基于刀位点修改的曲面刀轨轮廓误差补偿方法

摘要

本发明基于刀位点修改的曲面刀轨轮廓误差补偿方法属于数控机床动态误差补偿领域，涉及一种轮廓误差估计新方法和基于刀位点修改的曲面刀轨轮廓误差补偿新方法。该方法在辨识加工进给轴控制系统伺服增益的基础上，根据随动误差模型和直线插补加工代码，离线估计实际加工点；利用理想刀轨“累加弦长参数三次样条”近似的方法估计轮廓误差矢量；再利用轮廓误差矢量在各轴的分量计算轮廓误差补偿值，得到补偿后刀位点，进而生成补偿后直线插补数控加工代码，用于实际加工。该方法是提高数控机床动态精度的刀轨轮廓误差补偿方法，精确度高，计算过程稳定，无需在线测量。便于实施，适用范围广。

主权项

一种基于刀位点修改的加工曲面刀轨轮廓误差补偿方法，其特征是，该方法在辨识加工进给轴控制系统伺服增益的基础上，根据随动误差模型和直线插补加工代码，离线估计实际加工点；利用理想刀轨“累加弦长参数三次样条”近似的方法估计轮廓误差矢量；再利用轮廓误差矢量在各轴的分量计算轮廓误差补偿值，得到补偿后刀位点，进而生成补偿后直线插补数控加工代码，用于实际加工，从而提高高进给速度加工曲面刀轨的轮廓精度；方法的具体步骤如下：1)基于典型刀具加工轨迹轮廓误差测量，对各加工进给轴控制系统的位置环伺服增益进行辨识：首先，设计拐角轮廓C₁C₂C₃，其中C₁C₂段与机床X进给轴正向夹角为零，数控指令加工进给速度为v₀，C₂C₃段与机床X进给轴正向夹角为α，数控指令加工进给速度为v₀/cosα，故在该加工轨迹全程，X进给轴加工进给速度分量始终为v₀；与该加工轨迹对应的实际加工轨迹为C₁'C₂'C₃'，考虑静态误差的影响，C₂和C₂'之间的距离，即拐点处加工误差Ex＝e_x(v₀)+e₀，其中，e_x(v₀)为与加工进给速度有关的随动误差，且e₀为机床在C₂点处的静态误差，故得到：$\mathrm{Ex}=\frac{v_0}{{\mathrm{Kv}}_x}+e_0---\left(1\right)$拐点误差Ex与X进给轴加工进给速度分量v₀之间呈线性关系，利用最小二乘法辨识出X进给轴控制系统的位置环伺服增益Kv_x；其次，通过测量直线轨迹的轮廓误差，对Y进给轴控制系统的位置环伺服增益进行辨识；与拐角误差相比，直线轨迹轮廓误差较小，不易测量，故设计l₁、l₂、l₃三条间距相同的理论加工直线段轨迹，且与X进给轴正向夹角相同，为θ_l，l₁'、l₂'、l₃'分别为l₁、l₂、l₃对应的实际加工轨迹；l₁和l₃的加工进给速度相同且相对很低，故轮廓误差相等且相对较小，为E_l0；l₂的加工进给速度高，为v_l，轮廓误差为E_l，根据直线轨迹轮廓误差模型，二者满足：$E_l=\frac{v_l\sin \left({2\theta }_l\right)}{2}(\frac{1}{{\mathrm{Kv}}_y}-\frac{1}{{\mathrm{Kv}}_x})---\left(2\right)$此外，令l₁'与l₂'间距为d₁，l₂'与l₃'间距为d₂，由尺寸关系得：$E_l=\frac{d_1-d_2}{2}+E_{l0}---\left(3\right)$结合(2)、(3)式可得：Δd＝Cons·v_l‑E_l0      (4)式中，通过测量间距d₁和d₂并计算得出；Cons为常数，且：$\mathrm{Cons}=\frac{\sin \left({2\theta }_l\right)}{2}(\frac{1}{{\mathrm{Kv}}_y}-\frac{1}{{\mathrm{Kv}}_x})---\left(5\right)$从(4)式可以看出，Δd与v_l之间为线性关系，通过测量并计算不同进给速度v_l下的Δd值，利用最小二乘法拟合出系数Cons，并利用(5)式和已辨识出的Kv_x计算得出Y轴伺服增益Kv_y：${\mathrm{Kv}}_y=\frac{{\mathrm{Kv}}_x\sin \left({2\theta }_l\right)}{\sin \left({2\theta }_l\right)+2K{v}_x\mathrm{Cons}}---\left(6\right)$2)计算理论刀位点对应的实际加工位置根据西门子系统的数控机床在“连续路径”运行模式下高进给速度加工刀具轨迹轮廓误差的产生机理，令第i个理论刀位点为R_i(Rx_i,Ry_i)，则与之对应的实际加工位置P_i(Px_i,Py_i)为：$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{Px}}_i={\mathrm{Px}}_i-e_{x\_i}\\ {\mathrm{Py}}_i={\mathrm{Py}}_i-e_{y\_i}\end{array}\right.---\left(7\right)$式中，e_{x_i}、e_{y_i}为各进给轴的随动误差，且：$\left\{\begin{array}{c}{e}_{x\_i}=\frac{v_{x\_i}}{{\mathrm{Kv}}_x}\\ e_{y\_i}=\frac{v_{y\_i}}{{\mathrm{Kv}}_y}\end{array}\right.