一种减小偏差的加权最小二乘定位方法

摘要

本发明公开了一种减小偏差的加权最小二乘定位方法，特点是根据布置好的每个接收机的位置、测量噪声功率以及信号从目标源到参考接收机和其它接收机的到达时间差，构造一个加权最小二乘关系式，然后构造拉格朗日函数，并利用二分法得到最优拉格朗日乘子，利用最优拉格朗日乘子得到目标源位置的有偏估计值，再计算偏差，并将得到有偏估计值减去偏差得到最终的无偏估计值，优点在于能够有效降低目标源位置的最终估计值的偏差，并能在大噪声环境下降低均方根误差，定位精度高且非常稳健。

主权项

一种减小偏差的加权最小二乘定位方法，其特征在于包括以下步骤：(1)对于在无线网络环境中的一个待定位的目标源，首先在无线网络环境中建立一个n维坐标系作为参考坐标系，其中n＝2或3，并在该无线网络中设置N+1个接收机，N≥n+1，选择任意一个接收机作为参考接收机并将其在参考坐标系的坐标记为s₀，将其它接收机在参考坐标系的坐标记为s_i，i＝1,...,N，将目标源在参考坐标系的坐标记为x^o，将目标源发出的测量信号到达第i个接收机和到达参考接收机所经历的时间差记为t_i，进而得到信号传输的距离差d_i＝ct_i，其中c为光速；(2)定义系数矩阵A、向量b以及噪声协方差矩阵Q如下：$A=-2\left[\begin{array}{cc}{(s_1-s_0)}^T& d_1\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ {(s_N-s_0)}^T& d_N\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}{d}_1^2-{\left|\right|s_1\left|\right|}^2+{\left|\right|s_0\left|\right|}^2\\ .\\ .\\ .\\ d_N^2-{\left|\right|s_N\left|\right|}^2+{\left|\right|s_0\left|\right|}^2\end{array}\right],$其中σ²为测量环境噪声功率，“T”为矩阵转置，“||·||”是欧几里德范数，然后根据下式计算对目标源位置的初始估计：${[{\hat{x}}_0^T,{\hat{r}}_0]}^T={\left(A^T{Q}^{-1}A\right)}^{-1}{A}^T{Q}^{-1}b,$其中为目标源位置的初始估计，为目标源到参考接收机距离的初始估计；(3)根据步骤(1)中定义的接收机的坐标s_i以及信号传输的距离差d_i，采用非线性加权最小二乘方法估计目标源的位置，表示为以下非线性加权最小二乘关系式：$\begin{array}{cc}\underset{y={\left[\begin{array}{cc}{x}^T& r\end{array}\right]}^T}{\min }& {(\mathrm{Ay}-b)}^T\hat{W}(\mathrm{Ay}-b)\end{array}$s.t.  r＝||x‑s₀||其中y＝[x^T r]^T为优化变量，x表示目标源位置变量，r表示目标源到参考接收机的距离变量，为权矩阵，矩阵B定义为“s.t.”表示“受约束为”，“min”表示“使最小化”；(4)定义矩阵$D=\left[\begin{array}{cc}{I}_n& 0_{n\times 1}\\ 0_{n\times 1}^T& -1\end{array}\right]$及向量$f=\left[\begin{array}{c}-s_0\\ 0\end{array}\right],$其中“I_n”为n×n单位矩阵，“0_n×1”为n×1零向量，将步骤(3)中的非线性加权最小二乘关系式等价写为如下关系式：$\begin{array}{cc}\underset{y}{\min }& {(\mathrm{Ay}-b)}^T\hat{W}(\mathrm{Ay}-b)\end{array}$s.t.  y^TDy+2f^Ty+||s₀||²＝0.然后，构造上述关系式的拉格朗日函数$L\left(\lambda \right)={(\mathrm{Ay}-b)}^T\hat{W}(\mathrm{Ay}-b)+\lambda (y^T\mathrm{Dy}+{2f}^{T}y+{\left|\right|s_0\left|\right|}^2),$其中λ为拉格朗日乘子，最后，利用二分法得到最优拉格朗日乘子，记为λ^*；(5)将步骤(4)得到的最优拉格朗日乘子λ^*代入关系式中，得到$\hat{y}={(A^T\hat{W}A+{\lambda }^{*}D)}^{-1}(A^T\hat{W}b-{\lambda }^{*}f),$其中为加权最小二乘关系式的全局最优解，将代入公式y＝[x^T r]^T，得到其中即为目标源在参考坐标系中坐标的有偏估计值；(6)定义矩阵F为$F=-2\left[\begin{array}{c}{d}_1{\rho }^T+{(s_1-s_0)}^T\\ .\\ .\\ .\\ d_i{\rho }^T+{(s_i-s_0)}^T\\ .\\ .\\ .\\ d_N{\rho }^T+{(s_N-s_0)}^T\end{array}\right],$其中为n×1维列向量，再定义矩阵V和U为$U=\hat{W}B-\hat{W}F{\left(F^T\hat{W}F\right)}^{-1}{F}^T\hat{W}B,$定义向量g，h为$g=-2\left[\begin{array}{c}{\Sigma }_{i=1}^N{\rho }^T{v}_i{Q}_{1,i}\\ .\\ .\\ .\\ {\Sigma }_{i=1}^N{\rho }^T{v}_i{Q}_{j,i}\\ .\\ .\\ .\\ {\Sigma }_{i=1}^N{\rho }^T{v}_i{Q}_{N,i}\end{array}\right],h=-2\left[\begin{array}{c}{\Sigma }_{i=1}^N{{\rho }_1}^T{u}_i^T{q}_i\\ .\\ .\\ .\\ {\Sigma }_{i=1}^N{{\rho }_k}^T{u}_i^T{q}_i\\ .\\ .\\ .\\ {\Sigma }_{i=1}^N{{\rho }_n}^T{u}_i^T{q}_i\end{array}\right]$其中ρ_k为ρ的第k个元素，k＝1,…n，v_i,u_i,q_i分别是V、U以及Q的第i列向量，而Q_j,i是Q的第j行，第i列元素，j＝1,…,N，定义偏差$E\left[\mathrm{\Delta x}\right]={\left(F^T\hat{W}F\right)}^{-1}{F}^T\hat{W}\bar{q}-{\left(F^T\hat{W}F\right)}^{-1}{F}^T\hat{W}g+{\left(F^T\hat{W}F\right)}^{-1}h,$得到目标源在参考坐标系中坐标的最终无偏估计值为这里，是由Q的对角线元素组成的列向量。