一种基于内点法的LPV模型非线性预测控制方法

摘要

本发明公开了一种基于内点法的LPV模型非线性预测控制方法。首先在设置的工作点上，对系统复杂的机理模型进行线性化得到多个线性子模型；其次选择权重函数，加权各线性子模型得到系统的全局逼近模型，称为线性变参数模型即LPV模型；再将LPV模型作为预测模型，选用二次型性能指标函数构建非线性预测控制命题；最后在滚动优化过程中，用内点算法求解优化命题，得到最优控制序列完成非线性预测控制。与现有技术相比，本发明所述的方法，基于LPV模型全联立直接求解，求解精度高、算法耗时短；体现到控制效果上，则缩短系统的过渡过程、减少资源消耗，特别在大范围变工况下，明显地提高系统的控制品质。

主权项

一种基于内点法的LPV模型非线性预测控制方法，其特征在于该方法包括以下步骤：步骤(1)、将复杂工业对象的机理模型在工作点上进行线性化处理，得到与工作点个数相同的线性子模型，其中工作点即为复杂工业对象的运行工况：所述的复杂工业对象的机理模型采用微分方程描述如下：$\stackrel{·}{x}=\phi (x,u,y,t)$y＝ψ(x,u,t)    (1)其中t是时间，x∈Rⁿ是系统的状态向量，u∈R^r、y∈R^p分别是系统的输入和输出向量，φ(.)和ψ(.)都是非线性函数；将引起系统非线性的主要因素选作系统的工作点变量w，所述的工作点变量为系统的输入变量或者输出变量之一，由工作点变量w确定工业对象过程操作的工作点；假设上述工业对象有p个工作点，在操作空间Ω内的第j个工作点(x_oj,u_oj,y_oj)上对系统进行线性化处理，得到第j个工作点上的线性状态空间方程如下：$M_j:\left\{\begin{array}{c}\delta \stackrel{\stackrel{·}{^}}{x}={\hat{A}}_j\delta \hat{x}+{\hat{B}}_j\delta \hat{u}\\ \delta \hat{y}={\hat{C}}_j\delta \hat{x}+{\hat{D}}_j\delta \hat{u}\end{array}\right.,j=\mathrm{1,2},...p---\left(2\right)$其中，$\delta \hat{x}=\hat{x}-x_{\mathrm{oj}},\delta \hat{u}=\hat{u}-u_{\mathrm{oj}},\delta \hat{y}=\hat{y}-y_{\mathrm{oj}},{\hat{A}}_j=\frac{\partial \phi (.)}{\partial \hat{x}}\left|\right|(x_{\mathrm{oj}},u_{\mathrm{oj}}),$${\hat{B}}_j=\frac{\partial \phi (.)}{\partial \hat{u}}\left|\right|(x_{\mathrm{oj}},u_{\mathrm{oj}}),{\hat{C}}_j=\frac{\partial \psi (.)}{\partial \hat{x}}\left|\right|(x_{\mathrm{oj}},u_{\mathrm{oj}}),{\hat{D}}_j=\frac{\partial \psi (.)}{\partial \hat{u}}\left|\right|(x_{\mathrm{oj}},u_{\mathrm{oj}});$根据采样周期T对式(2)离散化，得到系统的离散增量状态空间方程如下：$M_j:\left\{\begin{array}{c}\Delta \hat{x}(k+1)=A_j\Delta \hat{x}\left(k\right)+B_j\Delta \hat{u}\left(k\right)\\ \Delta \hat{y}\left(k\right)=C_j\Delta \hat{x}\left(k\right)+D_j\Delta \hat{u}\left(k\right)\end{array}\right.,j=\mathrm{1,2},...,p---\left(3\right)$其中$\Delta \hat{x}(k+1)=\hat{x}(k+1)-x_{\mathrm{oj}},\Delta \hat{x}\left(k\right)-\hat{x}\left(k\right)-x_{\mathrm{oj}},\Delta \hat{y}\left(k\right)=\hat{y}\left(k\right)-y_{\mathrm{oj}},\Delta \hat{u}\left(k\right)=\hat{u}\left(k\right)-u_{\mathrm{oj}},$k是采样时刻，A_j,B_j,C_j,D_j分别是的离散化矩阵；依次重复上述线性化处理方法，分别得到系统在p个工作点上的p个线性子模型；步骤(2)、将步骤(1)得到的所有线性子模型利用权重函数加权得到LPV模型：所述的LPV模型的权重函数采用线性分段函数，其数学表达形式如下：${\alpha }_1\left(w\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& w\left(t\right)<w_1\\ \frac{w_2-w\left(t\right)}{w_2-w_1}& w_1\le w\left(t\right)<w_2\\ 0& w\left(t\right)\ge w_2\end{array}\right.$${\alpha }_j\left(w\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{w\left(t\right)-w_{j-1}}{w_j-w_{j-1}}& w_{j-1}\le w\left(t\right)<w_j\\ \frac{w_{j+1}-w\left(t\right)}{w_{j+1}-w_j}& w_j\le w\left(t\right)\le w_{j+1}\\ 0& \mathrm{others}\end{array}\right.,(j=\mathrm{2,3}...,p-1)$${\alpha }_p\left(w\right)=\begin{array}{}\end{array}\left\{\begin{array}{cc}0& w\left(t\right)<w_{p-1}\\ \frac{w\left(t\right)-w_{p-1}}{w_p-w_{p-1}}& w_{p-1}\le w\left(t\right)<w_p\\ 1& w\left(t\right)\ge w_p\end{array}\right.---\left(4\right)$根据式y＝Σ_jα_j(w)M_j用分段线性权重函数加权步骤(1)的线性子模型，得到全局LPV模型；LPV模型采用状态空间描述如下：x(k+1)＝Ax(k)+Bu(k)                                   (5)y(k)＝C(w)x(k)+D(w)u(k)其中，$B=\left[\begin{array}{c}{B}_1\\ B_2\\ .