---\left(8\right)$其中，v_{x_i}、v_{y_i}分别为第i个程序段X轴和Y轴的进给速度分量，固有：$\left\{\begin{array}{c}{v}_{x\_i}=\frac{v_i({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Px}}_{i-1})}{\sqrt{{({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Px}}_{i-1})}^2+{({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Py}}_{i-1})}^2}}\\ v_{y\_i}=\frac{v_i({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Py}}_i)}{\sqrt{{({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Px}}_{i-1})}^2+{({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Py}}_{i-1})}^2}}\end{array}\right.---\left(9\right)$式中，v_i为加工代码中指定的该程序段进给速度；此外，令第一个刀位点处，理论刀位点与实际加工位置坐标相同，并综合式(7)、(8)、(9)可得估计实际加工位置的数学模型为：$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{Px}}_i=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{Rx}}_i& i=1\\ {\mathrm{Rx}}_i-\frac{v_i({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Px}}_{i-1})}{{\mathrm{Kv}}_x\sqrt{{({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Px}}_{i-1})}^2+{({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Py}}_{i-1})}^2}}& i>1\end{array}\right.\\ {\mathrm{Py}}_i=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{Ry}}_i& i=1\\ {\mathrm{Ry}}_i-\frac{v_i({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Py}}_{i-1})}{{\mathrm{Kv}}_y\sqrt{{({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Px}}_{i-1})}^2+{({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Py}}_{i-1})}^2}}& i>1\end{array}\right.\end{array}\right.---\left(10\right)$3)利用“累加弦长参数三次样条”插值估计期望加工轨迹根据直线插补数控加工代码，估计期望加工轨迹在各刀位点处的切向量；对于第i个插补刀位点R_i来说，利用其前一个刀位点R_i‑1和后一个刀位点R_i+1连线的矢量作为R_i处理论加工轨迹的切线Tang_i；另外，对于加工轨迹的起始点R₁，没有前一个刀位点，利用第一和第二个刀位点连线矢量作为加工轨迹起始刀位点R₁处的切向量Tang₁；对于加工轨迹终点R_n，不存在后一个刀位点，利用其前一个刀位点和该点自身连线矢量作为加工轨迹终点R_n处的切向量Tang_n；综上，加工轨迹上每个刀位点切向量表示为：${\mathrm{Tang}}_i=\left\{\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{c}{\mathrm{Rx}}_2-{\mathrm{Rx}}_1\\ {\mathrm{Ry}}_2-{\mathrm{Ry}}_1\end{array}\right)& i=1\\ \left(\begin{array}{c}{\mathrm{Rx}}_{i+1}-{\mathrm{Rx}}_{i-1}\\ {\mathrm{Ry}}_{i+1}-{\mathrm{Ry}}_{i-1}\end{array}\right)& 1<i<n\\ \left(\begin{array}{c}{\mathrm{Rx}}_n-{\mathrm{Rx}}_{n-1}\\ {\mathrm{Ry}}_n-{\mathrm{Ry}}_{n-1}\end{array}\right)& i=n\end{array}\right.---\left(11\right)$每个刀位点处加工轨迹切线的斜率表示为：$\stackrel{.