用于信号处理的收缩线性和收缩广义线性复最小二乘算法

摘要

为了解决在实际应用中传统的固定更新步长，以及未考虑信号的非圆性时的收敛速度慢以及均方误差大等问题，本发明提出收缩线性和收缩广义线性的复最小二乘算法适用与自适应波束形成，利用了权值更新时的可变步长，使得不考虑噪声时的后验误差的瞬时平均误差最小化，并且收缩广义线性的复最小二乘算法还考虑了期望信号的非圆性。这两种方法提高了收敛速度以及大大地降低稳态均方误差。

主权项

一种用于信号处理的收缩线性复最小二乘方法，所述方法应用到波束形成中，其特征在于：所述包括以下步骤：1)考虑一M阵元的均匀线阵，令x(k)表示其接收的样本数据矩阵，得到x(k)＝a(θ_d)s₀(k)+n(k)，其中$a\left({\theta }_d\right)={[1,e^{j2\mathrm{\pi \Delta }\sin \left({\theta }_d\right)/\lambda },···,e^{j(M-1)2\mathrm{\pi \Delta }\sin \left({\theta }_d\right)/\lambda }]}^T$为期望信号的导向矢量，Δ代表相邻阵元间的阵列间隔，λ代表波长$n\left(k\right)={\Sigma }_{i=1}^{P}a\left({\theta }_i\right)s_i\left(k\right)+\eta \left(k\right);$2)计算阵列的输出y＝w(k)^Hx(k)，由最小均方误差准则得$J\left[w\left(k\right)\right]\stackrel{\Delta }{=}{|s_0\left(k\right)-y\left(k\right)|}^2={|s_0\left(k\right)-w{\left(k\right)}^{H}x\left(k\right)|}^2,$使J[w(k)]最小，则得到w(k+1)=w(k)+μe^*(k)x(k)；3)用可变步长μ_k来代替上述的μ值，得到$w(k+1)=w\left(k\right)+{\mu }_k{[s_0\left(k\right)-y]}^{*}x\left(k\right)=[I_M-{\mu }_{k}x\left(k\right)x^H\left(k\right)]w\left(k\right)+{\mu }_k{s}_0^{*}\left(k\right)x\left(k\right),$设权值误差矢量为v(k)＝w(k)‑w_opt，则得到权值误差矢量的更新过程$v(k+1)=[I_M-{\mu }_{k}x\left(k\right)x^H\left(k\right)]v\left(k\right)+{\mu }_k{\in }_{\mathrm{opt}}^{*}\left(k\right)x\left(k\right),$其中，${\in }_{\mathrm{opt}}\left(k\right)=s_0\left(k\right)-w_{\mathrm{opt}}^{H}x\left(k\right);$4)在k时刻时，波束器的输出与期望信号之间的先验误差为$e\left(k\right)=s_0\left(k\right)-w^H\left(k\right)x\left(k\right)={\in }_{\mathrm{opt}}\left(k\right)+w_{\mathrm{opt}}^{H}x\left(k\right)-w^H\left(k\right)x\left(k\right)={\in }_{\mathrm{opt}}\left(k\right)+e_f\left(k\right),$其中无噪声时的先验误差为$e_f\left(k\right)=w_{\mathrm{opt}}^{H}x\left(k\right)-w^H\left(k\right)x\left(k\right)=-v^H\left(k\right)x\left(k\right);$5)类似地，后验误差为ε(k)＝∈_opt(k)+ε_f(k)，其中无噪声时的后验误差为${ϵ}_f\left(k\right)=w_{\mathrm{opt}}^{H}x\left(k\right)-w^H(k+1)x\left(k\right)=-v^H(k+1)x\left(k\right);$6)通过计算可得到ε_f(k)与e_f(k)之间的关系为：ε_f(k)＝(1‑μ_k||x(k)||²)e_f(k)‑μ_k∈_opt(k)||x(k)||²，对其平方的两边同时对μ_k求导数并且使导数等于0则得到$2{\left|e_f\left(k\right)\right|}^2+{\in }_{\mathrm{opt}}^{*}\left(k\right)e_f\left(k\right)+{\in }_{\mathrm{opt}}\left(k\right)e_f^{*}\left(k\right)=2{\mu }_k{\left|\right|x\left(k\right)\left|\right|}^2{\left[\right|e_f\left(k\right)+{\in }_{\mathrm{opt}}\left(k\right)|}^2];$7)根据上述公式对步骤(6)进行化简得当μ_k是常数时，上式肯定成立；实际上，在稳态时，μ_k与x(k)、e(k)相比变化比较慢,因此，认为它们是近似不相关的，则可得${\mu }_k=\frac{E\left[{\left|e_f\left(k\right)\right|}^2\right]}{E\left[{\left|\right|x\left(k\right)\left|\right|}^2\right]E\left[{\left|e\left(k\right)\right|}^2\right]},$8)在实际应用中，通常E[||x(k)||²]是已知的，E[|e(k)|²]是通过估计出的,但是，e_f(k)是未知的，很难通过求解E[e_f(k)|²]来解上述步长；9)通过收缩去噪方法使e(k)恢复出e_f(k):即利用f[e_f(k)]＝0.5|e_f(k)‑e(k)|²+α|e_f(k)|，使此式最小，则可得到，从而代入到${\sigma }_{\mathrm{ef}}^2\left(k\right)={\mathrm{\lambda \sigma }}_{\mathrm{ef}}^2(k-1)+(1-\lambda ){\left|{\hat{e}}_f\left(k\right)\right|}^2$中得到E[e_f(k)|²]的估计量；10)将上述各个估计量代入，则得到收缩线性最小二乘法得步长值从而代替步骤2中的μ得到所述收缩线性复最小二乘方法的权值更新过程。