一种柔顺机构无棋盘格拓扑图提取方法

摘要

本发明公开了一种柔顺机构无棋盘格拓扑图提取方法，首先建立具有体积约束的柔顺机构拓扑优化模型；然后对拓扑图进行棋盘格分析，在此基础上，建立消除棋盘格的约束条件；之后，建立具有消除棋盘格的设计变量更新最佳准则；直至提取出柔顺机构无棋盘格拓扑图。本发明可有效克服基于SIMP方法松弛设计变量时所产生的棋盘格问题，提取出柔顺机构无棋盘格拓扑图；无需平滑设计域内的单元密度，能极大地改善拓扑优化结果中的中间单元现象；消除棋盘格的约束条件只施加在棋盘格区域的较低密度单元与其邻域内密度大于或等于给定阈值的单元之间，因而计算复杂度低。

主权项

一种柔顺机构无棋盘格拓扑图提取方法，其特征在于包括如下步骤：1)：建立具有体积约束的柔顺机构拓扑优化模型；2)：建立消除柔顺机构拓扑图中的棋盘格的约束条件，步骤如下：2‑1)：分析柔顺机构拓扑图中的棋盘格；2‑2)：施加消除棋盘格的约束条件；3)建立具有消除棋盘格的设计变量更新最佳准则；4)：通过一次迭代优化，得到优化后的拓扑图；5)重复步骤2)至4)，直至达到最大迭代数或单元密度变化最大值小于阈值为止；提取到柔顺机构无棋盘格拓扑图；步骤1)中，以Ω为设计域，其为柔顺机构拓扑优化模型可利用材料域，P_i和P_o分别为柔顺机构拓扑优化模型载荷输入点和位移输出点，F_in和F_d分别为柔顺机构拓扑优化模型的输入载荷和沿输出位移方向的虚拟单位载荷，k_in和k_out分别为柔顺机构拓扑优化模型输入和输出弹簧刚度，柔顺机构的目标体积比为θ^*，将设计域离散成N个单元；柔顺机构拓扑优化模型的应变能和互应变能如下：E_s＝∫_Ωε(u)^TDε(u)dΩ_＝U^TKU$E_{\mathrm{ms}}={\int }_{\Omega }ϵ{\left(u_d\right)}^T\mathrm{Dϵ}\left(u\right)\mathrm{d\Omega }=U_d^T\mathrm{KU}$式中，E_s是系统的应变能，应变能越小则表明系统的刚度越大；E_ms是系统的互应变能，互应变能越大则表明系统的柔性越大；D为弹性矩阵，K是系统整体刚度矩阵，U是F_in作用下的节点位移向量，U_d是F_d作用下的节点位移向量，ε(u)和u是设计域内任一点在载荷F作用下的应变和弹性变形，ε(u_d)和u_d是设计域内任一点在载荷F_d作用下的应变和弹性变形；为使柔顺机构既有足够大的刚度又有足够大的柔性，通过多目标优化而得到柔顺机构的应变能和互应变能的关系如下：式中，符号Min代表最小值；采用相对密度法松弛设计变量，使柔顺机构拓扑优化模型的单元密度可在0‑1范围内取值，柔顺机构拓扑优化模型的单元密度如下：0＜ρ_min≤ρ_i≤ρ_max＝1,i＝1,2,…,N；式中，ρ_i是单元i的密度，ρ_min是单元密度下限，ρ_max是单元密度上限；该柔顺机构拓扑优化模型的整体刚度矩阵如下：$\begin{array}{c}K=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{K}_i\\ =\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\int }_{V_e}{\rho }_i^P{B}^T\mathrm{DBdV}\\ =\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\rho }_i^P{K}^0\end{array};$式中，K_i是单元i的刚度矩阵，V_e是任一实心单元的材料体积，P为密度ρ_i的指数，且P∈Z,P＞1，K⁰为任一实心单元的单元刚度矩阵，且B是任一实心单元的应变矩阵，该柔顺机构拓扑优化模型的体积约束如下：$V\left(\rho \right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{V}_e{\rho }_i\le {\theta }^{*}{V}_0;$式中，V₀是柔顺机构拓扑优化模型可利用材料的体积，ρ是由ρ_i所构成的列向量，i＝1,2,…,N_；综合以上目标、整体刚度矩阵和体积约束，得到具有体积约束的柔顺机构拓扑优化模型，如下：$\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{Min}:& f\left(\rho \right)=-\frac{E_{\mathrm{ms}}}{E_s}\\ s.t.