}{y}\left(x_i\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{Ry}}_2-{\mathrm{Ry}}_1}{{\mathrm{Rx}}_2-{\mathrm{Rx}}_1}& i=1\\ \frac{{\mathrm{Ry}}_{i+1}-{\mathrm{Ry}}_{i-1}}{{\mathrm{Rx}}_{i+1}-{\mathrm{Rx}}_{i-1}}& 1<i<n\\ \frac{{\mathrm{Ry}}_n-{\mathrm{Ry}}_{n-1}}{{\mathrm{Rx}}_n-{\mathrm{Rx}}_{n-1}}& i=n\end{array}\right.---\left(12\right)$式中，为第i个插补刀位点R_i处加工轨迹的斜率，n为加工轨迹刀位点总数；令“累加弦长参数三次样条”插值曲线的累加弦长参数为u，表示的是各刀位点间距的累加和，则其在各刀位点处的值u_i表示为：$u_i=\left\{\begin{array}{cc}0& i=1\\ \underset{2}{\overset{i}{\Sigma }}\sqrt{{({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Rx}}_{i-1})}^2+{({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Ry}}_{i-1})}^2}& i\ge 2\end{array}\right.---\left(13\right)$令由于参数u的含义是弦长的累加和，故根据勾股定理du²＝dx²+dy²等得出和的计算公式为：$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{.}{x}\left(u_i\right)=\pm \frac{1}{\sqrt{1+{\left(\stackrel{.}{y}\left(x_i\right)\right)}^2}}\\ \stackrel{.}{y}\left(u_i\right)=\pm \frac{\stackrel{.}{y}\left(x_i\right)}{\sqrt{1+{\left(\stackrel{.}{y}\left(x_i\right)\right)}^2}}\end{array}\right.---\left(14\right)$式中，正负号的选取方法为：对于来说，首先判断Tang_i在X方向分量Tang_i(1)的正负，若Tang_i(1)>0，说明此处X轴具有向正方向运行的趋势，故取正号；若Tang_i(1)<0，说明此处X轴具有向负方向运行的趋势，故取负号；同理可判断的符号；此外，当Tang_i(1)＝0时，说明加工曲线在该点具有竖直切线，既这时的记为和利用式(14)通过取极限的方法获得：$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_{\perp }\left(u_i\right)=\underset{\stackrel{.}{y}\left(x_i\right)\to \infty }{\lim }(\pm \frac{1}{\sqrt{1+{\left(\stackrel{.}{y}\left(x_i\right)\right)}^2}})=0\\ {\stackrel{.}{y}}_{\perp }\left(u_i\right)=\underset{\stackrel{.}{y}\left(x_i\right)\to \infty }{\lim }(\pm \frac{\stackrel{.}{y}\left(x_i\right)}{\sqrt{1+{\left(\stackrel{.}{y}\left(x_i\right)\right)}^2}})=\pm 1\end{array}\right.---\left(15\right)$式中，正负号的选择原理同上，既若Tang_i(2)>0，取若Tang_i(2)<0，取综上，各刀位点R_i处的计算方法如下：由此，利用各刀位点及各刀位点处切向量对期望加工轨迹进行样条拟合；在第i个程序段，即刀位点R_i‑1和R_i之间，拟合的累加弦长参数三次样条曲线S_i的方程为：$\left\{\begin{array}{c}x\left(u\right)={\mathrm{Rx}}_{i-1}(1-2\frac{{u-u}_{i-1}}{u_{i-1}-u_i}){\left(\frac{u-u_i}{u_{i-1}-u_i}\right)}^2+\stackrel{.}{x}\left(u_{i-1}\right)(u-u_{i-1}){\left(\frac{u-u_i}{u_{i-1}-u_i}\right)}^2\\ +{\mathrm{Rx}}_i(1-2\frac{u-u_i}{u_i-u_{i-1}}){\left(\frac{u-u_{i-1}}{u_i-u_{i-1}}\right)}^2+\stackrel{.}{x}\left(u_i\right)(u-u_i){\left(\frac{u-u_{i-1}}{u_i-u_{i-1}}\right)}^2\\ y\left(u\right)={\mathrm{Ry}}_{i-1}(1-2\frac{{u-u}_{i-1}}{u_{i-1}-u_i}){\left(\frac{u-u_i}{u_{i-1}-u_i}\right)}^2+\stackrel{.