一种组合梁弯曲振动的固有频率分析方法

摘要

一种组合梁弯曲振动的固有频率分析方法，属于横梁振动固有频率分析方法。根据组合梁几何特征，构建一种基于经典Euler-Bernoulli梁(EB)与Timoshenko梁(TB)理论的混合梁单元ETE-B，各ETE-B中EB梁单元和TB梁单元通过边界条件连续进行联接，建立组合梁的动力学模型、弯曲振动方程，获得经典边界条件下组合梁的参数化频率方程，最后利用一维搜索法确定组合梁的固有频率；所述的一维搜索法在于先确定固有圆频率的可行域，进而在各个可行域内使用二分法获得固有频率数值。优点：1)对组合梁动力学特性的分析涉及的物理意义明确；2)固有频率的获取只与横梁材料、尺寸有关，建立的参数化频率方程具有普适性，无需模型试验或三模建模下的有限元分析。

主权项

1.一种组合梁弯曲振动的固有频率分析方法，其特征在于：根据组合梁几何特征，构建一种基于经典Euler-Bernoulli梁(EB)与Timoshenko梁(TB)理论的混合梁单元ETE-B，各ETE-B中EB梁单元和TB梁单元通过边界条件连续进行联接，建立组合梁的动力学模型、弯曲振动方程，获得经典边界条件下组合梁的参数化频率方程，最后利用一维搜索法确定组合梁的固有频率；具体步骤如下：步骤1、组合梁的动力学模型建立：根据经典梁结构动力学理论，梁截面尺寸相比于跨度而言很小，一般都可以认为是Euler-Bernoulli梁(EB)；然而，当梁体或梁单元的深跨比比1/5大很多时，通常被看作Timoshenko梁(TB)，研究其弯曲振动特征时，需考虑转动惯量和截面剪切变形的影响；混合梁单元包括一段代号为TB-i+1的Timoshenko梁和两段代号分别为EB-i和EB-i+2的Euler-Bernoulli梁，以Timoshenko梁的序号数值(i+1)的一半标示，即两类梁单元在交界面F_i和F_i+1处通过双边V缝周边对焊联接，材料体密度均为ρ，弹性模量均为E；TB-i+1中，梁段宽b、高h、长l_i+1，满足h/l_i+1∈[1/5,+∞]，截面面积A_i+1，相对于x轴的二次惯性矩为I_i+1，截面的剪切修正系数为κ，材料的剪切弹性模量为G；EB-i和EB-i+2中，梁段宽均为b、高均为h、长分别为l_i和l_i+2(l_i＝l_i+2)，壁厚均为h₀，满足h/l_i和h/l_i+2∈[0,1/5)，截面面积分别为A_i和A_i+2(A_i+1＝A_i+2)，相对于x轴的二次惯性矩分别为I_i和I_i+2(I_i+1＝I_i+2)；步骤2、混合梁单元ETE-B的动力学分析：在Euler-Bernoulli梁单元EB-i的固有圆频率ω满足：${\lambda }^4=\frac{{\mathrm{\rho A}}_i}{{\mathrm{EI}}_i}{\omega }^2,---\left(2\right)$式(2)中λ为EB频率参数，且有振型函数：Y_i(x)＝e_i,1sinλx+e_i,2cosλx+e_i,3sinhλx+e_i,4coshλx.   (3)式(3)中e_i,1,e_i,2,e_i,3和e_i,4为EB-i梁单元边界条件决定的系数；对于其他等截面等长Euler-Bernoulli梁单元，只需对应更改梁单元序号i；由于是同一根组合梁的不同单元，Timoshenko梁单元TB-i+1的固有圆频率与步骤2中EB-i的固有圆频率ω相同，在满足$\omega <\sqrt{\frac{{2A}_{i+1}E{\kappa }^2{G}^2}{{\mathrm{\rho I}}_{i+1}(E+\mathrm{\kappa G})}}---\left(6\right)$的前提下，有一组虚根：$r_{\mathrm{1,2}}=\pm \bar{r}·i,---\left(7\right)$式(7)中为TB虚频率参数，i为虚数单位，满足$\bar{r}=\sqrt{2{\mathrm{\kappa GEI}}_{i+1}\omega (\kappa {\mathrm{G\rho I}}_{i+1}\omega +{\mathrm{E\rho I}}_{i+1}\omega +\sqrt{{\rho }^2{I}_{i+1}^2{\omega }^2{(\mathrm{\kappa G}-E)}^2+{4\kappa }^2{G}^2\rho A_{i+1}{\mathrm{EI}}_{i+1}})}/\left(2\kappa {\mathrm{GEI}}_{i+1}\right),---\left(8\right)$而还有一组实根$r_{\mathrm{3,4}}=\pm \underset{~}{r},---\left(9\right)$式(9)中为TB实频率参数，满足$\underset{~}{r}=\sqrt{-2{\mathrm{\kappa GEI}}_{i+1}\omega (\kappa {\mathrm{G\rho I}}_{i+1}\omega +{\mathrm{E\rho I}}_{i+1}\omega -\sqrt{{\rho }^2{I}_{i+1}^2{\omega }^2{(\mathrm{\kappa G}-E)}^2+{4\kappa }^2{G}^2\rho A_{i+1}{\mathrm{EI}}_{i+1}})}/\left(2\kappa {\mathrm{GEI}}_{i+1}\right).---\left(10\right)$TB-i+1的弯曲变形振型表达式：$Y_{i+1}\left(x\right)=t_{i+\mathrm{1,1}}\sin \left(\bar{r}x\right)+t_{i+1,2}\cos \left(\bar{r}x\right)+t_{i+\mathrm{1,3}}\sinh \left(\underset{~}{r}x\right)\text{+}{t}_{i+\mathrm{1,4}}\cosh \left(\underset{~}{r}x\right).