& \mathrm{KU}=F\\ & {\mathrm{KU}}_d=F_d\\ & \underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{V}_e{\rho }_i\le {\theta }^{*}{V}_0\\ & 0<{\rho }_{\min }\le {\rho }_i\le {\rho }_{\max }=1,i=\mathrm{1,2},...,N\end{array}\right.;$步骤2‑1)中，步骤如下：首先，选取[α₁,α₂]为棋盘格区域的低密度单元的密度搜索区间，且ρ_min＝α₁＜α₂＜1_；然后，在一次优化迭代初始阶段，先检测拓扑图中各单元的密度，当单元m的密度满足α₁≤ρ_m≤α₂时，再判断以下棋盘格生成条件是否成立：ρ_s‑ρ_m≥α₃；式中，ρ_m是单元m的密度，ρ_s是与单元m具有公共边的四个邻接单元中的任一单元s的密度；参数α₃如下：α₃＝max(α₀‑[10ρ_m]Δα,α_lim)式中，max代表最大值，符号[]表示取整运算，α₀为给定的初值，且ρ_min＜α₀≤1，Δα为增量，且0＜Δα＜α₀，α_lim为给定的α₃最小值，且ρ_min＜α_lim≤1；如果棋盘格生成条件对单元m恒成立，则由单元m及其具有公共边的四个邻接单元构成棋盘格区域；步骤2‑2)中，步骤如下：首先，以棋盘格区域的低密度单元m为中心，确定施加约束条件的邻域大小，并选取该邻域内单元密度阈值α₄,ρ_min＜α₄≤1，然后，施加消除棋盘格的约束条件，如下：$\Phi ({\rho }_m,{\rho }_{N_m})=\frac{1}{\underset{n\in N_m}{\Sigma }\frac{1}{r_{\mathrm{mn}}^2}}\underset{n\in N_m}{\Sigma }\frac{1}{r_{\mathrm{mn}}^2}{\rho }_m^3{\rho }_n^3\ge G;$式中，参数G为消除棋盘格约束的下限值，且0＜G≤1，N_m是施加约束条件的邻域内密度大于或等于α₄且不包括m在内的所有单元的集合，ρ_n为集合N_m中的单元n的密度，是集合N_m中的所有单元密度构成的列向量，r_mn是单元m和单元n之间的单元中心点距离；步骤3)中，具有消除棋盘格的拉格朗日函数如下：$\begin{array}{c}L=f+{\lambda }_1(V\left(\rho \right)-V^{*})+{\lambda }_2^T(\mathrm{KU}-F_{\mathrm{in}})+{\lambda }_3^T({\mathrm{KU}}_d-F_d)+\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\lambda }_4^i({\rho }_{\min }-{\rho }_i+b_i^2)\\ +\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\lambda }_5^i({\rho }_i-{\rho }_{\max }+c_i^2)+\underset{m}{\Sigma }{\beta }_m(G-\Phi ({\rho }_m,{\rho }_{N_m}))\end{array};$式中，λ₁，λ₂，λ₃，和β_m为拉格朗日乘子；V^*为柔顺机构的目标体积，和是松弛因子；继续得到具有消除棋盘格的Kuhn‑Tuck必要条件如下：$\left\{\begin{array}{c}\frac{\partial f}{{\partial \rho }_i}+{\lambda }_1{V}_i+{\lambda }_2^T\frac{\partial \left(\mathrm{KU}\right)}{{\partial \rho }_i}+{\lambda }_3^T\frac{\partial \left({\mathrm{KU}}_d\right)}{{\partial \rho }_i}-\underset{m}{\Sigma }{\beta }_m\frac{\partial \Phi ({\rho }_m,{\rho }_{N_m})}{{\partial \rho }_i}\left\{\begin{array}{ccc}=0& \mathrm{if}& {\rho }_{\min }<{\rho }_i<{\rho }_{\max }\\ >0& \mathrm{if}& {\rho }_i={\rho }_{\max }\\ <0& \mathrm{if}& {\rho }_i={\rho }_{\max }\end{array}\right.