}{y}\left(u_{i-1}\right)(u-u_{i-1}){\left(\frac{u-u_i}{u_{i-1}-u_i}\right)}^2\\ +{\mathrm{Ry}}_i(1-2\frac{u-u_i}{u_i-u_{i-1}}){\left(\frac{u-u_{i-1}}{u_i-u_{i-1}}\right)}^2+\stackrel{.}{y}\left(u_i\right)(u-u_i){\left(\frac{u-u_{i-1}}{u_i-u_{i-1}}\right)}^2\end{array}\right.---\left(17\right)$4)计算高进给速度加工刀具轨迹轮廓误差估计值在第3)步中拟合的期望加工轨迹上到第i个实际加工位置P_i距离最短的点为Q_i，则轮廓误差矢量ε_i表示为：${ϵ}_i=\overrightarrow{P_i{Q}_i}=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{Qx}}_i-{\mathrm{Px}}_i\\ {\mathrm{Qy}}_i-{\mathrm{Py}}_i\end{array}\right)---\left(18\right)$为计算Q_i的坐标(Qx_i,Qy_i)，首先确定Q_i相邻的两个刀位点R_m和R_m‑1，进而确定Q_i所在的插值曲线段S_m；令对于第i个实际加工位置P_i，计算其中a＝0,1,…；若确定两个相邻刀位点R_i‑a和R_i‑a‑1，使得下式成立：${▿}_i\left(R_{i-a}\right)·{▿}_i\left(R_{i-a-1}\right)<0---\left(19\right)$那么Q_i必在R_i‑a和R_i‑a‑1之间的插值曲线段S_i‑a上，即m＝i‑a，证明如下：设(x(u),y(u))为R_i‑a‑1和R_i‑a之间拟合的累加弦长参数三次样条曲线S_i‑a上任意一点，令：${▿}_i\left(u\right)=\overrightarrow{P_{i}u}·\mathrm{Ts}---\left(20\right)$其中：$\overrightarrow{P_{i}u}=\left(\begin{array}{c}x\left(u\right)-{\mathrm{Px}}_i\\ y\left(u\right)-{\mathrm{Py}}_i\end{array}\right)---\left(21\right)$$\mathrm{Ts}=\left(\begin{array}{c}\stackrel{.}{x}\left(u\right)\\ \stackrel{.}{y}\left(u\right)\end{array}\right)---\left(22\right)$将式(21)和(22)代入式(20)得到：${▿}_i\left(u\right)=\stackrel{.}{x}\left(u\right)(x\left(u\right)-{\mathrm{Px}}_i)+\stackrel{.}{y}\left(u\right)(y\left(u\right)-{\mathrm{Py}}_i)---\left(23\right)$由于三次样条函数具有二阶连续微商，故和都是关于参数u在闭区间[u_i‑a‑1,u_i‑a]上的连续函数，所以，也是关于参数u在闭区间[u_i‑a‑1,u_i‑a]上的连续函数；又因为连续函数在两个端点和处满足式(19)，即所以和异号；根据“零点定理”，在开区间(u_i‑a‑1,u_i‑a)中必存在一个u_ξ使${▿}_i\left(u_{\xi }\right)=\stackrel{.}{x}\left(u_{\xi }\right)(x\left(u_{\xi }\right)-{\mathrm{Px}}_i)+\stackrel{.}{y}\left(u_{\xi }\right)(y\left(u_{\xi }\right)-{\mathrm{Py}}_i)=0,$故该点ξ(x(u_ξ),y(u_ξ))即为所求的加工轨迹上距离实际加工位置P_i最短的点Q_i，且在两相邻刀位点R_i‑a和R_i‑a‑1之间。根据上述证明，确定满足(19)式的a值后，令m＝i‑a，在刀位点R_m和R_m‑1之间的插值曲线S_m上找到距离实际加工位置P_i最短的点Q_i；因Q_i为插值曲线S_m上距离实际加工位置P_i最短的点，故有下式成立：${▿}_i\left(Q_i\right)=\overrightarrow{P_i{Q}_i}·{\mathrm{Ts}}_i=0---\left(24\right)$利用“二分法”快速精准的在曲线S_m上找到Q_i，具体步骤如下：(1)令端点参数q₀＝u_m‑1，q₁＝u_m，且${▿}_0=\overrightarrow{P_i{R}_{m-1}}·{\mathrm{Tang}}_{m-1},{▿}_1=\overrightarrow{P_i{R}_m}·{\mathrm{Tang}}_m;$(2)将曲线“二分”，计算中点Q_1/2的参数(3)利用式(17)计算中点Q_1/2的坐标(x(q_1/2),y(q_1/2))，以及中点Q_1/2处参数三次样条曲线的切向量Ts_1/2，且${\mathrm{Ts}}_{1/2}=\left(\begin{array}{c}\stackrel{.