\\ .\\ .\\ B_p\end{array}\right],$C(w)＝[α₁(w)C₁ α₂(w)C₂ … α_p(w)C_p]D(w)＝α₁(w)D₁+α₂(w)D₂+…α_p(w)D_p步骤(3)、用步骤(2)中得到的LPV模型作为预测模型，选取二次型性能指标函数作为目标函数，构建非线性预测控制命题：由于x(k)是工业对象当前时刻的状态，为已知状态；利用LPV模型即公式(5)进行迭代预测：x(k+1|k)＝Ax(k)+Bu(k|k)x(k+2|k)＝A²x(k)_+ABu(k|k)+Bu(k+1|k)                                           (6)···x(x+P|k)＝A^Px(k)+A^P‑1Bu(k|k)+…Bu(k+P‑1|k)其中，P为预测时域；同时，在k时刻已知上一时刻的输入量u(k‑1),所以有其中，M为控制时域，u(k+i|k)＝0,M≤i≤P‑1；将公式(7)代入到公式(6)中，推导得到：$\left[\begin{array}{c}x(k+1|k)\\ .\\ .\\ .\\ x(k+M|k)\\ x(k+M+1|k)\\ .\\ .\\ .\\ x(k+P|k)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}A\\ .\\ .\\ .\\ A^M\\ A^{M+1}\\ .\\ .\\ .\\ A^P\end{array}\right]x\left(k\right)+\left[\begin{array}{c}B\\ .\\ .\\ .\\ \underset{i=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}{A}^{i}B\\ \underset{i=0}{\overset{M}{\Sigma }}{A}^{i}B\\ .\\ .\\ .\\ \underset{i=0}{\overset{P-1}{\Sigma }}{A}^{i}B\end{array}\right]u(k-1)+\left[\begin{array}{ccc}B& ...& 0\\ \mathrm{AB}+B& ...& 0\\ ...& ...& ...\\ \underset{i=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}{A}^{i}B& ...& B\\ \underset{i=0}{\overset{M}{\Sigma }}{A}^{i}B& ...& \mathrm{AB}+B\\ ...& ...& ...\\ \underset{i=0}{\overset{P-1}{\Sigma }}{A}^{i}B& ...& \underset{i=0}{\overset{P-M}{\Sigma }}{A}^{i}B\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Delta u}\left(k\right|k)\\ \mathrm{\Delta u}(k+1|k)\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{\Delta u}(k+M-1|k)\end{array}\right]---\left(8\right)$公式(3)中D_j≠0这种情况不常见而且会使优化计算复杂化，一般假定D_j＝0，因此由公式(3)推导得到的公式(5)中D(w)＝0；利用LPV模型得到预测输出：$\left[\begin{array}{c}y(k+1|k)\\ y(k+2|k)\\ .\\ .\\ .\\ y(k+P|k)\end{array}\right]=\begin{array}{}\end{array}\left[\begin{array}{cccc}C\left(w_{k+1}\right)& 0& ...& 0\\ 0& C\left(w_{k+2}\right)& ...& 0\\ ...& ...& ...& ...\\ 0& 0& ...& C\left(w_{k+P}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x(k+1|k)\\ x(k+2|k)\\ .\\ .\\ .\\ x(k+P|k)\end{array}\right]---\left(9\right)$为了克服模型失配，利用常值输出扰动d(k|k)对系统进行反馈校正；因此在有常值输出扰动的情况下，根据公式(9)得到预测输出为：$\left[\begin{array}{c}y(k+1|k)\\ y(k+2|k)\\ .\\ .\\ .\\ y(k+P|k)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}C\left(w_{k+1}\right)& 0& ...& 0\\ 0& C\left(w_{k+2}\right)& ...& 0\\ ...& ...& ...& ...\\ 0& 0& ...& C\left(w_{k+P}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x(k+1|k)\\ x(k+2|k)\\ .\\ .\\ .\\ x(k+P|k)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}I\\ I\\ .\\ .\\ .\\ I\\ .\\ .\\ .\\ I\end{array}\right]d\left(k\right|k)---\left(10\right)$选二次型性能指标函数为目标函数：$\underset{\mathrm{\Delta U}}{\min }=\underset{i=1}{\overset{P}{\Sigma }}{\left|\right|y_r-y(k+i|k)\left|\right|}_Q^2+\underset{i=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}{\left|\right|\mathrm{\Delta u}-(k+i|k)\left|\right|}_R^2---\left(11\right)$其中y_r定义为输出变量的期望值；Q阵和R阵分别称为误差权矩阵和控制权矩阵；约束条件：Δu^‑≤Δu(k+i|k)≤Δu⁺(i＝0…M‑1)u^‑≤u(k+i|k)≤u⁺(i＝0…M‑1)    (12)y^‑≤y(k+i|k)≤y⁺(i＝1…P)其中u⁺和u^‑是控制量u的操作上下限；Δu⁺和Δu^‑是控制增量Δu的操作上下限；y⁺和y^‑是输出变量y的操作上下限；由目标函数公式(11)和约束条件公式(12)构成了LPV模型非线性预测控制命题；步骤(4)、用内点法求解步骤(3)得到的优化命题，得到当前时刻系统的控制增量施加于工业对象，并进行下一步滚动优化，实现工业对象的跟踪控制。