\\ V\left(\rho \right)=V^{*}\\ \mathrm{KU}-F=0\\ {\mathrm{KU}}_d-F_d=0\\ G-\Phi ({\rho }_m,{\rho }_{N_m})=0,m\in N_{\mathrm{ck}}\\ i=\mathrm{1,2},...,N\end{array}\right.;$式中，N_ck是本次优化迭代中所有对棋盘格生成条件恒成立的低密度单元的集合；首先，得到优化目标、体积约束和消除棋盘格约束的灵敏度分别如下：优化目标的灵敏度为：$\frac{\partial f}{{\partial \rho }_i}=\frac{E_s\left(P{\left({\rho }_i\right)}^{P-1}{\left(u_i\right)}^T{K}^0{u}_{\mathrm{di}}\right)-E_{\mathrm{ms}}\left(P{\left({\rho }_i\right)}^{P-1}{\left(u_i\right)}^T{K}^0{u}_i\right)}{{\left(E_s\right)}^2},i=1,...,N;$体积约束的灵敏度为：$\frac{\partial V}{{\partial \rho }_i}=V_e,i=1,...,N;$消除棋盘格约束的灵敏度为：然后，代入Kuhn‑Tuck必要条件，得到灵敏度关系如下：$Q_i^t=\frac{-\frac{\partial f}{{\partial \rho }_i}+\underset{m}{\Sigma }{\beta }_m\frac{\partial \Phi ({\rho }_m,{\rho }_{N_m})}{{\partial \rho }_i}}{{\lambda }_1\frac{\partial V}{{\partial \rho }_i}}=1;$于是，得到具有消除棋盘格的设计变量更新最佳准则，如下：${\rho }_i^{t+1}=\left\{\begin{array}{ccc}{\rho }_i^t{\left(M_i^t\right)}^{\eta }& \mathrm{if}& \max ((1-\zeta ){\rho }_i^t,{\rho }_{\min })<{\rho }_i^t{\left(M_i^t\right)}^{\eta }<\min ((1+\zeta ){\rho }_i^t,{\rho }_{\max })\\ \min ((1+\zeta ){\rho }_i^t,{\rho }_{\max })& \mathrm{if}& {\rho }_i^t{\left(M_i^t\right)}^{\eta }\ge \min ((1+\zeta ){\rho }_i^t,{\rho }_{\max })\\ \max ((1-\zeta ){\rho }_i^t,{\rho }_{\min })& \mathrm{if}& {\rho }_i^t{\left(M_i^t\right)}^{\eta }\le \max ((1-\zeta ){\rho }_i^t,{\rho }_{\min })\end{array}\right.,i=\mathrm{1,2},...,N;$式中，t为迭代数,η为松弛因子,且0＜η＜1,ζ为一个较小的移动极限,是一个非负数，$M_i^t=\max (0,Q_i^t);$由于是λ₁和β_m的函数，i＝1,2,…,N，因此，在设计变量更新过程中，须采用二分法确定λ₁和β_m的值，以使更新后的密度满足体积约束和消除棋盘格约束，即：$\begin{array}{c}{\theta }^{*}{V}_0-\{\underset{\mathrm{icas}1}{\Sigma }{V}_e{\rho }_i^t{\left(M_i^t\right)}^{\eta }+\underset{\mathrm{icas}2}{\Sigma }{V}_e\min \{(1+\zeta ){\rho }_i^t,{\rho }_{\max }\}+\underset{\mathrm{icas}3}{\Sigma }{V}_e\max \{(1-\zeta ){\rho }_i^t,{\rho }_{\min }\left\}\right\}=0;\\ G-\Phi ({\rho }_m^t,{\rho }_{N_m}^t)-\underset{\mathrm{icas}1}{\Sigma }{\left(\frac{\partial \Phi }{{\partial \rho }_i}\right)}^t({\rho }_i^t{\left(M_i^t\right)}^{\eta }-{\rho }_i^t)-\underset{\mathrm{icas}2}{\Sigma }{\left(\frac{\partial \Phi }{{\partial \rho }_i}\right)}^t(\max ((1-\zeta ){\rho }_i^t,{\rho }_{\min })-{\rho }_i^t)\\ -\underset{\mathrm{icas}3}{\Sigma }{\left(\frac{\partial \Phi }{{\partial \rho }_i}\right)}^t(\min ((1+\zeta ){\rho }_i^t,{\rho }_{\max })-{\rho }_i^t)=0,\in N_{\mathrm{ck}}\end{array};$式中，和分别是基于最佳准则所更新的三类设计变量的和。