}{x}\left(q_{1/2}\right)\\ \stackrel{.}{y}\left(q_{1/2}\right)\end{array}\right),$其中和分别用如下两式表示：$\begin{array}{c}\stackrel{.}{x}\left(q_{1/2}\right)={\mathrm{Rx}}_{i-1}[\frac{-2{(q_{1/2}-u_i)}^2}{{(u_{i-1}-u_i)}^3}+\frac{2(q_{1/2}-u_i)}{{(u_{i-1}-u_i)}^2}(1-2\frac{q_{1/2}-u_{i-1}}{u_{i-1}-u_i})]\\ +\stackrel{.}{x}\left(u_{i-1}\right)\frac{{(q_{1/2}-u_i)}^2+2(q_{1/2}-u_{i-1})(q_{1/2}-u_i)}{{(u_{i-1}-u_i)}^2}\\ +{\mathrm{Rx}}_i[\frac{-2{(q_{1/2}-u_{i-1})}^2}{{(u_i-u_{i-1})}^3}+\frac{2(q_{1/2}-u_{i-1})}{{(u_i-u_{i-1})}^2}(1-2\frac{q_{1/2}-u_i}{u_i-u_{i-1}})]\\ +\stackrel{.}{x}\left(u_i\right)\frac{{(q_{1/2}-u_{i-1})}^2+2(q_{1/2}-u_{i-1})(q_{1/2}-u_i)}{{(u_i-u_{i-1})}^2}\end{array}---\left(25\right)$$\begin{array}{c}\stackrel{.}{y}\left(q_{1/2}\right)={\mathrm{Ry}}_{i-1}[\frac{-2{(q_{1/2}-u_i)}^2}{{(u_{i-1}-u_i)}^3}+\frac{2(q_{1/2}-u_i)}{{(u_{i-1}-u_i)}^2}(1-2\frac{q_{1/2}-u_{i-1}}{u_{i-1}-u_i})]\\ +\stackrel{.}{y}\left(u_{i-1}\right)\frac{{(q_{1/2}-u_i)}^2+2(q_{1/2}-u_{i-1})(q_{1/2}-u_i)}{{(u_{i-1}-u_i)}^2}\\ +{\mathrm{Ry}}_i[\frac{-2{(q_{1/2}-u_{i-1})}^2}{{(u_i-u_{i-1})}^3}+\frac{2(q_{1/2}-u_{i-1})}{{(u_i-u_{i-1})}^2}(1-2\frac{q_{1/2}-u_i}{u_i-u_{i-1}})]\\ +\stackrel{.}{y}\left(u_i\right)\frac{{(q_{1/2}-u_{i-1})}^2+2(q_{1/2}-u_{i-1})(q_{1/2}-u_i)}{{(u_i-u_{i-1})}^2}\end{array}---\left(26\right)$(4)计算${▿}_{1/2}=\overrightarrow{P_i{Q}_{1/2}}·{\mathrm{Ts}}_{1/2},$其中，$\overrightarrow{P_i{Q}_{1/2}}=\left(\begin{array}{c}x\left(q_{1/2}\right)-{\mathrm{Px}}_i\\ y\left(q_{1/2}\right)-{\mathrm{Py}}_i\end{array}\right);$判断的符号，若令q₁＝q_1/2、并返回第(2)步；若令q₀＝q_1/2、并返回第(2)步；以上四步骤不断循环，直到满足终止条件结束运算，此时的Q_1/2点即为所求的Q_i，此时高进给速度加工刀具轨迹轮廓误差矢量ε_i为：${ϵ}_i=\left(\begin{array}{c}x\left(q_{1/2}\right)-{\mathrm{Px}}_i\\ y\left(q_{1/2}\right)-{\mathrm{Py}}_i\end{array}\right)---\left(27\right)$5)高进给速度加工刀具轨迹轮廓误差补偿由式(27)得第i个实际加工位置处轮廓误差矢量在X和Y进给轴方向上的分量分别为ε_i(1)＝x(q_1/2)‑Px_i和ε_i(2)＝y(q_1/2)‑Py_i；为有效减小轮廓误差，引入误差补偿系数K_comp，则补偿后刀位点的各轴分量可表示为：$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{Rx}}_i^{\mathrm{comp}}={\mathrm{Rx}}_i+K_{\mathrm{comp}}{ϵ}_i\left(1\right)\\ {\mathrm{Ry}}_i^{\mathrm{comp}}={\mathrm{Ry}}_i+K_{\mathrm{comp}}{ϵ}_i\left(2\right)\end{array}\right.---\left(28\right)$式中，K_comp根据实际补偿效果在1～1.5之间取值；最后利用补偿后的刀位点生成数控加工代码代替初始数控加工代码进行加工，得到具有更高轮廓精度的实际加工轨迹。