---\left(11\right)$式中，t_i+1,1,t_i+1,2,t_i+1,3和t_i+1,4为TB-i+1梁单元边界条件决定的系数；TB-i+1的截面转角振型表达式：$\begin{array}{c}{\phi }_{i+1}\left(x\right)=-(\bar{r}-\frac{{\mathrm{\rho \omega }}^2}{\mathrm{\kappa G}\bar{r}})t_{i+\mathrm{1,2}}·\sin \left(\bar{r}x\right)+(\bar{r}-\frac{{\mathrm{\rho \omega }}^2}{\mathrm{\kappa G}\bar{r}})t_{i+\mathrm{1,1}}·\cos \left(\bar{r}x\right)+\\ (\underset{~}{r}+\frac{{\mathrm{\rho \omega }}^2}{\mathrm{\kappa G}\underset{~}{r}})t_{i+\mathrm{1,4}}·\sinh \left(\underset{~}{r}x\right)+(\underset{~}{r}+\frac{{\mathrm{\rho \omega }}^2}{\mathrm{\kappa G}\underset{~}{r}})t_{i+\mathrm{1,3}}·\cosh \left(\underset{~}{r}x\right)\end{array}.---\left(12\right)$对于其他等截面等长Timoshenko梁单元，只需对应更改梁单元序号i+1；步骤3、混合梁单元ETE-B联接条件的数学描述：定义EB系数$E_i^F=\left[\begin{array}{cccc}{e}_{i,1}& e_{i,2}& e_{i,3}& e_{i,4}\end{array}\right]$和TB系数$T_{i+1}^F=\left[\begin{array}{cccc}{t}_{i+\mathrm{1,1}}& t_{i+\mathrm{1,2}}& t_{i+\mathrm{1,3}}& t_{i+\mathrm{1,4}}\end{array}\right],$则在交界面F_i＝(EB-i)∩(TB-i+1)处，存在振型系数界面联接向量：和振型界面联接特征矩阵类似地，在交界面F_i+1＝(TB-i+1)∩(EB-i+2)处存在振型系数界面联接向量和振型界面联接特征矩阵因此，任意单段混合梁单元的振型联接特征矩阵和振型系数联接向量分别为：和${\left[{}_{i+1}{}^{1}C\right]}_{12\times 1}=[C_i^F\cup C_{i+1}^F]=\left[\begin{array}{ccc}{E}_i^F& T_{i+1}^F& E_{i+2}^F\end{array}\right],---\left(28\right)$且满足：${}_{i+1}{}^{1}D·{}_{i+1}{}^{1}C=0.---\left(29\right)$左上标为ETE-B的段数，左下标为首段组合梁中TB梁序号，对于任意连续两段ETE-B，TB梁单元序号为i+1和i+3，共同拥有EB-i+2，振型联接特征矩阵和振型系数联接向量分别为：和${\left[{}_{i+1}{}^{2}C\right]}_{20\times 1}=[{}_{i+1}{}^{1}C\cup {}_{i+3}{}^{1}C=][C_i^F\cup C_{i+1}^F\cup C_{i+2}^F{C}_{i+3}^F]=\left[\begin{array}{ccccc}{E}_i^F& T_{i+1}^F& E_{i+2}^F& T_{i+3}^F& E_{i+4}^F\end{array}\right],---\left(31\right)$且满足：${}_{i+1}{}^{2}D·{}_{i+1}{}^{2}C=0.---\left(32\right)$其中，和分别由和将其各含右下标元素的右下标数值上加2获得，未给出大小的“0”的维数视矩阵整体而定；对于n段ETE-B构成的组合梁，TB梁单元序号依次为2,4,6,…,2j,…,2n，振型联接特征矩阵和振型系数联接向量分别为：和${\left[{}_2{}^{n}C\right]}_{(8n+4)\times 1}=\left[{}_2{}^{1}C\cup {}_4{}^{1}C\cup ...\cup {}_{2j-2}{}^{1}C\cup {}_{2j}{}^{1}C{}_{2j+2}{}^{1}C\cup ...\cup {}_{2n-1}{}^{1}C\cup {}_{2n}{}^{1}C\right],---\left(34\right)$且满足：${}_2{}^{n}D·{}_2{}^{n}C=0.---\left(35\right)$其中，左上标“n”为组合梁中ETE-B的段数，左下标“2”为首段混合梁单元中TB梁单元序号；步骤4、组合梁边界条件的数学描述：对于n段ETE-B构成的组合梁，其经典边界条件下的数学表达如下：左端固支(CL)${\left[D_0^F\right]}_C=\left[\begin{array}{cccc}\sin (\lambda ·0)& \cos (\lambda ·0)& \sinh (\lambda ·0)& \cosh (\lambda ·0)\\ \lambda \cos (\lambda ·0)& -\lambda \sin (\lambda ·0)& \lambda \cosh (\lambda ·0)& \lambda \sinh (\lambda ·0)\end{array}\right],---\left(41\right)$左端简支(PL)${\left[D_0^F\right]}_P=\left[\begin{array}{cccc}\sin (\lambda ·0)& \cos (\lambda ·0)& \sinh (\lambda ·0)& \cosh (\lambda ·0)\\ {-\lambda }^2\sin (\lambda ·0)& {-\lambda }^2\cos (\lambda ·0)& {\lambda }^2\sinh (\lambda ·0)& {\lambda }^2\cosh (\lambda ·0)\end{array}\right],---\left(42\right)$右端自由(FR)${\left[D_{2n+1}^F\right]}_F=\left[\begin{array}{cccc}{-\lambda }^2\sin {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}& {-\lambda }^2\cos {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}& {\lambda }^2\sin {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}& {\lambda }^2\cosh {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}\\ {-\lambda }^3\sin {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}& {-\lambda }^3\sin {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}& {\lambda }^3\cosh {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}& {\lambda }^3\sinh {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}\end{array}\right],---\left(43\right)$右端简支(PR)${\left[D_{2n+1}^F\right]}_P=\left[\begin{array}{cccc}\sin {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}& \cos {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}& \sin {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}& \cosh {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}\\ {-\lambda }^2\sin {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}& {-\lambda }^2\cos {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}& {\lambda }^2\sinh {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}& {\lambda }^2\cosh {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}\end{array}\right],---\left(44\right)$右端固支(CR)${\left[D_{2n+1}^F\right]}_C=\left[\begin{array}{cccc}\sin {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}& \cos {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}& \sin {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}& \cosh {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}\\ \lambda \cos {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}& -\lambda \sin {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}& \lambda \cosh {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}& \lambda \sinh {\mathrm{\lambda l}}_{2n+1}\end{array}\right],---\left(45\right)$步骤5、组合梁参数化频率方程的建立：两端经典边界条件(分别是式(41)、(42)描述的和式(43)～(45)描述的)的n段ETE-B构成的组合梁的振型特征矩阵D和振型系数向量C分别为：和${\left[C\right]}_{(8n+4)\times 1}=[{{}_2{}^{n}C]}_{(8n+4)\times 1},---\left(47\right)$且满足：[D]_{(8n+4)×(8n+4)}·[C]_(8n+4)×1＝0.   (48)令组合梁的特征方程系数矩阵D的行列式(以特征函数f(λ)＝|D|表示)为零，求解参数化频率方程：f(λ)＝|D|＝0   (49)即获得整根组合梁的固有圆频率ω，按式f＝ω/2π计算组合梁的各阶固有频率f。