left(x\right)+\frac{\rho }{2}{\left|\right|\mathrm{Kx}-z^k+\frac{{\lambda }^k}{\rho }\left|\right|}^2\}$   公式(6)$z^{k+1}=\arg {\min }_z{L}_{\rho }(x^{k+1},z,{\lambda }^k)=\arg {\min }_z\{F\left(x\right)+\frac{\rho }{2}{\left|\right|{\mathrm{Kx}}^{k+1}-z+\frac{{\lambda }^k}{\rho }\left|\right|}^2\}$   公式(7)λ^k+1＝λ^k+ρ(Kx^k+1‑z^k+1)   公式(8)其中，所述k是指迭代到第k步；步骤F：当F(Kx)＝TV(x)时，其中TV(x)表示关于x的TV正则项；采用原始对偶算法求解公式(7)；${\min }_z{\max }_{p\in P}\{⟨p,\mathrm{Dx}⟩+\frac{\rho }{2}{\left|\right|{\mathrm{Kx}}^{k+1}-z+\frac{{\lambda }^k}{\rho }\left|\right|}^2\}$该式为公式(7)所对应的对偶范数；其中，P＝{p＝(p₁；…；p_n)∈C²ⁿ：p_i∈C²，||p_i||₂≤1，1≤i≤n}，即所述p就是大括号中的定义；所述C²表示负数的二次空间；步骤G：对公式(6)进行处理：对于不容易求逆的G，一般的方法对G作线性展开成如下形式：$⟨▿G\left(x^k\right),x⟩+\frac{1}{2\tau }{\left|\right|x-x^k\left|\right|}^2$但是将上述式子带入公式(6)，它有两个平方项，故对公式(6)作如下的修改：$x^{k+1}=\arg {\min }_x⟨▿G\left(\tilde{x}\right),x-x^k⟩+\frac{1}{2\tau }⟨M(x-x^k),x-x^k⟩$$+\frac{\rho }{2}{\left|\right|\mathrm{Kx}-z^k+\frac{{\lambda }^k}{\rho }\left|\right|}^2$   公式(9)取$M=I-\mathrm{\tau \rho }{\mathrm{KK}}^{*},0<\mathrm{\tau \rho }{L}_K^2<1$   公式(10)其中，所述其中I是单位；故将公式(9)简化为：x^k+1＝arg min_x||xv^k||²其中，所述v^k只涉及到x^k，z^k，λ^k，τ，ρ，K，为已知；步骤H：因为公式(10)中的M的各变量为已知的，因此直接将(10)代入到公式(9)式；再采用Nesterov的快速梯度方法处理问题公式(9)、公式(7)、公式(8)；步骤I：按步骤H反复迭代求解，直至达到预先设定的最大迭代步数或者满足事先设定的迭代终止条件，得到的x^N+1即为最后重构的图像。